Методика прочностного анализа стержневых конструкций

Методика прочностного анализа любой конструкции содержит следующие основные разделы:

1. Определение всех внешних сил и сил реакций.

2. Построение графиков (эпюр) силовых факторов, действующих в поперечных сечениях по длине стержня (бруса).

3. Построение графиков (эпюр) напряжений вдоль оси конструкции, нахождение максимума напряжений. Проверка условий прочности в местах максимальных значений напряжений.

4. Построение графика (эпюры) деформации стержневой конструкции, нахождение максимумов деформации. Проверка в сечениях условий жесткости

Проиллюстрируем вышесказанное на примере растяжения стержня.

Пусть мы имеем прямой стержень АВ длины I постоянного сечения (например, квадратного со стороной а), жестко закрепленный на одном конце и нагруженный осевой силой F на другом (рис. 4,а). Стержень расположен горизонтально, собственным весом стержня пока пренебрегаем.

Выполним последовательно пункты методики прочностного анализа:

1. Определим величину реакции в заделке (саму заделку мысленно отбрасываем и заменяем силой реакции R_Az, (рис. 4,6). Реакцию R_Az направляем влево (если в результате получим ее величину отрицательной, значит, сила реакции направлена в противоположную сторону, т. е. вправо).

Все внешние силы и силы реакции направлены вдоль оси стержня, поэтому условие его статического равновесия в данном случае имеет вид (сумма проекций всех внешних сил и реакций связи на ось z):

-R_Az+F = O.

Получаем величину реакции R_Az = F (заключаем, что выбранное направление силы реакции верно).

2. Применим метод сечений (РОЗУ) — рассекаем стержень в произвольном сечении I - I (рис. 4, а, б) и рассматриваем равновесие либо правой части 2, либо левой части 1, т. е. отбрасываем одну из частей. Действие внутренних силовых факторов, заменяем равнодействующей силой N в сечении площадью А:

Рис. 3.1.

Исследуемый элемент конструкции — а; расчетная схема — б; метод сечений — в; эпюра продольной силы — г; распределение нормальных напряжений по поперечному сечению — д; эпюра нормальных напряжений е; схема деформации стержня — ж; эпюра продольных деформаций — з; эпюра поперечных деформаций — и; эпюра продольных удлинений — к

Уравновешивание любой из частей показывает, что продольная (нормальная) сила N равна F и направлена от сечения (рис. 4,в), следовательно, по правилу знаков в сопромате считается положительной. Поскольку сечение 1-1 было выбрано произвольно, эпюра продольной силы по длине стержня будет постоянной (рис. 4, г, ордината – значение силового фактора).

3. Эксперимент показывает, что при рассматриваемом виде нагружения плоские сечения до деформации и после приложения нагрузки остаются плоскими (кроме краевых зон, величина которых сравнима с размером поперечного сечения). Отсюда можно сделать вывод, что интенсивность внутренних силовых факторов по поперечному сечению постоянна, т.е. нормальные напряжения одинаковы в любой точке поперечного сечения и равны (рис. 4, д):

s_z= N/A=F/A

Как и эпюра продольной силы, эпюра нормальных напряжений неизменна по длине (рис. 4,е).

4. Процесс анализа деформации стержня при растяжении показывает, что весь стержень удлинится на Ñl (абсолютная деформация) и его поперечные размеры сократятся на Ñа. Поскольку поперечные сечения остаются параллельными друг другу и после нагружения, то относительная продольная деформация любого продольного отрезка при растяжении постоянна и в нашем случае равна (рис. 4, ж, з):

e_z=Ñl/l

Относительная деформация — величина безразмерная (иногда задается в %).

Гипотеза упругости (физическая связь между напряжениями и деформациями) в случае растяжения (сжатия) стержневого элемента (закон Гука при растяжении - сжатии) имеет вид:

s_{z =} e_z ×Е,

где Е — модуль упругости материала (первого рода) или модуль Юнга — физическая характеристика, определяемая из опыта. В данной конкретной задаче (рис. 4,з) продольная деформация постоянна вдоль оси стержня и равна

e_z=s_z/Е = F/ЕА.

Величина ЕА – жесткость стержня на растяжение-сжатие. Эксперимент показывает, что отношение величин поперечной деформации к продольной для изотропных материалов практически постоянно и оценивается коэффициентом Пуассона (физическая характеристика материала – коэффициент поперечной деформации):

m = -e_y/ e_z

Эпюра поперечной деформации представлена на рис. 4,и. Величина m для широкого класса конструкционных материалов изменяется в диапазоне

0 £ m £ 0,5

Полное удлинение стержня: при постоянном значении N и площади сечения А равно:

Ñl=Fl/EA

На рис. 4, к представлена линейная эпюра изменения текущего значения Ñl(z) в зависимости от координаты z ( в т. А жесткая заделка – перемещений нет).

       Если наряду с внешними нагрузками имеется температурное воздействие, то согласно постулату о принципе независимости действия сил полная деформация есть суперпозиция силовой и температурной деформации, т.е.

e_z = s_z/Е + a×Ñt,

где a - коэффициент температурного расширения; Ñt – разность температур нагретого тела и исходного (обычно 20 ⁰С). В нашем случае при нагреве растягиваемого стержня полная абсолютная деформация (или удлинение) равна:

Ñl = Fl/ЕА + a×l×Ñt.

Лекция 4. ИСПЫТАНИЕ МАТЕРИАЛОВ НА РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

Основные механические характеристики материалов получают в результате специальных лабораторных исследований на испытательных машинах при нагружении стержней на растяжение и сжатие. Вид стержневых образцов и сами методы испытаний регламентированы государственными стандартами.

Испытания на растяжение образцов испытуемого материала производятся на специальных разрывных машинах. Образцы обычно бывают круглого (рис.1), реже - прямоугольного, сечения. На концах образцы имеют головки в виде утолщения.

Рис. 1

Диаграмма растяжения

Рассмотрим типичную диаграмму испытаний, характерную для образцов из малоуглеродистых сталей, полученную при нормальной температуре и стандартных скоростях деформирования при нагружении (рис. 2).

Рис.2. Диаграмма испытаний, вид и характер деформации стандартных образцов

На диаграмме растяжения могут быть условно выделены четыре характерных участка для различных стадий деформирования образца:

ОА — участок упругости (пропорциональности), на котором видна прямопропорциональная зависимость между растягивающей силой и вызываемого ею удлинения (абсолютной деформации). На этом участке абсолютная деформация достаточно мала (до 0,02 %).

АВ — участок (или площадка) текучести, где деформации растут без заметного повышения нагрузки. Следует отметить, что у многих конструкционных металлов участок текучести отсутствует (дюралюминий, легированные стали и др.). Деформации текучести достигают 0,2 %.

ВС — участокупрочнения, на котором отмечается новый, но более медленный, чем на первом участке, рост нагрузки. В конце этого участка на образце начинает образовываться шейка — местное сужение образца, это намечается место будущего разрыва, а растягивающая сила F достигает максимального значения. Деформация при этом около 15% .

     CD — участокразрушения (местной пластической деформации), на котором удлинение всего образца уже происходит за счет местной деформации в зоне шейки, площадь которой существенно уменьшается. Поэтому для разрушения требуется меньшее усилие. Отметим, что многие материалы разрушаются без заметного образования шейки.

Диаграммадеформирования является базовой для характеристики материала в сопротивлении материалов и получается из диаграммы испытаний, когда размеры образца исключаются путем деления растягивающей силы на первоначальную площадь, а абсолютного удлинения на начальную длину образца. Строится зависимость s = ¦(e) — рис. 3, а. Неучет изменения поперечных размеров за счет эффекта Пуассона делает эту диаграмму в определенной мере условной.

Рис. 3 - Диаграмма деформирования с участком текучести — а; без него — б

На диаграмме деформирования сохраняются те же характерные участки. Соответственно им следующие характеристики материалов имеют названия:

s _пц — предел пропорциональности;

s _т — предел текучести;

s _b — предел прочности;

s _k — напряжение в момент разрушения.

Если материал не имеет выраженной площадки текучести, то предел текучести назначается по допуску на пластические деформации. Наиболее распространенным значением предела текучести s_т является s₀₂, где 0,2 означает, что остаточная деформация при этом значении равна 0,2 % (рис. 3, 6).

В качестве характеристик пластичности (наряду с s_т) используются остаточное удлинение d (%) и остаточное сужение j_k (%):

d=Ñl/l₀; j_k=A₀ – A_k/A_k,

где l₀, А₀ – первоначальная длина образца и площадь; l_k, A_k – длина и площадь после разрушения (разрушенные части образца соединяются и производятся измерения).

Чем больше параметры d и j_к, тем пластичнее материал. Тангенс угла наклона участков ОА, LN диаграмм деформирования и будет модулем упругости материала (первого рода) или модулем Юнга: Е = tga (рис. 3). Размерность модуля упругости — это размерность напряжений, т. к. относительная деформация — величина безразмерная (в ряде случаев указывается в процентах). В технике принято и напряжения, и модуль упругости указывать в мегапаскалях — МПа (1 МПа = 10⁶ Па, 1 Па = Н/м², 1 МПа - 1 Н/мм²).