Лекция 2. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ . НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ

1. Основные виды деформаций. Внешние силы действуют на элементы сооружений и машин самым различным способом. Поэтому деформации элементов сооружений и машин, вызванные внешними силами, могут быть очень сложными. Однако эти сложные деформации всегда можно представить состоящими из небольшого числа основных видов деформаций (рис. 1- 7).

Рис. 1.	Рис. 2.	Рис.3.
Рис. 4.	Рис. 5.
Рис. 6.	Рис.7

Эти основные виды деформаций, изучаемые в сопротивлении материалов, следующие: 1) растяжение (рис. 1); 2) сжатие (рис. 2); 3) сдвиг (срез) (рис. 3); 4) кручение (рис. 4); 5) изгиб (рис. 5). Примерами сложных деформаций могут служить одновременное растяжение и кручение (рис. 6) или одновременное растяжение и изгиб (рис. 7).

Метод сечений

Проведение расчетов на прочность в сопротивлении материалов связано с необходимостью установления зависимостей между внешними силами, действующими на элементы конструкций, и возникающими при этом внутренними усилиями в материале.

Внутренние усилия, препятствующие деформации конструкции при нагружении, определяются методом сечений. Внутренние силы ищутся около некоторой точки, их связывают с определенной площадкой, проведенной через данную точку (для последующей оценки прочности именно в выбранной точке). Суть метода сечений заключается в следующем:

1. Мысленно разрезаем исследуемую конструкцию (стержень, брус, пластину, оболочку, тело) плоскостью, проходящей через выбранную точку D на две части 1 и 2 (рис. 2.1 о).

2. Так же мысленно отбрасываем одну из частей «разрезанного» тела, оставляя для исследования другую. Обычно для дальнейшего анализа берется та часть, к которой приложено меньше сил (на рис. 2.16 оставлена часть 1). Все тело и обе его части до «разрезания» были в равновесии, т. е. часть 1 действовала на часть 2 с такой же силой, как и часть 2 на часть 1.

3. Для того, чтобы часть 1 оставалась в равновесии после «разрезания», заменяют действие отброшенной части 2 на нее внутренними усилиями (рис. 2.16), закон распределения которых по сечению пока неизвестен. Отметим, что часть 1 действует на часть 2 с такими же, но противоположно направленными усилиями.

4. Уравновешиваем часть 1 — действие неизвестных внутренних усилий считаем эквивалентными их главному вектору R и главному моменту М (на рис. 2.1 в последний отмечен двумя стрелками), главный вектор и главный момент обычно при­водятся к центру тяжести сечения — т. С.

Рис. 8 - Исследуемый элемент конструкции под действием в целом уравновешенной системы как внешних сил F₁; F ...F_k ,F_n=1 , ...F_n , так и реакций связи R_A; R_Б мысленно «разрезанный» — а; оставшаяся часть конструкции под действием внешних сил и реакций связи, а также внутренних неизвестных усилий — б; уравновешивание оставшейся части конструкции — в; разложение главного вектора и главного момента внутренних усилий — г

По первым буквам вышеизложенной последовательности действий (разрезаем, отбрасываем, заменяем, уравновешиваем) этот метод имеет также название — метод РОЗУ.

Описанный метод сечений (или метод РОЗУ) позволяет определить не сами внутренние усилия, а их интегральные характеристики — главный вектор R и главный момент М.

Разложение этих интегральных характеристик по осям системы координат, связанной с сечением (оси х и у лежат в сечении, ось z направлена нормально к сечению) дает шесть силовых факторов R (N, Q_x, Q_y), М (М_х, М_у, М_z = Т):

N — продольная (или нормальная) сила, стремящаяся либо оторвать часть1 от части 2, либо сжать их;

Qx, Qy — перерезывающие (поперечные) силы, стремящиеся сдвинуть часть 1 относительно части 2 по сечению;

М_z = Т — крутящийся момент, пытающийся скрутить часть 1 относительно части 2 по оси z (на рис. 8,г проекции вектора момента Т показаны дугами со стрелками);

М_х, М_у — изгибающие моменты, стремящиеся изогнуть одну часть сечения от другой относительно осей х и у соответственно.

Лекция 3. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

Растяжением или сжатием называется такой вид деформации стержня, при котором в поперечном сечении возникает только продольная сила (нормальная растягивающая или сжимающая сила, не равная нулю), а все остальные внутренние силовые факторы равны нулю. В стержне при этом рассматривается поперечное, т. е. перпендикулярное оси стержня сечение.

Возьмём призматический брус (рис. 1) с постоянной площадью поперечного сечения А см². Нанесём на его поверхности острой иглой две неглубокие чёрточки на расстоянии l мм друг от друга. Теперь приложим по концам бруса две равные и противоположно направленные силы P  так, чтобы эти силы строго действовали вдоль оси бруса. Брус, находясь в равновесии под действием растягивающих сил, удлинится в продольном направлении, а поперечные его размеры несколько уменьшатся.

Рис. 1

При этом мы будем предполагать, что в рассматриваемом брусе все плоские сечения, нормальные к оси бруса, остаются и после деформации плоскими и нормальными к его оси. Эта гипотеза носит название гипотезы плоских сечений. Она подтверждается опытными данными для сечений, не близких к месту приложения силы Р; принимая эту гипотезу, тем самым предполагают, что все продольные элементы бруса растягиваются совершенно одинаково.

Принцип Сен-Венана. Нормальное напряжение в сечении бруса распределяется равномерно в тех случаях, когда сечение значительно удалено от точки приложения сил, и неравномерно в сечениях, расположенных вблизи точки приложения силы (рис. 2).

Гипотеза плоских сечений устанавливает, что при растяжении (сжатии) сечение бруса остается плоским и перпендикулярным линии действия силы. Тщательно измерив расстояние между двумя нанесёнными чёрточками, мы найдём, что оно увеличилось и стало равным l₁ мм. Обозначим полученное удлинение бруса через Δl; его величина будет:

Рис. 2

Это приращение длины бруса называется полным или абсо лютным удлинением при растяжении; в случае сжатия бруса оно называется полным или абсолютным укорочением.

Абсолютное удлинение, очевидно, зависит от первоначальной длины бруса. Поэтому более удобной мерой деформации является удлинение (укорочение), отнесённое к единице первоначальной длины бруса. Отношение называется относительной продольной деформацией или относительным удлинением).

Следовательно, относительной продольной деформацией называется отношение абсолютного удлинения (укорочения) к первоначальной длине бруса. Относительное удлинение (укорочение) не имеет размерности, число это отвлечённое и часто выражается в процентах от первоначальной длины:

Для определения напряжения в любом поперечном сечении, т. е. в сечении, перпендикулярном к оси бруса, применим общий способ, принятый в сопротивлении материалов,— метод сечений.

Рассечём мысленно брус на две части поперечным сечением ab и правую часть отбросим. Для равновесия оставшейся левой части приложим в плоскости сечения внутренние силы упругости, направленные нормально к плоскости сечения. Силы эти заменяют действие удалённой правой части на левую часть бруса. Равнодействующая сила упругости будет действовать по оси бруса и по величине будет равна Р кг. Приняв гипотезу плоских сечений, мы тем самым приняли, что при растяжении силы упругости распределены равномерно по всему сечению, поэтому напряжение во всех точках поперечного сечения будет определяться по формуле

s=P/А, МПа

Напряжение это будет нормальным, так как оно направлено, как и сила Р, перпендикулярно к плоскости поперечного сечения. В случае сжатия бруса напряжение вычисляется по той же формуле, так как здесь изменяется только направление сил.

Нагрузки и деформации, возникающие в брусе, тесно связаны между собой. Эта связь между нагрузкой и деформацией была сформулирована впервые Робертом Гуком в 1678 г. Согласно закону Гука деформация пропорциональна нагрузке. Этот закон является одним из основных в теории сопротивления материалов. При растяжении или сжатии бруса закон Гука выражает прямую пропорциональность между напряжением и относительной продольной деформацией:

Закон Гука при растяжении устанавливает, что нормальное напряжение, возникающее в поперечных сечениях при растяжении в пределах упругости, прямо пропорционально продольной деформации ε=ΔL/L:

где Е — коэффициент пропорциональности, который называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга. Пропорциональность эта нарушается, когда напряжение переходит за некоторый предел, называемый пределом пропорциональности.

Из формулы видно, что размерность модуля упругости Е такая же, как и напряжения, так как ε — величина отвлечённая, т. е. Е выражается в МПа.

Он характеризует жесткость материала, из которого изготовлен элемент конструкции. Для различных материалов его значения определены экспериментально.

Формулу, выражающую закон Гука, можно написать и в другом виде, подставляя в неё вместо s и e их выражения:

при этом получим видоизмененное выражение закона Гука:

где Δl— абсолютное изменение продольных размеров; l — первоначальные размеры элемента; ЕF — величина, характеризующая жесткость сечения бруса.

Формула напряжения и закон Гука являются основными формулами при расчётах на растяжение и сжатие.