Метод замены переменной
Теорема 1. Пусть монотонная, непрерывно дифференцируемая функция, тогда (1) При этом, если то где — функция, обратная . Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. Алгоритм замены переменной: 1) Связать старую переменную интегрирования с новой переменной с помощью замены . 2) Найти связь между дифференциалами . 3) Перейти под знаком интеграла к новой переменной. 4) Проинтегрировать и в полученной первообразной вернуться к старой переменной, подставив Пример 2. Проинтегрировать подходящей заменой переменной.
Решение:
Определенный интеграл, его вычисление и свойства Определенный интегралот функции , непрерывной на отрезке , вычисляется по формуле: (5) где — первообразная для функции , т. е. Формула (5) называется формулой Ньютона — Лейбница. Свойства определенного интеграла :
6) Если для всех , то 7) Если для всех , то При вычислении определенного интеграла для нахождения первообразной используют те же методы, что и для нахождения неопределенного интеграла, т. е. замену переменной, интегрирование по частям и т. д. Однако есть ряд особенностей. При замене переменной по формуле (1) необходимо в соответствии с заменой менять пределы интегрирования: (6) где — обратная к функция. Пример 4. Вычислить определенный интеграл Решение.
Практическая № 3 «Определение максимума мощности в цепи постоянного тока с применением производной» Примеры решения задач Задача1. Электронагревательный прибор потребляет мощность от источника тока, ЭДС которого равна 3В, а внутреннее сопротивление равно 2Ом. Какое сопротивление должен иметь прибор, чтобы в нем выделялась максимальная мощность? Мощность, потребляемая электронагревательным прибором, сопротивление которого равно R, находится по формуле . Обозначим сопротивление прибора R = х. С учетом данных задачи составим функцию . Область определения этой функции промежуток (0; + ). Исследуем полученную функцию на экстремум.
Критические точки найдутся из уравнения . х1 = – 2 точка не входит в область определения функции. (0; 2) > 0 Так как при переходе через точку х = 2 производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум. Значит, мощность, потребляемая прибором, будет наибольшей, если сопротивление его равно 2 Ом. Задача 2 Источник тока с электродвижущей силой Е=220 В и внутренним сопротивлением r = 50 Ом подключен к прибору с сопротивлением R. Чему должно быть равно сопротивление R потребителя, чтобы потребляемая им мощность была наибольшей?
Позакону Ома сила тока в цепи есть выделяемая в потребителе мощность P=I2R, то есть
Исследуем функцию P® на наибольшее с помощью производной: P’® = 0 : r – R = 0, R = r = 50; При R = 50 функция P® принимает наибольшее значение. Следовательно, потребляемая мощность будет наибольшей при сопротивлении R =50 Ом. Ответ: 50 Ом Задача 3. Сила тока в цепи определяется по закону Ома , где ЭДС источника, сопротивление внешнего участка цепи, а сопротивление внутреннего участка цепи. При каком мощность, на внешнем участке цепи, является наибольшей? Решение. Мощность электрического тока выражается формулой. . Эту функцию и надо исследовать на экстремум (в данном выражении переменная, и постоянные). Найдем производную: Далее, имеем (критические точки):
Если , то , то есть функция возрастает при . Если , то , то есть функция убывает при .
Следовательно, при достигается наибольшее значение функции , то есть достигается наибольшая мощность .
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (341)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |