Вопрос. Сколько денег будет в конце второго года хранения?

Отвечая на него, получим: к = а∙( 1+ ) (1) . А третьего? А п-го? В итогеполучается формула к = а∙( 1+ ) , где а- начальный капитал, р - процент прибыли за один промежутоквремени;  п - число промежутков. Эта формула называется формулой «сложных процентов».

Полученная формула показывает, что значение величины к растет как геометрическая прогрессия, первый член которой равен а, а знаменательпрогрессии1+ . Формула (1 )является исходной формулой при решении многих задач на проценты. Кроме формулы сложного процентного роста, учащиеся должны знать и применять простого процентного роста: к = а∙( 1+ ),     (2)        где а ,р и п имеют тот же смысл, что и в формуле сложного процентного роста (отличие состоит в том, что в этом  случае процент каждый раз берется от одного и того же числа а). 

Следует уделять много внимания решению таких задач.

Тема 5. Решение задач на применение формул «сложного процента», простого процентного роста.

Практическая часть

Задача 23. Сумма в 1000 р. уменьшается ежемесячно на 5%. Через сколько месяцев эта сумма сократится а) до 750 р.;  б)500 р.;    в)250 р.;    г)50 р.?

Решение. Это задача на простой процентный рост.  

к = а∙( 1+ ), к = а + , к - а = ,     а·р·п = (к-а)·100,  п=

а) п = =5(мес.); б)п = =10(мес.);

в)п= =15(мес.); г) п = =19(мес).

Задача 24. Какая сумма будет на счете через 4 года, если на него положены 2000 р. под 30% годовых?

Решение. Это задача на сложный процентный рост: к = а·(1+ ) , 

к = 2000·(1+ )  =5712,2 (р.).

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 25. На сколько процентов увеличится сумма, вложенная на 5 лет в банк, начисляющий 20% годовых?

Задача 26. За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 8% годовых. Вкладчик положил на счет 5000 рублей и решил в течение 5 лет не снимать со счета деньги и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счете вкладчика через год, через 2 года? Через 5 лет?

Задача 27. На весенней распродаже в одном магазине шарф стоимостью 350 р. уценили на 40% , а через неделю – еще на 5%. В другом магазине шарф такой же стоимости уценили сразу на 45%. В каком магазине выгоднее купить шарф?

 

Тема 6. Задачи на сплавы, смеси, растворы

Теоретическая часть

Приступая к решению задач ,связанных с понятиями «концентрация» и «процентное содержание», необходимо объяснить учащимся, что обычно в условиях таких задач речь идет о составлении сплавов, растворов, смесей из двух или нескольких веществ. При решении таких задач принимаются следующие основные допущения:

· Все получающиеся сплавы или смеси однородны;

· При слиянии двух растворов, имеющих объемы  и  и , получается смесь , объем которой равен V =  + ;

· При слиянии двух растворов масса смеси равняется сумме масс, составляющих ее компонентов.

Объемной концентрацией компонента А называется отношение объема чистого компонента ( ) в растворе ко всему объему смеси( ):

= = ,     .             (1)

Объемным процентным содержанием компонента А называется величина , то есть концентрация этого вещества, выраженная в процентах.

Аналогично определяются массовая концентрация и процентное содержание: отношение массы чистого вещества А в сплаве к массе всего сплава. Под процентным содержанием вещества понимается часть, которую составляет вес этого вещества от веса всего соединения.               

Например: имеется сплав из 10кг олова и 15кг цинка. Вес сплава 10=15=25(кг). Олово составляет 10\25=0,4 часть, а в процентах – 40%.Цинк 15\25=0,6 часть, а в процентах - 60%.

Обратите внимание, что 0,4+0,6=1 или 40%+60%=100%

Для решения задач на смеси и сплавы удобно ввести в рассмотрение объем или массу каждой смеси, а также концентрации составляющих их компонентов. С помощью концентрации нужно «расщепить» каждую смесь на отдельные компоненты, как это сделано в формуле (1), а затем указанным в условии задачи способом составить новую смесь. При этом легко посчитать, какой объем (массу) этой смеси. После этого определяются концентрации компонентов в новой смеси.

Концентрация-это число, показывающее сколько процентов от всей смеси составляет растворимое вещество. Если масса m кг, масса растворимого вещества а кг, концентрация р%, то между этими величинами существует зависимость: . Работу с этой формулой можно оформить в виде таблицы:

 

Масса смеси m, кг	Масса растворимого вещества а, кг	Концентрация р, %
10	1	=10%
5	2	= 0, 4 = 40%
4	0,5	0,125 =12,5%
		= k

 

Например: если в сплаве весом 300г концентрация серебра составляет 87%,то в этом сплаве 0,87*300=261(г) чистого серебра.     

   Иногда в задачах на сплавы необходимо, чтобы учащиеся знали понятие пробы. Проба - это число, показывающее сколько граммов чистого драгоценного металла содержится в одном кг сплава. Введенные понятия закрепляются при решении задач.

Задача 28. Сплавили два слитка серебра: 600-й пробы 75г и 864-й пробы 150 г. Определите пробу сплава.                              Ответ: 776-й пробы.

Практическая часть

Задача 29. К 10 кг 5% раствора соли добавили 5 л воды. Определите % содержание соли в новом растворе.

Решение: определим, сколько соли в растворе.

              5%=0,05           10*0,05=0,5(кг) соли.

Найдем массу нового раствора : 10+5=15(кг)

               Р=0,5\15*100%=10\3%=3 1\3%

                                                                     Ответ: 3 1\3%

Задача 30.Сколько г воды надо добавить к 100 г 30% -й соляной кислоты, чтобы получить 10% -ю кислоту.

Решение: пусть нужно добавить х г воды.В 100 г 30% раствора 0,3*100=30(г) соли.

(100+х)г-масса нового раствора.

                0,1*(100+х)=30

                10+0,1х=30

                 0,1х=20

                 х=200                                                    Ответ:200г

Задача 31.Смешали 40% и 10% растворы соляной кислоты и получили 600 г 15%раствора

Сколько г каждого раствора было взято?

Решение: пусть х г взято 40% раствора, у=10% раствора.

               х+у=600

               0,4х+0,1у=0,15*600  

               -0,4х-0,4у=-240

                0,4+0,1у=90

                у=500, х=600-500=100.

                                                       Ответ: 100г 40% раствора, 500г 10% раствора.         

Задача 32. Один раствор содержит 30% по объему азотной кислоты, а второй - 55% азотной кислоты. Сколько нужно взять первого и второго раствора, чтобы получить 100 л 50% -го раствора азотной кислоты?

Оформим решение в виде таблицы. В условии указаны два раствора и их смесь. Величины, входящие в задачу: объем раствора ,  концентрация к %, объем кислоты  . формула зависимости:              

                                     

Раствор	Объем раствора, л	Концентрация, %	Объем кислоты, л
1-й раствор	х	30%=0,3	х·0,3
2-й раствор	100-х	55%=0,55	(100-х)·0,55
смесь	100	50%=0,5	100·0,5

 

Поскольку объем кислоты смеси равен сумме объемов кислоты в растворах, то можно составить уравнение 0,3х+0,55(100-х)=50, решив которое получим, что х=20. Проверка:6+44=50. Ответ:20 л, 80 л.

Задача 33. Сплав меди с цинком, содержащий 5 кг цинка, сплавлен с 15 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось по сравнению с первоначальным на 30%. Найти первоначальную массу сплава.

Решение. Сплавов в задаче два: первоначальный сплав и второй сплав с добавлением 15 кг цинка. Величины: масса сплава кг, масса меди кг, процент содержания меди а %. Формула зависимости: , .

Пусть х кг – масса первоначального сплава, тогда (х-5) кг – масса меди в нем, а - процент ее содержания в сплаве. Далее, (х+15)кг – масса сплава после прибавления 15 кг цинка. При этом масса меди осталась та же. Отсюда - процентное содержание меди в новом сплаве.

Известно, что больше на 30%. Составляем уравнение: =30. после преобразований оно приводится к виду

, откуда

Ответ:25 кг или 10 кг.

Задача 34. Смешали 30% раствора соляной кислоты с 10%-ым и получили 600 г 15% -го раствора. Сколько г каждого раствора было взято?

Решение. Пусть 30%-го взято х г, а 10% -го у г. Тогда х+у=600, аналогично, в у г 10% -го раствора содержится 0,1у г кислоты. В полученной смеси по условию задачи содержится 600·0,15=90 г кислоты, откуда 0,3х+0,1у=90. Составим систему уравнений:

{х +у =600,

{0,3х+0,1у=90, решив систему, получим х=150, у=450.

 

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 35. Имеется кусок сплава меди с оловом с общей массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди.       Ответ:       1,5 кг

       Задача 36. Имелось 2 сплава меди с разным процентным содержанием меди в каждом. Число, выражающее в процентах содержание меди в первом сплаве на 40 меньше числа, выражающее в процентах содержание меди во втором сплаве. Затем оба эти сплава сплавили вместе, после чего содержание меди составило 36%. Определить процентное содержание меди в первом и втором сплавах, если известно, что в первом сплаве меди было 6 кг, а во втором 12 кг.            Ответ:        20% и 60%

Задача 37. Кусок сплава меди и цинка, массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди.

                                                                Ответ:13,5 кг

Задача 38. Имеется  лом стали 2 сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля.                                                Ответ: 40т и 100 т.