Численное интегрирование .

Численное интегрирование – вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых x = a и x = b, где a и b – пределы интегрирования.

Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую функцию, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида:

 где

n – число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки x_i называются узлами метода, числа w_i – весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона). Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.

Частным случаем является метод построения интегральных квадратурных формул для равномерных сеток, известный как формулы Котеса. Метод назван в честь Роджера Котса. Основной идеей метода является замена подынтегральной функции каким-либо интерполяционным многочленом. После взятия интеграла можно написать

где числа H_i называются коэффициентами Котеса и вычисляются как интегралы от соответствующих многочленов, стоящих в исходном интерполяционном многочлене для подынтегральной функции при значении функции в узле:

 x_i = a + ih;  где h = (b − a) / n – шаг сетки; n – число узлов сетки, а индекс узлов . Слагаемое – погрешность метода, которая может быть найдена разными способами. Для нечетных погрешность может быть найдена интегрированием погрешности интерполяционного полинома подынтегральной функции.

Частными случаями формул Котеса являются: формулы прямоугольников (n = 0), формулы трапеций (n = 1), формула Симпсона (n = 2), формула Ньютона (n = 3) и т. д.

При использовании метода прямоугольников используются формулы:

Формула а), если заданная функция – положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, также называемая формулой левых прямоугольников.

Формула б) выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, также называемая формулой правых прямоугольников.

Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок , тем точнее значение искомого интеграла, вычисляемое по этим формулам.

Очевидно, стоит рассчитывать на бо́льшую точность если брать в качестве опорной точки для нахождения высоты точку посередине промежутка. В результате получаем формулу средних прямоугольников:

Учитывая бо́льшую точность последней формулы при том же объеме и характере вычислений её называют формулой прямоугольников

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке:

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h:

Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Этот метод получил название метода парабол или метода Симпсона.

Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид

.

Если разбить интервал интегрирования на 2N равных частей, то имеем

Описанные выше методы используют фиксированные точки отрезка (концы и середину) и имеют низкий порядок точности (1 – методы правых и левых прямоугольников, 2 – методы средних прямоугольников и трапеций, 3 – метод парабол (Симпсона)). Если можно выбирать точки, в которых вычисляется значения функции f(x), то можно при том же количестве вычислений подынтегральной функции получить методы более высокого порядка точности. Этот способ реализован в методе Гаусса.

Так для двух (как в методе трапеций) вычислений значений подынтегральной функции, можно получить метод уже не 1-го, а 3-го порядка точности:

.

В общем случае, используя n точек, можно получить метод с порядком точности 2n − 1. Значения узлов метода Гаусса по n точкам являются корнями полинома Лежандра степени n.

Значения узлов метода Гаусса и их весов приводятся в справочниках специальных функций. Наиболее известен метод Гаусса по пяти точкам.

Метод Гаусса-Конрада позволяет оценить точность значения интеграла, вычисленного методом Гаусса.

В численном интегрировании имеются труды Чебышева, интегрирование при бесконечных пределах рассмотрены в методе Самокиша, существуют методы Монте-Карло, применяемые в многомерных случаях, методы Рунге-Кутта.