Наведение вихревых токов ведёт к нагреванию оболочек и экранов.

 

 

 

ИДЕАЛЬНОЙ ЦЕПЬЮ будем называть цепь, в которой отсутствуют эффекты, связанные с вихревыми токами, и отсутствует влияние соседних цепей, то есть вся электромагнитная энергия без потерь распространяется вдоль оси Z. И, соответственно, вектор Пойтинга имеет составляющую вдоль оси Z. Согласно теореме Умова-Пойтинга в цилиндрической системе координат:

 

Таким образом, для нахождения величины вектора Пойтинга мы должны найти составляющие Е_r и Н_j. Обратимся для этого к системе уравнений Максвелла:

Как и для коаксиальной цепи, предполагаем экспоненциальное изменение составляющих:

Где Н_j0 и Е_r0- начальные составляющие поля.

Возьмём первые производные по dZ от составляющих поля. Подставим их в исходные уравнения Максвелла:

 

Перемножим уравнения системы между собой:

 

Разделим второе уравнение системы на первое:

Полное сопротивление среды распространения:

Для напряжения между проводниками цепи можно записать выражение:

 

 

Подставим Е_r:

 

Волновое сопротивление цепи:

 

Из уравнения однородной линии можно записать выражения для продольных параметров:

 

Выделяя вещественные и мнимые части, найдём аналитические формулы параметров передачи:

 

 

В реальной симметричной цепи действуют вихревые токи, приводящие к увеличению активного сопротивления при возрастании частоты передаваемого сигнала. В таких цепях действуют:

· Поверхностный эффект,

· Эффект близости

· Эффект потерь окружающих масс.

Всю энергию, потребляемую проводниками извне, можно представить в виде вектора Пойнтинга, направленного по координате r внутрь проводника. Согласно теореме Умова-Пойнтинга:

 

Согласно закону Джоуля-Ленца:

Система уравнений Максвелла для металлических симметричных цепей имеет вид:

Преобразуем систему уравнений Максвелла в волновое уравнение для составляющей Е_Z:

Где К- волновое число среды, для которого известно выражение:

Это квадрат волнового числа. Для диэлектрика он равен нулю на частоте меньше 10⁶Гц. Таким образом для диэлектрика правая часть будет равняться нулю для симметричной цепи. Решением данного волнового уравнения для металла будет выражение:

Где Аn, Вn, Сn, Dn – постоянные интегрирования, I_n – функция Бесселя первого рода n-го порядка, K_n- функция Бесселя второго рода n-го порядка. Поскольку электромагнитное поле внутри проводника возрастает от центра к поверхности, то поведение функции Бесселя второго рода, имеющей убывающий характер по к, не соответствует физическому смыслу. Поэтому принимаем значение K_n=0.

В силу симметричного расположения проводников относительно горизонтальной линии, от которой ведётся отсчёт координаты j, нечётная функция синуса по координате j будет отсутствовать, то есть sinnj=0, то есть можно принять: B_n=0 и D_n=0.

В итоге мы получим множество решений в силу несимметричности поля, каждому из которых соответствует своё значение корня.

 

 

 

Решением для данного волнового уравнения будет выражение:

 

Где В₀ и С₀- постоянные интегрирования при n=0, В_n и С_n- постоянные интегрирования при n, не равном нулю.

Составляющую магнитного поля Н_j находим аналогично предыдущему случаю:

Для нахождения постоянных интегрирования рассмотрим распределение магнитного поля между проводами симметричной цепи: