Решение «ключевых задач» на проценты с помощью пропорций.

Министерство Образования и молодежной политики ЧР

Чувашский республиканский институт образования

                                  Кафедра естественных дисциплин

 

 

Курсовая работа

 

«Изучение процентов в курсе средней школы»

 

                                       

 

                                                Выполнил учитель математики

                                                                          МОУ «СОШ №47»

                                                                        г. Чебоксары

                                                                                Огинова Татьяна Васильевна.

 

          

 

 

                                              

 

Чебоксары  2009

Оглавление

 

Введение------------------------------------------------------------------------------------------ 1

Основное содержание разработки-------------------------------------------   2

1. Ознакомление с понятием « процента» и методами решения простейших

 задач по разным учебникам--------------------------------------------------------------- 2

2. Изучение темы « задачи на проценты» в 6 классе.----------------------------------- 2

2.1. Решение «ключевых задач» на проценты с помощью пропорций.--------------- 2

2.2. Решение задач на изменение величины в процентах с помощью пропорций.- 4

2.3.  Решение более сложных задач.--------------------------------------------------------- 4

2.4. Контрольный тест.-------------------------------------------------------------------------- 4

3. Изучение процентов в 9 классе.----------------------------------------------------------

Элективный курс по алгебре для 9 класса «Все о процентах»---------------------- 5

4. Заключение.----------------------------------------------------------------------------------- 16

Приложения------------------------------------------------------------------------------------- 17                                                         

Тест на тему «Проценты»------------------------------------------------------------------- 7      

Тренировочный тест №1 по теме «Проценты»------------------------------------------------- 20

Список литературы---------------------------------------------------------------------- 16

Рецензия.----------------------------------------------------------------------------------------- 24

 

 

Введение

Актуальность

        В тестах ЕГЭ по математике часто встречаются задачи на проценты. Так как % изучаются только в 5-6 классах, а потом мы к ним практически не возвращаемся, многие выпускники испытывают страх перед задачами на проценты. Чтобы этого не произошло, нужно провести элективный курс по решению задач на проценты в 9 классе и организовать повторение по этой же теме в 11 классе. Появилась необходимость разработки методики обучения решению задач на проценты разного уровня сложности в старших классах, когда у ребят имеются достаточный опыт и знания для решения более сложных задач.

Практическая значимость

Практическую значимость обучения решению задач на проценты трудно переоценить. Невозможно представить современного человека, не понимающего, что такое процент, не владеющего умением решать хотя бы простейшие задачи на проценты. Проценты нас сопровождают везде - в экономике, на производстве, в средствах массовой информации. Без этих знаний человек не может выполнять необходимые ему  элементарные вычисления даже в быту - в магазине, в банке и т. п. Умение решать задачи на проценты необходимо каждому человеку, независимо от того, в какой бы области он ни трудился.

В данной разработке приводятся различные методы и приемы обучения, направленные на усвоение каждым учеником умения решать задачи на проценты.

 

Предмет исследования

Систематизация имеющегося материала, изучение опыта работы других учителей, рассмотрение методов и приемов обучения по разным учебникам по данной теме, описание нового приема при объяснении способа решения указанных задач, разработка методики обучения в 5,6 и 9 классах.

Новизна исследования

В работе предложен новый подход к решению задач на проценты, отличающийся от способов решения , данных в учебнике, который дает лучшие результаты. Разработан элективный курс по решению сложных задач на проценты в 9 классе.

 

Цели и задачи

o - научить каждого ученика свободно оперировать понятием процента

o -сформировать умение и навыки решения  задач на проценты

o -выработка умения самостоятельно приобретать и применять полученные знания в различных жизненных ситуациях

o -указать на практическую значимость полученных знаний и умений в жизни человека

o -способствовать развитию интереса и положительной мотивации к изучению математики.

Результаты апробации

 

В результате применения описанной методики обучения учащиеся лучше осваивают решение указанных задач, на текущих контрольных работах и тестах получают хорошие оценки, выпускники справляются с задачами на проценты на ЕГЭ.

Основное содержание разработки.

Составление тематической разработки указанной темы в 5, 6 и 9 классах основной школы, составление планов уроков, подбор форм, приемов и технологии обучения по данной теме, организация текущего и итогового контроля, изготовление наглядного и раздаточного материала.

 

1.Ознакомление с понятием «процента» и методами решения простейших задач по разным учебникам.

 

С понятием процента ученики впервые знакомятся в 5 классе. По программе этому важному понятию отводится всего 5 часов, включая контрольную работу. За 4 урока нужно дать определение процента как одну сотую часть целого, научить записывать проценты в виде обыкновенных и десятичных дробей, наглядно представить число процентов на рисунке как часть целого, научить решать простейшие задачи на проценты.

В учебнике «Математика для 5 класса Н.Я. Виленкин, В.И.Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд» рассматриваются 3 типа простейших задач: 1) вычисление процента от числа, 2) вычисления числа по его процентам, 3) какой процент составляет одно число от другого. Все эти задачи решаются нахождением числа, соответствующего 1%, затем умножением или делением на число процентов. На этом этапе большинство ребят хорошо справляются с поставленной задачей.

В учебнике «Математика для 5 класса. Э.Р. Нурк, А.Э.Тельгмаа» рассматриваются задачи только первого типа, которую решают тем же способом – нахождением числа, соответствующего 1% и умножением на число процентов. А по учебнику под редакцией Г.В,Дорофеева и И.Ф. Шарыгина в 5 классе проценты не изучаются.

В 6 классе на решение задач с процентами отводится 3 часа. После изучения темы

«Нахождение дроби от числа» рассматривается задача нахождения % от числа по новому правилу: процент переводится в десятичную или обыкновенную дробь и умножается на число.

После изучения темы «Нахождение числа по его дроби» рассматривается задача на нахождение числа по данному значению его процентов, которая решается переводом процентов в обыкновенную или десятичную дробь и делением числа на полученную дробь.

В теме «Отношения» рассматривается задача 3 типа – частное двух чисел умножается на 100%. При этом получаем, какой процент первое число составляет от второго.

Здесь уже слабые ученики начинают путать способы решения задач на проценты. В связи с этим я возвращаюсь к задачам на проценты после изучения темы «Пропорция». Теперь у учащихся есть новый «инструмент» для решения задач с процентами – составление и умение решать пропорции.

   

2.Решение «ключевых задач» на проценты с помощью пропорций.

 

Сначала необходимо напомнить ученикам, что означает запись – 1%, что означает 100%, и, например, 80%.

Рассмотрим решение «ключевых задач» на проценты, используя аналогию с задачами на дроби. Пусть

 

20 учеников – 1,                                     20 учеников – 100%

16 учеников - ,                                    16 учеников – 80%

Принимая некоторые числа за неизвестные, составим 6 задач, которые решаем с помощью пропорции.

 

 

1) Нахождение дроби от числа.

20уч. – 1,        В классе 20 учащихся,  из них занимаются в кружках.

х уч. -          Сколько учеников занимаются в кружках?

Составим пропорцию : =1: ;

                                          х ∙ 1 = 20 ∙

                                          х = 16.                   Ответ: 16

 

2) Нахождение числа по его дроби.

х уч. – 1,               16 учащихся занимаются в кружках, что составляет  всех учащихся

16 уч. -              класса. Сколько учеников в классе?

Составим пропорцию :  =1:

                                          х ∙  = 16 ∙ 1

                                          х = 20.                   Ответ: 20

 

3) Какую часть одно число составляет от другого?

 

20 уч. – 1,             В классе 20 учащихся, 16 из них занимаются в кружках. Какую часть 16 уч. – х.        составляют учащиеся, занимающиеся в кружках?

Составим пропорцию :   =

                                          20 ∙ х = 1 ∙ 16                        

                                          х =                     Ответ:

 

4) Нахождение процентов от данного числа.

 

20 уч. – 100%,                  В классе 20 учащихся, 80% из них занимаются в кружках.

х уч. – 80%.                      Сколько учеников занимается в кружках?

Составим пропорцию:   =

                                          100х = 20∙80

                                          х = 16                    Ответ: 16

 

5) Нахождение числа по его проценту.

 

х уч. – 100%                     16 учеников класса занимаются в кружках, что составляет 80% 16 уч. – 80 %                           всех учащихся. Сколько учащихся в классе?

Составим пропорцию:   =

                                          80х = 16∙100

                                          х = 20                    Ответ: 20

6) Какой процент одно число составляет от другого?

 

20 уч. – 100%,                              В классе 20 учащихся,16 из них занимаются в кружках. 

16 уч. – х %.                                 Сколько процентов учащихся занимается в кружках?

Составим пропорцию:               =

                                                      20х = 16∙100

                                                      х = 80                    Ответ: 80%

        

3. Решение задач на изменение величины в процентах с помощью пропорций.

 

До снижения цен рубашка стоила 250 р.,              1) 250 – 230 = 20(р) 

 а после снижения 230 р.                                   2) 250 р. – 100%,

На сколько процентов                                       20 р. - х %

Снизилась стоимость рубашки?                       Составим пропорцию:

                                                                             =                                                 

250 х = 20 ∙ 100

х = 8          Ответ: 8%

 

 

4. Решение более сложных задач.

1).Когда проложили новой электропроводки и еще 21 км, то осталось проложить 20% всей линии. Вычисли длину всей электролинии.

Решение:                  

1) ? км -     ,                   2)    х км - 1                                 

21 км-    ?                                       21 км -

? км        20% = 0,2                          Составим пропорцию:

=1:

1-( +0,2) =                                        х = 45                    Ответ:45 км

2). Сплав меди и алюминия весит 10 кг и содержит 15% меди. Сколько алюминия в этом сплаве.

Решение:

Сплав 10 кг - 100%         1) Составим пропорцию: ,    х = =1,5(кг)

Медь х кг - 15%           2) 10-1,5 =8,5(кг).                        Ответ: 8,5 кг

3.) К 10 л 5% -ого раствора соли добавили добавили 5 л воды. Определите процентное содержание соли в новом растворе.                                      Ответ: 3  %                                                                          Контрольный тест

Тест на тему « Проценты»

 

Вариант 1

Уровень

1. Нарисуйте квадрат со стороной 10 клеток. Заштрихуйте любые 20 клеток. Какой процент квадрата заштрихован?

 

А. 5%              Б.2 %         В. 20%             Г.25%.

2. Часть величины, заданную в процентах, соотнесите с соответствующей обыкновенной дробью:

 

25%                 40%                       65%                       70%

 

                                                         

3. На круговой диаграмме показано, какой транспорт предпочитают жители города. Используя диаграмму, ответьте на вопрос: какой процент жителей города предпочитает трамвай?

                                 Ответ:

4. Сравните 30% всех учащихся школы и  всех учащихся этой школы.

5. А. 30% меньше всех учащихся школы

Б. 30% больше всех учащихся школы

В. 30% равны всех учащихся школы

Г. Сравнить нельзя

 

5. Найдите 20% от 120 рублей.

А. 6р.              Б. 24р.       В. 60р.                   Г. 100р.

6. Укажите верные утверждения:

I. 1 см составляет 1% от 1 м

II. 1 дм составляет 1% от 1 м

III. 1м составляет 1% от 1 км

IV. 1мм составляет 1% от 1 см

 

А.I и II Б. II и IV В. II и III  Г. I и IV       

     

7. Из 30 учащихся класса 24 занимаются в спортивных секциях. Какая часть класса занимается спортом? Ответ выразите в процентах.

 

Ответ:

 

8. Ковер стоил 2400 р. После снижения цен он стал стоить 1800 р

На сколько процентов снижена цена этого ковра?

 

А. на 75%       Б. На 70%             В. На 33%             Г. На 25%

 

9. Что больше: 33% от 25 р. или 25% от 33р.?

 

А.33% от 25р. Б.25% от 33р. В.Сравнить нельзя. Г.Одинаковые

 

10. В библиотеке 500 учебников, что составляет 5% всех книг. Сколько книг в библиотеке?

 

Ответ:

 

Уровень

 

11. В киоск привезли 400 газет и 200 журналов. До обеда продали 20% всех газет и 80% всех журналов. Чего продано больше: газет или журналов? Во сколько раз?

Ответ:

 

12. В киоск привезли 400 газет. До обеда продали 30% всех газет, а после обеда – 45%. На сколько больше продано газет после обеда?

А. 15    Б. 60          В. 120 Г. 180

13. Укажите ту часть массы, которая больше других.

 А. 15% от 20 кг Б. 22% от15 кг В.15% от 24 кг Г. 26% от 15 кг

14. Цены на летние спортивные товары зимой снижены на 75%. Во сколько раз зимние цены ниже по сравнению с летними?

А. В 3 раза      Б. В 4 раза В. В раза Г. В 5 раз

 

Вариант 2

Уровень

1. Нарисуйте квадрат со стороной 10 клеток. Заштрихуйте любые 25 клеток. Какой процент площади квадрата заштрихован?

 

А.40%             Б.4%          В.75%        Г.25%

 

2. Часть величины, заданную в процентах, соотнесите с соответствующей обыкновенной дробью:

20%                 50%           35%           90%

                                                 

3. На круговой диаграмме показано, какой вид транспорта выбирают жители города для поездки за город. Используя диаграмму, ответьте на вопрос: какой процент жителей города предпочитают электричку?

электричка

автомобиль автобус                             Ответ:

4. Сравните 25% всех учащихся школы и всех учащихся этой школы.

А. 25% больше  всех учащихся школы Б. 25% меньше  всех учащихся школы

В. 25% равны  всех учащихся школы     Г. Сравнить нельзя

5. Найдите 20% от 140 рублей.

А. 7р.              Б.14р.        В. 28р.                   Г. 120р.

6. Укажите верные утверждения:

I. 1г составляет 1% от 1 кг.

II. 10 кг составляет 1% от 1 т.

III.1кг составляет 1% от 1 ц.

IV.1ц составляет 1% от 1 т.

А.I и II Б.II и IV    В.II и III   Г.III и IV

7. Из 36 учащихся класса 27 человек занимаются в спортивных секциях. Какая часть класса занимается спортом? Ответ выразите в процентах.

Ответ:

8. Газонокосилка стоила 1500 р. После снижения цен она стала стоить 1200 р. На сколько процентов снижена цена этой газонокосилки?

А. на 80%       Б. на 20%  В. на 75%            Г. на 25%

 

9. Что больше: 22% от 33 р. или 32% от 22 р.?

А.22% от 33 р. Б.32% от 22 р.      В.Сравнить нельзя. Г.Одинаковые

 

10. В библиотеке 550 учебников, что составляет 10% всех книг. Сколько книг в библиотеке?

 

Ответ:

Уровень

 

11. В киоск привезли 600 газет. До обеда продали 20% всех газет, а после обеда - 50% всех газет. На сколько больше продано газет после обеда?

А. 120             Б. 300        В.30           Г.180

12. В киоск привезли 600 газет и 200 журналов. До обеда продали 15% всех газет и 90% всех журналов. Чего  продано меньше: газет или журналов? Во сколько раз?

Ответ:

13. Укажите ту часть массы, которая меньше других.

 А. 15% от 20 кг        Б. 22% от15 кг    В.15% от 24 кг    Г. 26% от 15 кг

14. Цены на летние спортивные товары зимой снижены на 80 %. Во сколько раз зимние цены ниже по сравнению с летними?

А. В 3 раза      Б. В 4 раза В. В раза Г. В 5 раз

Введение

Актуальность

        В тестах ЕГЭ по математике часто встречаются задачи на проценты. Так как % изучаются только в 5-6 классах, а потом мы к ним практически не возвращаемся, многие выпускники испытывают страх перед задачами на проценты. Чтобы этого не произошло, нужно ввести элективный курс по решению задач на проценты в 9 классе и организовать повторение по этой же теме и в 11 классе. Возникает необходимость разработки методики обучения решению задач на проценты разного уровня сложности в старших классах, когда у ребят имеются достаточный опыт и знания для решения более сложных задач.

 

Практическая значимость

Практическую значимость обучения решению задач на проценты трудно переоценить. Невозможно представить современного человека, не понимающего, что такое процент, не владеющего умением решать хотя бы простейшие задачи на проценты. Проценты нас сопровождают везде - в экономике, на производстве, в средствах массовой информации. Без этих знаний человек не может выполнять необходимые ему элементарные вычисления даже в быту - в магазине, в банке и т. д. Умение решать задачи на проценты необходимо каждому человеку, независимо от того, в какой бы области он ни трудился.

Поэтому задача средней школы - научить каждого ученика свободно оперировать понятием процента, решать различные задачи на проценты.

 В данной разработке приводятся различные методы и приемы обучения, направленные на усвоение каждым учеником умения решать задачи на проценты.

 

Предмет исследования

Систематизация имеющегося материала, изучение опыта работы других учителей, рассмотрение методики обучения по разным учебникам по данной теме, описание нового приема при объяснении способа решения указанных задач, составление элективного курса для 9 класса.

Новизна исследования

В работе предложен новый подход к решению задач на проценты, отличающийся от способов решения , данных в учебнике, который дает лучшие результаты. Разработан элективный курс по решению сложных задач на проценты в 9 классе.

 

Цели и задачи

 

Составление тематической разработки указанной темы в 5, 6 и 9 классах основной школы, составление планов уроков, подбор форм, приемов и технологии обучения по данной теме, организация текущего и итогового контроля, изготовление наглядного и раздаточного материала.

 

Результаты апробации

 

Результате применения описанной методики обучения учащиеся лучше осваивают решение указанных задач, на текущих контрольных работах и тестах получают хорошие оценки, выпускники справляются с задачами на проценты на ЕГЭ.

Основное содержание разработки.

 

1.Ознакомление с понятием «процента» и методами решения простейших задач по разным учебникам.

 

С понятием процента ученики впервые знакомятся в 5 классе. По программе этому важному понятию отводится всего 5 часов, включая контрольную работу. За 4 урока нужно дать определение процента как одну сотую часть целого, научить записывать проценты в виде обыкновенных и десятичных дробей, наглядно представить число процентов на рисунке как часть целого, научить решать простейшие задачи на проценты.

В учебнике «Математика для 5 класса Н.Я. Виленкин, В.И.Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд» рассматриваются 3 типа простейших задач: 1) вычисление процента от числа, 2) вычисления числа по его процентам, 3) какой процент составляет одно число от другого. Все эти задачи решаются нахождением числа, соответствующего 1%, затем умножением или делением на число процентов. На этом этапе большинство ребят хорошо справляются с поставленной задачей.

В учебнике «Математика для 5 класса. Э.Р. Нурк, А.Э.Тельгмаа» рассматриваются задачи только первого типа, которую решают тем же способом – нахождением числа, соответствующего 1% и умножением на число процентов. А по учебнику под редакцией Г.В,Дорофеева и И.Ф. Шарыгина в 5 классе проценты не изучаются.

В 6 классе на решение задач с процентами отводится 3 часа. После изучения темы

«Нахождение дроби от числа» рассматривается задача нахождения % от числа по новому правилу: процент переводится в десятичную или обыкновенную дробь и умножается на число.

После изучения темы «Нахождение числа по его дроби» рассматривается задача на нахождение числа по данному значению его процентов, которая решается переводом процентов в обыкновенную или десятичную дробь и делением числа на полученную дробь.

В теме «Отношения» рассматривается задача 3 типа – частное двух чисел умножается на 100%. При этом получаем, какой процент первое число составляет от второго.

Здесь уже слабые ученики начинают путать способы решения задач на проценты. В связи с этим я возвращаюсь к задачам на проценты после изучения темы «Пропорция». Теперь у учащихся есть новый «инструмент» для решения задач с процентами – составление и умение решать пропорции.

 

2. Изучение темы « Задачи на проценты» в 6 классе.

3 часа.

Решение «ключевых задач» на проценты с помощью пропорций.

 

Сначала необходимо напомнить ученикам, что означает запись – 1%, что означает 100%, и, например, 80%.

Рассмотрим решение «ключевых задач» на проценты, используя аналогию с задачами на дроби. Пусть

 

20 учеников – 1,                                     20 учеников – 100%

16 учеников - ,                                    16 учеников – 80%

Принимая некоторые числа за неизвестные, составим 6 задач, которые решаем с помощью пропорции.

 

2) Нахождение дроби от числа.

20уч. – 1,        В классе 20 учащихся,  из них занимаются в кружках.

х уч. -          Сколько учеников занимаются в кружках?

Составим пропорцию : =1: ;

                                          х ∙ 1 = 20 ∙

                                          х = 16.                   Ответ: 16

 

2) Нахождение числа по его дроби.

х уч. – 1,               16 учащихся занимаются в кружках, что составляет  всех учащихся

16 уч. -              класса. Сколько учеников в классе?

Составим пропорцию :  =1:

                                          х ∙  = 16 ∙ 1

                                          х = 20.                   Ответ: 20

 

3) Какую часть одно число составляет от другого?

 

20 уч. – 1,             В классе 20 учащихся, 16 из них занимаются в кружках. Какую часть 16 уч. – х.        составляют учащиеся, занимающиеся в кружках?

Составим пропорцию :   =

                                          20 ∙ х = 1 ∙ 16                        

                                          х =                     Ответ:

 

4) Нахождение процентов от данного числа.

 

20 уч. – 100%,                  В классе 20 учащихся, 80% из них занимаются в кружках.

х уч. – 80%.                      Сколько учеников занимается в кружках?

Составим пропорцию:   =

                                          100х = 20∙80

                                          х = 16                    Ответ: 16

 

5) Нахождение числа по его проценту.

 

х уч. – 100%                     16 учеников класса занимаются в кружках, что составляет 80% 16 уч. – 80 %                           всех учащихся. Сколько учащихся в классе?

Составим пропорцию:   =

                                          80х = 16∙100

                                          х = 20                    Ответ: 20

6) Какой процент одно число составляет от другого?

 

20 уч. – 100%,                              В классе 20 учащихся,16 из них занимаются в кружках. 

16 уч. – х %.                                 Сколько процентов учащихся занимается в кружках?

Составим пропорцию:               =

                                                      20х = 16∙100

                                                      х = 80                    Ответ: 80%