Сложение вероятностей.

Суммой событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий А или В, т. е. в наступлении события А, или события В, или обоих этих событий вместе, если они совместны.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий: .

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

№ 20. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9, в третье - 0,8. Найти вероятность следующих событий:

а) только одно отделение получит газеты вовремя;

б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

Решение: Введем события

А1 = (газеты доставлены своевременно в первое отделение),

А2 = (газеты доставлены своевременно во второе отделение),

А3 = (газеты доставлены своевременно в третье отделение),

поусловию P(A1)=0,95; P(A2) = 0,9; P(A3)=0,8.

Найдем вероятность события Х = (только одно отделение получит газеты вовремя). Событие Х произойдет, если

или газеты доставлены своевременно в 1 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 3,

или газеты доставлены своевременно в 2 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 3,

или газеты доставлены своевременно в 3 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 1.

Таким образом,

Так как события А1, А2, А3 - независимые, по теоремам сложения и умножения получаем

Найдем вероятность события У=(хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием). Введем противоположное событие = (все отделения получат газеты вовремя). Вероятность этого события

Тогда вероятность события У:

Ответ: 0,032; 0,316.

№21. В двух коробках лежат карандаши одинаковой величины и формы, но разного цвета. В первой коробке 4 красных и 6 черных, а во второй 3 красных, 5 синих и 2 черных. Из обеих коробок вынимается наугад по одному карандашу. Какова вероятность того, Что оба карандаша окажутся красными?

Решение. Испытание состоит в том, что из каждой коробки '' вынимается по одному карандашу. Пусть событие Аозначает, что вынутый карандаш из первой коробки оказался красным, событие

В— что вынутый карандаш из второй коробки тоже красный. Тогда событие АВозначает, что оба вынутые карандаша оказались красными. Поскольку события А и Внезависимы, то P (АВ) = P (А) P (В). Вероятности событий А и Вравны соответственно P(А) = 0,4, P(В) = 0,3. Следовательно, вероятность того, что оба карандаша оказались красными, равна P (АВ) =

=0,4 • 0,3 = 0,12.

Ответ: 0,12.

№22. В случайном эксперименте монету бросают трижды. Найти вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Решение: Задачу можно решить, пользуясь классическим определением вероятности или теоремой о произведении вероятностей.

1 способ. Решим задачу, используя теорему о произведении вероятностей.

Орел не выпадет ни разу только в случае выпадения: решка, решка, решка. Вероятность выпадения решки в 1-ый раз =0,5 (1 из двух вариантов выпадения). Аналогично: вероятность выпадения решки во 2-ой раз=0,5. И в 3-ий раз тоже =0,5. Поскольку это вероятности зависимых событий, мы находим их произведение: 0,5*0,5*0,5=0,125.

Ответ: 0, 125.

2 способ. Решим задачу, используя классическое определение вероятности.

Переберем все варианты выпадения:

Орел, орел, орел

Орел, орел, решка

Орел, решка, орел

Орел, решка, решка

Решка, решка, решка

Решка, решка, орел

Решка, орел, орел

Решка, орел, решка.

Всего 8 возможных исходов, из которых только 1 благоприятный. Т.о. искомая вероятность равна: 1/8=0,125.

Ответ: 0,125.

№ 23 Перед началом матча по футболу судья бросает монету, что бы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Белые» по очереди играет с командами «Красные», «Синие», и «Зеленые». Найдите вероятность того, что ровно в одном матче право первой владеть мячом получит команда «Белые».

Решение: Пусть разыгрывается первенство владения мячом между командами «Белые» и «Красные». При бросании монеты вероятность того, что право владеть мячом первой у команды «Белые» равна 0,5. Вероятность, что у неё не будет этого права тоже равна 0,5. Такие же вероятности будут и при разыгрывании первенства владения мячом по отношению команд «Синие» и «Зеленые».

Для того, что бы ровно в одном матче право первой владеть мячом получила команда «Белые» рассмотрим все возможные расклады:

1. При розыгрыше с командой «Красные» - первой получила мяч команда «Белые» ( вероятность 0,5), значит при розыгрыше с командами «Синие» и «Зелёные» первой мяч команда «Белые» не получила( вероятности по 0,5) . Вероятность этого расклада находим как произведение вероятностей, т.к. эти события должны произойти одновременно : 0,5*0,5*0,5=0,125 .

2. При розыгрыше с командой «Красные» - первой получила мяч команда «Белые» ( вероятность 0,5), значит при розыгрыше с командами «Синие» и «Зелёные» первой мяч команда «Белые» не получила( вероятности по 0,5) . Вероятность этого расклада находим как произведение вероятностей, т.к. эти события должны произойти одновременно : 0,5*0,5*0,5=0,125 .

3. При розыгрыше с командой «Зелёные» - первой получила мяч команда «Белые» ( вероятность 0,5), значит при розыгрыше с командами «Синие» и «Красные» первой мяч команда «Белые» не получила( вероятности по 0,5) . Вероятность этого расклада находим как произведение вероятностей, т.к. эти события должны произойти одновременно : 0,5*0,5*0,5=0,125 .

Других раскладов, учитывая условие задачи, быть не может.

Т.к. каждый из этих раскладов независимые события, из которых должно произойти одно,

то искомую вероятность находим как сумму: 0,125+0,125+0,125 = 0,375.

Ответ: 0,375.

№24. Если гроссмейстер А играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б с вероятностью 0,6. Если А играет чёрными, то А выигрывает у Б с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А и Б играют две партии, причем АО второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А выиграет оба раза.

Решение: Один раз гроссмейстер А будет играть белыми и вероятность его выигрыша в этом случае согласно условию равна 0,6. Второй раз гроссмейстер А будет играть обязательно черными (т.к. цвет фигур меняется) и вероятность его выигрыша равна в этом случае 0,4. Поскольку эти два события совместны, то их вероятности перемножаем: 0,6*0,4=0,24.

Ответ: 0,24.