Общая теоретическая часть

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА (г. КАЗАНЬ)

Кафедра высшей математики

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

НА ТЕМУ:

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Конечно-разностный метод решения краевых задач

 для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Выполнил:

студент группы № _____

дневного (заочного) отделения

факультета менеджмента и маркетинга

специальность: управление качеством

_______________________________

номер зачетной книжки __________

контактный телефон: ____________

Руководитель:

доц. Лебедев В.Н.

Казань – 2010 г.

СОДЕРЖАНИЕ

 Ведение ……………………………………………………………………………….3

1. Общая теоретическая часть………………………………………………………..4

1.1. Действия с приближёнными величинами……………………………………....4

1.2. Основные численные методы……………………………………………………7

1.2.1. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений…………………...7

1.2.2. Интерполяция функций………………………………………………………..10

1.2.3. Метод наименьших квадратов и его применения……………………………11

1.2.4. Численное интегрирование……………………………………………………14

2. Конечно-разностный метод решения краевых задач для обыкновенных

 дифференциальных уравнений……………………………………………………...16

3. Расчетная часть…………………………………………………………………….18

3.1. Поиск действительных корней уравнения……………………………………..18

3.2. Приближеннее вычисление интеграла………………………………………….20

3.3. Построение интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона………...21

3.4. Оценки параметров линейной и квадратичной моделей……………………...22

Результаты и выводы…………………………………………………………………24

Список использованной литературы………………………………………………...24

ВВЕДЕНИЕ

Появление и непрерывное совершенствование быстро­действующих электронных вычислительных машин (ЭВМ) привело к подлинно революционному преобразованию науки вообще и математики в особенности. Изменилась технология научных исследований, колоссально увеличи­лись возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов, проектирования инженерных конст­рукций. Решение крупных научно-технических проблем, примерами которых могут служить проблемы овладения ядерной энергией и освоения космоса, стало возможным лишь благодаря применению математического моделиро­вания и новых численных методов, предназначенных для ЭВМ.

Первая крупная проблема – овладение ядерной энер­гией – требует решения комплекса сложных задач физи­ки и механики (управление работой реактора, исполь­зование энергии деления ядер урана, защита от про­никающего излучения, охлаждение стенок реактора, изучение тепловых полей и упругих напряжений в стен­ках, решение многих других задач). Все эти задачи необходимо решать до начала работы реактора, используя для них математическое описание (модель) и проводя численные расчеты на ЭВМ.

Вторая крупная проб­лема – освоение космоса – связана с созданием летатель­ных аппаратов и решением для них многих задач аэроди­намики и баллистики (например, расчет движения ракеты и управление ее полетом). Здесь также имеется комплекс сложных задач механики, физики и техники, которые мо­гут быть решены только с использованием численных методов.

Ещё одну проблема, стоящая перед челове­чеством – поиск новых источников энергии. Один из ос­новных проектов получения энергии – использование ре­акции управляемого термоядерного синтеза ядер дейте­рия и трития. Запасы термоядерного горючего на Земле практически неисчерпаемы, а продукты реакции не за­грязняют среду. Однако термоядерная реакция начина­ется только при экстремальных условиях – при высокой температуре (порядка десятков и сотен миллионов граду­сов) и огромном сжатии (в тысячи раз) дейтерия и три­тия; кроме того, требуется удержать горючее вещество в этом состоянии в течение времени, достаточного для раз­вития реакции горения (синтеза). Создание таких усло­вий – пока еще нерешенная научно-техническая про­блема.

Существует несколько проектов нагрева, сжатия и удержания термоядерного горючего (плазмы). При их реализации возникает много вопросов, которые надо ре­шать до начала проектирования даже экспериментальных установок. Необходимо прежде всего изучить поведение плазмы при высоких температурах и плотностях, в маг­нитных полях и выяснить условия, при которых возможна сама реакция термоядерного синтеза.

Такие исследования проводятся па основе математи­ческого описания (математической модели) физических процессов и последующего решения соответствующих ма­тематических задач на ЭВМ при помощи вычислительных алгоритмов.

В настоящее время можно говорить, что появился но­вый способ теоретического исследования сложных про­цессов, допускающих математическое описание – вычис­лительный эксперимент, т. е. исследование естественно­научных проблем средствами вычислительной математики.

На первом этапе проводится выбор математической мо­дели, т. е. приближенное описание процесса в форме ал­гебраических, дифференциальных или интегральных урав­нений. Эти уравнения обычно выражают законы сохра­нения основных физических величин (энергии, количест­ва движения, массы и др.). Полученную математическую модель необходимо исследовать методами теории диффе­ренциальных уравнений.

Надо установить, правильно ли поставлена задача, хватает ли исходных данных, не про­тиворечат ли они друг другу, существует ли решение по­ставленной задачи и единственно ли оно. На этом этапе используются методы классической математики. Следует отметить, что многие физические задачи приводят к таким математическим моделям, разработка теории которых на­ходится в начальной стадии. На практике приходится ре­шать задачи математической физики, для которых не имеется теорем существования и единственности.

Второй этап вычислительного эксперимента состоит в построении приближенного численного метода решения задачи, т. е. в выборе вычислительного алгоритма. Под вычислительным алгоритмом понимают последователь­ность арифметических и логических операций, при по­мощи которых находится решение математической задачи, сформулированной на первом этапе.

Па третьем этапе осуществляется программирование вычислительного алгоритма для ЭВМ и на четвертом эта­пе – проведение расчетов па ЭВМ. Деятельность по программированию должна быть тес­но связана с разработкой конкретных численных алго­ритмов.

Наконец, в качестве пятого этапа вычислительного эксперимента можно выделить анализ полученных чис­ленных результатов и последующее уточнение математи­ческой модели. Может оказаться, что модель слишком груба – результат вычислений не согласуется с физиче­ским экспериментом, или что модель слишком сложна, и решение с достаточной точностью можно получить при более простых моделях. Тогда следует начинать работу с первого этапа, т. е. уточнить математическую модель, и снова пройти все этапы.

Следует отметить, что вычислительный эксперимент – это, как правило, не разовый счет по стандартным фор­мулам, а прежде всего расчет серии вариантов для раз­личных математических моделей.

Т.о. численные методы решение задач в последнее десятилетие благодаря совершенствованию ЭВМ получают всё большее применение в различных отраслях науки и техники.

Общая теоретическая часть