Условие прочности и жесткости при растяжении (сжатии)

Расчетнапрочностьподопускаемымнапряжениям основан на том, что наибольшее расчетное напряжение в опасном сечении стержневой конструкции не превосходит допускаемого (меньше — не более 10% , больше — не более 5%):

s_р£[s].

В случае растяжения (или сжатия) стержня

s_р = s_z,

s_z = N/A.

Допускаемое напряжение – это наибольшее напряжение, при котором обеспечивается требуемая прочность, жесткость и долговечность элемента конструкции в заданных условиях его эксплуатации.

Допускаемое напряжение составляет некоторую долю от предельного напряжения s_пред:

[s] = s_пред / [n],

где [n] - нормативный коэффициент запаса, показывающее, во сколько раз допускаемое напряжение меньше предельного. В сопромате за s_пред  принимают для пластичных материалов s_Т – предел текучести, а для хрупких s_В – предел прочности.

Фактический коэффициент запаса прочности (или рабочий коэффициент) для опасного сечения есть

n = s_пред / s_р.

Можно проводить три вида расчетов:

       1. Проверочный – по известным размерам и материалу стержня (заданы площадь сечения А и [s]) проверить, в состоянии ли он выдержать заданную нагрузку [N]

s_р = N/A£ [s].

2. Проектный – по известным нагрузкам (N задано) и материалу элемента - [s] ) подобрать необходимые размеры поперечного сечения, обеспечивающего его безопасную работу:

А ³ N / [s].

3. Определение допускаемой внешней нагрузки – по известным размерам (А задано) и материалу конструкции ([s]- дано) найти допускаемую величину внешней нагрузки:

[N] £ [s] × А.

Оценка жесткости стержневой конструкции проводится на основе проверки условия жесткости при растяжении: Ñl< [Ñl]

Величина допускаемой абсолютной деформации [Ñl] назначается отдельно для каждой конструкции.

Аналогично расчетам по условию прочности условие жест кости также предполагает три вида расчетов:

1) проверкажесткости данного элемента конструкции, т. е. проверка выполнения условия ;

2) расчетпроектируемогостержня, т. е. подбор его поперечных A³N×l/(E[Ñl]);

3. установка работоспособности данного стержня, т. е. подсчет допустимой нагрузки [N] = [l] × EA/l.

 

Лекция 5. Решение статически определимых задач

Перед рассмотрением конкретных примеров необходимо отметить, что в задачах на растяжение (сжатие) стержней внешние силы (и реакции связей) действуют вдоль оси стержня (или их равнодействующая приложена вдоль оси стержня), т. е. имеет место одноосное нагружение, поэтому и условие равновесия конструкции как твердого тела в пространстве сводится к равенству нулю суммы проекций всех внешних сил и сил реакций на эту ось, т. е. F_iz = 0

где i — общее число силовых факторов и реакций.

Известно, что для плоской системы сил можно составить три уравнения равновесия:

— сумма проекций всех сил и сил реакций на одну из координатных осей равна нулю, например: F_iz = 0

— сумма проекций всех сил и сил реакций на другую ось плоскости действия сил равна нулю, пусть F_iy = 0

-сумма моментов всех внешних сил и сил реакций относительно любой точки этой плоскости равна нулю mom_A (F_i)=0

где т. А произвольна.

Иногда для плоскойсистемы сил бывает рациональнее принять три уравнения в другом виде, но «новые» уравнения суть следствия трех вышеназванных:

— сумма проекций всех сил и сил реакций на одну из координатных осей плоскости равны нулю, например: F_iz = 0

-сумма моментов всех внешних сил и сил реакций относительно любой точки плоскости равна нулю mom_A (F_i)=0

-сумма моментов всех внешних сил и сил реакций относительно другой точки плоскости равна нулю mom_B (F_i)=0

(т. А и В выбираются из соображений рациональности составления уравнений равновесия).

Типичное моделирование условий закрепления концов стержней для плоской системы сил показано на рис. 1.

Рис. 1. Моделирование видов закрепления действием реактивных силовых факторов: шарнирно-подвижная опора — а (реакция вертикальная); шарнирно-неподвижная опора— б (направление реакции неизвестно, ищутся две ее составляющие R_Ay , R_Az); жесткая заделка — в (три неизвестных силовых фактора — две силы и один момент); стержень, шарнирно закрепленный с двух концов — г (принято считать, что он работает на растяжение или сжатие)

В общем случае пространственной системы сил можно составить шесть уравнений равновесия для стержня:

— сумма проекций всех сил и сил реакций относительно одной координатной оси равна нулю, например: F_iх = 0

— сумма проекций всех сил и сил реакций относительно другой координатной оси равна нулю, например: F_iy = 0

— сумма проекций всех сил и сил реакций относительно третьей координатной оси равна нулю, например: F_iz = 0

К ним добавляются три уравнения равенства моментов всех сил и реакций относительно этих координатных осей:

mom_x (F_i)=0

mom_y (F_i)=0

mom_z (F_i)=0

На рис. 2 представлено моделирование жесткого закрепления балки – заделка заменена шестью реактивными силовыми факторами.

Рис. 2. Замена жесткой заделки силовыми факторами — реактивными силами (R_Ax, R_Ay , R_Az) и реактивными моментами (М_х, М_y , М_z = Т)

 

В статически определимых задачах число неизвестных реакций равно числу уравнений статики для анализируемого тела.

Пример 1. Провести оценку влияния собственного веса на продольную деформацию стержня (рис. 3).

Пусть длина стержня I, площадь поперечного сечения А, собственный вес G, модуль упругости материала стержня Е.

Решение.

1. Условие равновесия (сумма проекций всех сил на ось z) позволяет определить реакцию в заделке (сила веса G направлена вдоль оси z):

F_iz = 0; G-R_Az=0; R_Az=G

2.    Применяем метод РОЗУ и определяем продольную силу в сечении 1 -1, она равна весу оставшейся части конструкции:

G^′=G/l(l-z), N=G^¢= G/l(l-z)

3. Нормальные напряжения при этом равны:

s_z=s=N/A=G/l×A(l-z).

Максимальные нормальные напряжения, очевидно, будут в заделке при z = 0:

s_max=Gl/lA=Gl/V=gl,

где V = Al — объем стержня, g— удельный вес.

Проведем численную оценку: имеем стержень из мягкой стали длиной l = 100 м, g= 10⁶ 0,0785 Н/м³, [s] =180 МПа. Тогда s_max = 10⁶ 0,0785 100 = 7,85 10⁶ Н/м² = 7,85 МПа, что составляет меньше 5% от величины [s].

Таким образом, можно сделать вывод, что влияние собственного веса стержневой конструкции следует учитывать при очень длинных стержнях (например, для канатов подъемников).

 

Рис. 3. Расчетная схема стержня при оценки собственного веса

4. Оценим деформацию стержня:

e_z=s/E=g(l-z)/E.

Текущее значение абсолютного удлинения ∆l(z):

∆l(z)=g/E¦₀^z(l-z)dz

Полное абсолютное удлинение стержня при z=l равно:

∆l=gl²/2E=Gl/2EA

или удлинение стержня под действием собственного веса вдвое меньше, чем удлинение под действием такой же по величине, как вес, нагрузки, но приложенной к концу стержня .

Лекция 5. ИЗГИБ. УСТОЙЧИВОСИТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

Многие элементы конструкций (балки, рельсы, оси всех колес и т.д.) испытывают деформацию изгиба.

Возьмём прямолинейный призматический брус с продольной плоскостью симметрии (рис. 1); приложим в этой плоскости уравновешенные силы, действующие перпендикулярно к оси бруса. Брус под действием этих сил изогнётся, ось его искривится.

 

 

Рис. 1

Изгибом называется деформация от момента внешних сил, действующих в плоскости, проходящей через геометрическую ось балки. В зависимости от места приложения действующих сил различают прямой и косой изгиб.

Изгиб называется прямым, если внешние силы, действующие на балку, лежат в главной плоскости сечения.

Главной плоскостью сечения называется плоскость, проходящая через ось балки и одну из главных центральных осей сечения.

Изгиб называется косым, если внешние силы не лежат в главной плоскости сечения.

В зависимости от характера внутренних силовых факторов, возникающих в поперечных сечениях балки, изгиб может быть чистым и поперечным.

Изгиб называется чистым, если в поперечном сечении балки (бруса) возникает один изгибающий момент М_И.

Изгиб называется поперечным, если под действием внешних сил в сечении балки (бруса) возникают изгибающий момент М_И и поперечная сила Q_y

Для наглядного представления деформации изгиба возьмём небольшой призматический резиновый стержень. Начертим на его грани две линии, параллельные друг другу и перпендикулярные к оси стержня. Приложим по его концам в плоскости симметрии два равных, но противоположно направленных момента (рис. 2, а). Стержень под действием изгибающих моментов прогнётся, начерченные прямые останутся прямыми и перпендикулярными к изогнутой оси стержня (рис. 2, б).

Видно, что плоские сечения взаимно поворачиваются одно относительно другого. Очевидно, такой поворот происходит вследствие растяжения одних волокон материала и сжатия других. Отсюда легко сделать заключение, что у балки имеется такой слой волокон, который не испытывает ни растяжения, ни сжатия. Этот слой называется, нейтральным слоем. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью какого-либо поперечного сечения называется нейтральной осью (линия nn).

Кроме того, на той же резиновой модели легко заметить что продольное укорочение волокон на вогнутой стороне сопровождается удлинением в поперечном направлении, а продольное удлинение волокон на выпуклой стороне — сужением в поперечном направлении, т. е. явления протекают так же, как при простом растяжении и сжатии. Вследствие этого верхняя и нижняя стороны сечения, т. е. линии ab и cd, искривятся, причём центр кривизны их будет один и тот же. Верхняя линия ab удлинится, а нижняя cd укоротится.

 

 

 

 

Рис. 2

 

Вследствие удлинения одних волокон и укорочения других, вызываемых в брусе изгибающими моментами, в поперечных сечениях бруса возникают нормальные напряжения растяжения и сжатия. Величина этих напряжений в данном поперечном сечении зависит от величины действующего в этом сечении изгибающего момента. Выше мы видели, что в случаях изгиба бруса силами, кроме изгибающего момента, в поперечных сечениях действуют ещё поперечные силы, стремящиеся произвести сдвиг бруса. Поперечные силы вызывают в брусе касательные напряжения, величина которых в сечении зависит от величины поперечной силы в данном сечении. Таким образом, в изгибаемом силами брусе возникают нормальные и касательные напряжения.

Прежде чем перейти к определению величин этих напряжений, рассмотрим способы определения изгибающих моментов и поперечных сил в различных поперечных сечениях изгибаемых брусьев.

Опоры и опорные реакции балок. Опоры балок по их устройству могут быть разделены на следующие три основных типа:

1)шарнирно-неподвижная опора,

2)шарнирно-подвижная опора

3)жёстко-защемляющая опора.

Шарнирно-неподвижная опора показана на фиг. 3, а. Конец балки опирается на каток О. Последний лежит на опорной подушке А, которая в свою очередь жёстко прикреплена к опорной плоскости N. Такая опора не даёт концу балки возможности передвигаться в каком-либо направлении, позволяя ему только поворачиваться относительно центра шарнира О.

В дальнейшем неподвижно-шарнирную опору будем изображать схематически, как указано на фиг. 3, б. Относительно реакции, возникающей в шарнирно-неподвижной опоре, известно только, что она лежит в плоскости действия нагружающих балку сил и проходит через центр шарнира. Величина и направление реакции нам неизвестны. Неизвестную по величине и направлению реакцию R всегда можно заменить двумя составляющими её реакциями: одной вертикальной А и другой горизонтальной Н. В этом случае вместо реакции, неизвестной по величине и направлению, получим две реакции, известные по направлению и неизвестные по величине. Таким образом, можно сказать, что шарнирно-неподвижная опора даёт две неизвестные по величине реакции.

 

 

Рис. 3

Шарнирно-подвижная опора показана на фиг. 4, а. Такая опора отличается от неподвижно-шарнирной тем, что у неё опорная подушка поставлена на катки, дающие ей возможность передвигаться вместе с концом балки вдоль оси последней по опорной плоскости N. В дальнейшем шарнирно-подвижную опору будем изображать схематически, как указано на фиг. 4, б. Шарнирно-подвижная опора налагает на конец балки только одну связь — она не дает возможности перемешаться концу балки в направлении, перпендикулярном к оси балки. Следовательно, шарнирно-подвижная опора даёт лишь одну реакцию, неизвестную по величине, но известную по направлению.

 

 

Рис. 4

Жёсткое защемление конца балки показано схематически на рис. 5. Такая опора препятствует всякому перемещению конца балки в плоскости действия внешних нагрузок и, кроме того, она препятствует вращению конца балки.

В жёстком защемлении возникает реакция, неизвестная по величине и направлению, препятствующая перемещению конца балки, и реактивный момент, препятствующий повороту конца балки. Неизвестную реакцию R можно всегда заменить двумя реакциями: одной вертикальной А и другой горизонтальной Н. На этом основании можно сказать, что на опоре, представляющей жёсткое защемление, возникают три неизвестные реакции: вертикальная реакция А, горизонтальная реакция Н и опорный момент m.

 

 

Рис. 5

В практике чаще всего силы, изгибающие балку, действуют перпендикулярно к оси балки. В этих-случаях число неизвестных реакций, возникающих на опорах, уменьшается, так как реакция вдоль оси балки в шарнирно-неподвижной опоре и в опоре, представляющей жёсткое защемление конца, делается равной нулю. Таким образом, для балок, изгибаемых нагрузками, перпендикулярными к оси балки, будем иметь: в шарнирно-неподвижной и шарнирно-подвижной опорах по одной неизвестной реакции А, направленной перпендикулярно к оси балки, в жёстком защемлении — две неизвестные реакции: реакцию А, перпендикулярную к оси балки, и реактивный момент m.