Построение частотных характеристик исходной САУ

 

Построение частотных характеристик выполняется в среде MathCAD.

Частотные характеристики разомкнутой исходной системы.

 

Амплитудно-фазо-частотная характеристика.

 

ω ∈ (0 ; 1000)

Рисунок 1.2.1.1 — АФЧХ разомкнутой системы

 

Таблица 1.2.1.1 — Данные для построения АФЧХ разомкнутой системы

ω	0	2	6	10	20	40	60	80	100
Up(ω)	1	0.908	0,437	0.068	-0.171	-0.084	-0.032	-0.013	-0.006
Vp(ω)	0	-0.337	-0.650	-0.579	-0.220	-0.008	0.011	0.009	0.006

Амплитудно-частотная характеристика.

 

 

ω ∈ (0 ; 100)

Рисунок 1.2.1.2 — АЧХ разомкнутой системы

 

Таблица 1.2.1.2 — Данные для построения АЧХ разомкнутой системы

ω	0	10	20	30	40	50	60	80	100
Up(ω)	1	0.583	0.279	0.147	0.084	0.052	0.034	0.016	0.009

Фазо-частотная характеристика.

 

 

ω ∈ (0 ; 100)

 

Рисунок 1.2.1.3 — ФЧХ разомкнутой системы

 

Таблица 1.2.1.3 — Данные для построения ФЧХ разомкнутой системы

ω	0	10	20	30	40	50	60	80	100
φp(ω),рад.	0	-1.454	-2.231	-2.716	-3.052	-3.298	-3.485	-3.747	-3.921

 

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика.

 

 

ω ∈ (0,1 ; 1000)

 

 

Рисунок 1.2.1.4 — ЛАЧХ разомкнутой системы

 

Таблица 1.2.1.4 — Данные для построения ЛАЧХ разомкнутой системы

ω	0.1	1	4	10	20	60	100	400	1000
Lр(ω), дБ	-0.00	-0.07	-1.04	-4.69	-11.09	-29.40	-40.91	-151.71	-199.32

 

Логарифмическая фазо-частотная характеристика.

 

ω ∈ (0,1 ; 1000)

 

Рисунок 1.2.1.5 — ЛФЧХ разомкнутой системы

 

Таблица 1.2.1.5 — Данные для построения ЛФЧХ разомкнутой системы

ω	0.1	1	4	10	20	40	60	100	1000
Lp(ω), рад.	-0.018	-0.179	-0.686	-1.454	-2.231	-3.05	-3.485	-3.92	-4.63

 

Частотные характеристики замкнутой исходной системы.

Амплитудно-фазо-частотная характеристика.

ω ∈ (0 ; 1000)

Рисунок 1.2.2.1 — АФЧХ замкнутой системы

 

Таблица 1.2.2.1 — Данные для построения АФЧХ замкнутой системы

ω	0	2	6	10	20	40	60	100	200
Uз(ω)	5	4.917	4.224	2.763	-1.268	-0.917	-0.328	-0.064	-0.005
Vз(ω)	0	-0.898	-2.614	-3.923	-2.994	-0.090	-0.122	0.064	0.011

Амплитудно-частотная характеристика.

 

 

ω ∈ (0 ; 100)

Рисунок 1.2.2.2 — АЧХ замкнутой системы

 

Таблица 1.2.2.2 — Данные для построения АЧХ замкнутой системы

ω	0	10	20	30	40	50	60	80	100
Uз(ω)	5	4.798	3.251	1.692	0.922	0.548	0.350	0.166	0.091

 

Фазо-частотная характеристика.

 

 

ω ∈ (0 ; 100)

 

Рисунок 1.2.2.3 — ФЧХ замкнутой системы

 

Таблица 1.2.2.3 — Данные для построения ФЧХ замкнутой системы

ω	0	10	20	30	40	50	60	80	100
φз(ω), рад.	0	-0.957	-1.972	-2.646	-3.044	-3.307	-3.497	-3.757	-3.927

 

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика.

 

 

ω ∈ (0.1 ; 1000)

 

Рисунок 1.2.2.4 — ЛАЧХ замкнутой системы

 

Таблица 1.2.2.4 — Данные для построения ЛАЧХ замкнутой системы

ω	0.1	1	4	10	20	40	100	400	1000
Lз(ω),дБ	13.98	13.98	13.96	13.62	10.24	-0.71	-20.85	-55.85	-79.66

 

Логарифмическая фазо-частотная характеристика.

 

 

ω ∈ (0,1 ; 1000)

 

 

Рисунок 1.2.2.5 — ЛФЧХ замкнутой системы

Таблица 1.2.2.5 — Данные для построения ЛФЧХ замкнутой системы

ω	0.1	1	4	10	20	40	60	100	1000
φз(ω), рад.	-0.009	-0.09	-0.364	-0.957	-1.97	-3.044	-3.497	-3.927	-4.63

Анализ устойчивости САУ.

Критерий Михайлова.

Для построения годографа Михайлова, необходимо представить характеристическое уравнение передаточной функции замкнутой системы в комплексной форме, заменив переменную s на j ·ω, и разбив получившееся представление на вещественную и мнимую части. Эта операция производилась на этапе разбиения передаточной функции замкнутой системы на вещественную и мнимую, поэтому, воспользуемся её результатами:

— вещественная часть;

— мнимая часть.

Теперь, строим годограф Михайлова на комплексной плоскости:

ω ∈ (0 ; 100)

Рисунок 1.3.1.1 — годограф Михайлова

Таблица 1.3.1.1 — Данные для построения годографа Михайлова

ω	0	2	10	20	40	60	100	400	1000
Cз(ω)	2	1.968	1.2	-1.2	-10.8	-26.8	-78	-1278	-7998
Dз(ω)	0	0.359	1.704	2.832	1.056	-9.936	-78	-6072	-95820

 

Вектор Михайлова повернулся вокруг начала координат в положительном направлении и ушёл в бесконечность в третьем квадранте, что соответствует порядку характеристического уравнения, а это значит, что, согласно критерию Михайлова, система является устойчивой.

1.3.2 Критерий Гурвица.

Характеристическое уравнение передаточной функции замкнутой системы:

 

.

 

Коэффициенты характеристического уравнения для определителя Гурвица нумеруем соответственно показателям степени переменной при них:

a₀=2; a₁=0,18; a₂=0,008; a₃=0,000096;

Определитель Гурвица:

Подставляя полученные значения, вычисляем его:

Главный определитель Гурвица положителен. Аналогично исследуем все оставшиеся миноры.

     

          

Учитывая положительность всех диагональных миноров, заключаем устойчивость системы.

Критерий Рауса.

Характеристическое уравнение передаточной функции замкнутой системы:

 

.

 

Коэффициенты характеристического уравнения для таблицы Рауса нумеруем соответственно показателю степени переменной при них:

 

a₀=2; a₁=0,18; a₂=0,008; a₃=0,000096;

 

Таблица 1.3.1 — Таблица Рауса.

 

Так как все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса положительны, можно сделать вывод об устойчивости замкнутой системы.

Критерий Найквиста.

Здесь используется АФЧХ разомкнутой системы:

Рисунок 1.3.4.1 — годограф Найквиста

При стремлении частоты в бесконечность, годограф приходит в начало координат, закручиваясь по часовой стрелке, и не охватывает точку с координатами (–1 ; j0), что свидетельствует об устойчивости как разомкнутой, так и замкнутой системы.

 

Все критерии оценки устойчивости показали, что система устойчива и в замкнутом, и в разомкнутом состоянии.