Выполнение задания (35 мин).

Размещения.

Определение. Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов.

Рассмотрим задачу .

Задача 1. Сколькими способами можно составить различные двузначные числа из четырех цифр 1,2,3,4 ?

Решение: В этой задаче речь идет о размещениях из четырех элементов по два.

1 способ. Перебор вариантов.

Рассмотрим все такие числа : 12 13 14 23 24 34

                                                21 31 41 32 42 43

Всего таких чисел 12.

Правило суммы.

Если элемент a можно выбрать m способами, а элемент b – n способами, причем любой выбор элемента a отличен от любого выбора элемента b, то выбор “a или b” можно сделать m + n способами.

Правило произведения.

Если из некоторого множества А элемент a_i  можно выбрать К_A способами, а элемент b_j из множества В – К_B способами, то совокупность (a_i ; b_j ) можно образовать К_A* К_B способами. Правило верно и для совокупностей, состоящих из большего, чем два числа элементов.

2 способ. С применением правила произведения.

Первая цифра числа выбирается 4 способами из данных цифр, а вторая цифра числа выбирается 3 способами (из оставшихся трех цифр). По правилу произведения 4 * 3=12 (способов).

Формула для вычисления числа размещений.

Первый элемент размещения выбирается n способами, второй элемент ( n -1) способами, …, k-ый элемент (n -(k -1)) способами ,т.е. можно ввести формулу для числа вариантов

= (n –1)·(n – 2) …·(n – (k – 1))

или  =   , где  - число размещений из n по k ,

 ( n! читается n - факториал); n!=1*2*3*….* n ; 0!= 1 по определению;

 1!= 1.

3 способ. Применение формулы для вычисления числа размещений.

 =  =  = 3 · 4 =12 .

    Задача 2. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры. Сколько различных вариантов нужно набрать, чтобы дозвониться, если абонент помнит, что цифры различны?

Решение: =  = 9 · 10 = 90

Перестановки.

Определение. Пусть дано множество N из n объектов. Всевозможные последовательности из всех n объектов называются перестановками.

Задача 1. Сколькими способами можно рассадить  n человек на n мест?

 Решение:

 1 способ . Перебор вариантов.

 1) n = 1. Число возможных вариантов 1.

 2) n = 2. Возможные варианты: 12 и 21 , всего их 2.

3) n = 3. Возможные варианты: 123 213 312 132 231 321, всего их 6.

4) n = 4 Возможные варианты:   1234 2134 3124 4123

                                                       1324 2314 3214 4213

                                                       1432 2431 3421 4321

                                                       1243 2341 3142 4132

                                                       1342 2143 3241 4231

                                                       1423 2431 3412 4312.  Всего их 24.

С увеличением числа n этот способ становится очень трудоемким. Можно заметить, что перестановки являются частным случаем размещений из n элементов по n , значит

        = n! т.к. = =  =  = n!.

2 способ. Применение формулы перестановок.

= 2!=1·2=2; =3!=1·2·3=6 ; =4!=1·2·3·4=24;

3 способ. Применение правила произведения. (для n = 4)

1. на 1 место человека можно посадить четырьмя способами : 1, 2, 3, 4

2. на 2 место только тремя способами : пример 12 13 14

3. на 3 место только двумя способами : пример 123 124

4. на 4 место только одним способом : пример 1234

всего вариантов: 4·3·2·1=24

Задача 2. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 6 различных предметов ?  

 Решение: = 6!=1·2·3·4·5·6=720

Задача 3. Сколько различных «слов» можно составить из букв слова математика?

Решение: В слове математика 10 букв, значит перестановок будет  =10! Однако буква а повторяется 3 раза , буква т – 2 раза , буква м – 2 раза и их перестановки не дают новых вариантов, значит

=  =   =151200

Задача 4. Для дежурства по классу в течение недели ( кроме воскресения) выделены 6 учащихся. Сколькими способами можно установить очередность дежурств, если каждый учащийся дежурит один раз?       

Решение: P=6!=720.

    Задача 5. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти , можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6, при условии , что цифры в числе не повторяются?

Решение: Последняя цифра должна быть 5, предыдущие цифры могут быть составлены из оставшихся пяти цифр 1,2,3,4,6.

Р=5!=120 .

Сочетания.

Определение. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов , называется сочетанием из n элементов по k элементов.

Задача 1. Сколько наборов из двух книг можно скомпоновать из четырех книг ?

Решение:

1 способ. Перебор вариантов.