Краткие теоретические сведения:

Купив лотерейный билет, мы можем выиграть, а можем и не выиграть; на очередных выборах правящая партия может победить, а может и не победить; завтра на уроке математики вас могут вызвать к доске, а могут и не вызвать.

Все это примеры случайных событий, которые при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти.

Примеры случайных событий:

А={в следующем году первый снег в Москве выпадет в воскресенье};

С={ при бросании кубика выпадет шестерка}.

Невозможные события:

F={ npu бросании кубика выпадет семерка}.

Если же событие при данных условиях обязательно произойдет, то его называют достоверным. Например:

G={в следующем году в Москве выпадет снег};

Н={при бросании кубика выпадет число очков, меньшее 7}.

Для лучшего понимания понятия «вероятность» приведём в качестве примера задачи:

1. В коробке лежит 10 красных, 1 зеленая и 2 синие ручки. Из нее наугад вынимается один предмет. Определите, какие из событий более вероятные, какие - менее вероятные:

А={будет вынута красная ручка} - вероятность 10/13.

В={будет вынута зеленая ручка} – вероятность 1/13.

 

С={6удет вынута синяя ручка} - вероятность 2/13.

D={будет вынута ручка} - вероятность равна 1.

Е={6удет вынут карандаш} – вероятность равна 0.

Пусть ровно m из этих n исходов приводят к наступлению некоторого события А. Будем называть такие исходы благоприятными для этого события (они ему благоприятствуют, т. е. событие А наступает при любом из этих исходов).

Классическое определение вероятности

Вероятностью случайного события А назовем дробь m/n, где n - число всех возможных исходов эксперимента, m - число исходов, благоприятных для события А:

Р(А)= m/n.

Например:

а) Р {выпадет герб} = 1/2

б)Р {на кубике выпадет четное число} = 3/6 = 1/2;

в)Р { из колоды вытянут туза} = 4/36 = 1/9

Задача1 . Колоду из 36 карт хорошо перетасовали и вынули из нее одну карту. Для каждого из следующих событий найдём его вероятность:

А = {вынули красную масть};

В = {вынули пику};

С = {вынули красную пику};

D = {вынули даму};

Е = {вынули даму пик}.

Решение:

Все пять событий относятся к одному и тому же случайному эксперименту - вытягиванию карты из полной колоды. Общее число исходов в этом эксперименте равно 36 (по числу разных карт), причем, поскольку колода хорошо перетасована, все они равновозможны, следовательно, n = 36.

Для события А благоприятный исход - любая карта красной масти. В колоде 18 карт красной масти, значит m = 18.

Следовательно, Р(А) = 18/36 = 1/2 = 0,5.

Для события В благоприятный исход - любая пик. Таких исходов 9 (столько в колоде карт пиковой масти):

m - 9 отсюда Р(В) = 9/36=1/4=0,25.

Совершенно аналогично находим число благоприятных исходов и вероятности для оставшихся событий:

для события С т = 0, Р(С) = 0/36 = 0;

для события D т = 4, Р(D) = 4/36 = 1/9 =0,111;

для события Е т = 1, Р(Е) = 1/36 = 0,028.

№ 2. В двух коробках лежат карандаши одинаковой величины и формы, но разного цвета. В первой коробке 4 красных и 6 черных, а во второй 3 красных, 5 синих и 2 черных. Из обеих коробок вынимается наугад по одному карандашу. Какова вероятность того, Что оба карандаша окажутся красными?

Решение. Испытание состоит в том, что из каждой коробки '' вынимается по одному карандашу. Пусть событие Аозначает, что вынутый карандаш из первой коробки оказался красным, событие

В— что вынутый карандаш из второй коробки тоже красный. Тогда событие АВозначает, что оба вынутые карандаша оказались красными. Поскольку события А и Внезависимы, то P (АВ) = P (А) P (В). Вероятности событий А и Вравны соответственно P(А) = 0,4, P(В) = 0,3. Следовательно, вероятность того, что оба карандаша оказались красными, равна P (АВ) =

=0,4 • 0,3 = 0,12.

Ответ: 0,12.

№3. Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет четное число очков?

 

Решение: 1,3,5 – нечетные числа, 2,4,6 – четные. Число возможных исходов при бросании кости 6. Число благоприятных исходов 3 ( выпадение 2,4,6) . Таким образом вероятность впадения четного числа очков равнв:3/6=0,5.

Ответ:0,5.

№4. Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 12 с персонажами мультфильмов и 18 с видами природы. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Маше достанется пазл с персонажем из мультфильма.

Ответ: 12/30=0,4.

№5. На тарелке 15 пирожков: 6 с яблоками, 4 с капустой, 5 с печенью. Варя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с яблоками.

Ответ: 6/15=0,4.

№6. На экзамене 40 билетов, Игорь не выучил 2 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

Решение: Число возможных исходов 40, число благоприятных исходов: 40-2=38.

Искомая вероятность равна: 38/40=0,95.

Ответ: 0,95.

№7. При двукратном бросании игрального кубика в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что первый раз выпало меньше трех очков.

Решение:

Сумму в 6 очков можно получить следующими способами ( переберем варианты):1+5,2+4,3+3,4+2,5+1 – всего их пять, это и есть число возможных исходов. Из представленных вариантов также видно, что менее трёх очков при первом броске может выпасть только в двух случаях. Искомая вероятность равна:2/5=0,4.

Ответ:0,4.

№ 8. Марина и Дина бросают кубик по одному разу. Выигрывает та девочка, у которой выпадет больше очков. Первой бросила Марина, у неё выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что Дина выиграет.

Решение: Для того, что бы выиграть у Дины должно выпасть 4, 5 или 6 очков. Т. е. 3 благоприятных исхода из 6 – ти возможных (1,2,3,4,5 или 6). 3/6= 0,5.

Ответ: 0,5.

№6. Двое играю в кости – они по разу бросают игральный кубик. Выигрывает тот, у кого больше очков. Если выпадет поровну – ничья. Первый бросил кубик, и у него выпало 4 очка. Найдите вероятность того, что он выиграет.

Решение: Комбинации выпадения очков : 4:1, 4:2, 4:3, 4:4, 4:5, 4:6. Всего 6. Из них выигрышных для первого 3 (первые из перечисленных). Значит вероятность того, что он выиграет: 3/6=0,5.

 

Ответ: 0,5.

№7. Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что первые два броска окончатся одинаково.

Решение: Найдем число возможных исходов, переберем все варианты бросков. В подобных задачах удобнее составит таблицу:

	1-й бросок	1-й бросок	1-й бросок
1	орел	орел	орел
2	орел	орел	решка
3	орел	решка	решка
4	орел	решка	орел
5	решка	решка	решка
6	решка	решка	орел
7	решка	орел	орел
8	решка	орел	решка

 

Всего возможных исходов восемь.

Первые два одинаково могут закончиться в четырех случаях, это 1,2,5,6 варианты, т.е. благоприятных исходов 4. Искомая вероятность равна: 4/8=0,5.

Ответ: 0,5.

№8. Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что только первые два броска окончатся одинаково.

Решение: В этой формулировке благоприятных исходов будет уже только 2 ( 2 и 6 варианты). А всего исходов, как и в предыдущей задаче, будет 8. Искомая вероятность равна: 2/8=0,25.

Ответ: 0,25.

№9. При двукратном бросании игрального кубика в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало меньше 3 очков.

Решение: 6 очком могло выпасть только при следующих раскладах: 1 и 5, 2 и 4, 3 и 3, 5 и 1, 4 и 2. Всего 5 возможных вариантов. В первый раз выпадает меньше 3 очков только в двух случаях. Вычислим искомую вероятность: 2/5=0,4.

Ответ: 0,4.

№10. Найдите вероятность того, что при бросании двух кубиков на каждом выпадет менее 4 очков.

Решение: Всего возможных комбинаций будет 36. Из них благоприятными будут 9:

1:1, 1:2, 1:3, 2:1,2:2, 2:3, 3:1,3:2,3:3 . Находим исходную вероятность: 9/36=0,25

Ответ: 0,25.

№11. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 спортсменов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

Решение: Выясним чему равно число исходов, а так же число благоприятных исходов. Всего спортсменов 26, включая Руслана, значит играть он сможет с кем-либо из оставшихся 25-ти. Т.о. число возможных исходов – 25. Среди оставшихся 25-ти спортсменов 9( Руслана не считаем) из России. Значит, благоприятных исходов – 9. Искомая вероятность равна: 9/25=0,36.

Ответ: 0,36.

№ 12. В классе 7 мальчиков и 14 девочек. 1 сентября случайным образом определяют двух дежурных на 2 сентября. Найдите вероятность того. Что будут дежурить два мальчика.

Решение: для каждого из 21- го ребенка может быть в паре один из оставшихся 20. Т.е. число возможных пар: 21*20=420. Благоприятными будут пары, когда для каждого из 7 мальчиков в пару попадет один из оставшихся 6-ти. Т.о. количество благоприятных исходов вычислим: 6*7=42.

Искомая вероятность: 42/420=0,1.

Ответ: 0,1.

№ 13. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 56 шашистов, среди которых 12 участников из России, в том числе и Валерий Стремянкин. Найдите вероятность того, что в первом туре Валерий Стремянкин будет играть с каким-либо шашистом из России.

Решение: Всего Валерий Стремянкин может играть с кем-либо из 55 (исключая его самого из общего количества) шашистов. Благоприятными для нас являются 11 исходов из них (Из России всего12 шашистов, 1 из них сам Стремянкин, значит соперников возможных у него 11). Находим исходную вероятность: 11/55=0,2.

Ответ: 0,2.

№14. В каждой пятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайным образом. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдет приз в своей банке.

Решение: В четырёх банках из пяти нет приза. Значит, исходная вероятность будет равна: 4/5=0,8.

Ответ: 0,8.

№15. В среднем на 150 карманных фонариков приходится 3 неисправных. Какова вероятность купить исправных фонариков?

Решение:

Количество возможных исходов 150. Количество благоприятных исходов: 150-3=147. Вероятность купить исправный фонарик 147 к 150: 147/150 = 0,98.

Ответ: 0,98.

№16. В среднем на 150 исправных карманных фонариков приходится 3 неисправных. Какова вероятность купить исправный фонарик?

Решение:

В этом случае число возможных исходов: 150+3=153 ( 150 исправных плюс 3 неисправных).

Число благоприятных исходов = 150 ( число исправных фонариков). Вероятность купить исправный фонарик равна: 150/153= 50/51 ≈ 0,9804…

№17. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение: Сказано, что на 100 качественных сумок приходится 8 с дефектом, значит число возможных исходов 100+8=108. Число благоприятных исходов 100(качественные сумки). Вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна 1оо к 108: 100/108=0,9259…≈ 0, 93.

Ответ: 0,93.

№18. Какая сумма, скорее всего, выпадет при бросании двух кубиков?

Решение: Возможные суммы : 1+1=2, 1+2=3, 1+3=4, 1+4=5, 1+5=6, 1+6=7,2+1=3, 2+2=4, 2+3=5, 2+4=6, 2+5=7, 2+6=8, 3+1=4, 3+2=5,3+3=6, 3+4=7,3+5=8,3+6=9, 4+1=5, 4+2=6, 4+3=7, 4+4=8, 4+5=9,4+6=10, 5+1=6, 5+2=7, 5+3=8, 5+4=9, 5+5=10,5+6=11, 6+1=7, 6+2=8,6+3=9, 6+4=10, 6+5=11, 6+6=12. Возможные суммы:

сумма	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
частота	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

Чаще всего выпадает сумма 7.

Ответ: 7.

№ 19. Валя выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51.

Решение: Найдём количество всех трёхзначных чисел, делящихся на 51. Первое из них 102, далее 153 и т.д. Сколько будет таких чисел среди трёхзначных? 999: 51=19, 588…, т.е. чисел кратных 51 до 999 будет 19. Из них одно двузначное 51, значит 19-1=18. 18 трёхзначных чисел, делящихся на 51. А всего трёхзначных чисел : 999-99=900. Найдём искомую вероятность: 18/900=0,02.

Ответ:0,02