Корреляционные функции и спектральные плотности типовых стационарных процессов

1. Белый шум.

Как отмечено ранее, белый шум – это центрированный случайный процесс X(t) с некоррелированными сечениями. Следовательно, по определению, корреляционная функция белого шума:

                                 .                        (4.52)

Множитель G(t) = G(t₁) = G(t₂) называется интенсивностью белого шума, d – дельта функция. Если G(t) = G – белый шум стационарный.

Дисперсия белого шума:

                           .                 (4.53)

Используя формулу Винера-Ханчина, вычислим спектральную плотность:

                         (4.54)

Графически это показано на рис. 4.11.

Белый шум – идеализированная случайная функция, реализовать которую на практике невозможно. Некоторые процессы в пределах заданных (достаточно широких) диапазонов можно приближённо считать белым шумом. Например, тепловые шумы сопротивления:

                                                ,                                      (4.55)

где R – сопротивление, к = 1,37*10^-23 – постоянная Больцмана, Т⁰ – абсолютная температура.

Рис. 4.11. Корреляционная функция и спектральная плотность белого шума

2. Формирующий фильтр.

Из белого шума  можно получить случайный процесс с заданными характеристиками, пропуская  через апериодическое звено (рис. 4.12).

Рис. 4.12. Формирующий фильтр

Уравнение формирующего фильтра имеет вид:

                                             .

Если интенсивность белого шума задать G = 1, а параметры апериодического звена:

                                        ,                               (4.56)

то X(t) имеет следующие характеристики (рис. 4.13).

Экспоненциальная корреляционная функция будет иметь вид:

                                             .                                   (4.57)

Воспользуемся преобразованием Винера-Ханчина:

                                   ,                          (4.58)

где учтено, что

      (4.59)

Рис. 4.13. Корреляционная функция и спектральная плотность
формирующего фильтра

При уменьшении параметра a (при возрастании постоянной времени Т) корреляционная функция будет убывать медленнее, что соответствует более плавным реализациям случайного процесса X(t). Кривая s_x(w) при этом вытягивается вверх, сжимаясь с боков, т.е. повышается удельный вес низких частот.

При a ® ¥ (T ® 0) X(t) вырождается в белый шум.

3. Нерегулярная качка.

Некоторые объекты, например корабли, самолёты, находясь под действием нерегулярных возмущений (волнение моря, турбулентность атмосферы), движутся по случайному закону. Получающееся при этом случайное движение объекта называют нерегулярной качкой, в отличие от регулярной качки, представляющей собой периодическое движение. График такого процесса имеет вид, представленный на рис. 4.14. Несмотря на случайный характер, это движение близко к периодическому. Корреляционная функция нерегулярной качки имеет вид:

                                     .                            (4.60)

Выражение (4.60) является экспоненциально-косинусной корреляционной функцией, где w₀ – резонансная частота, a – параметр затухания (  T – постоянная времени), D_x – дисперсия.

Рис. 4.14. Нерегулярная качка

Значения D_x, a, w₀ обычно находят экспериментально.

По формуле Винера-Ханчина определим спектральную плотность:

             (4.61)

Таким образом, описывается изменение одного из параметров нерегулярной качки, например, угла крена (или угловой скорости).

Графики корреляционной функции и спектральной плотности нерегулярной качки имеют вид:

Рис. 4.15. Корреляционная функция и спектральная плотность
нерегулярной качки

Для корреляционных функций типовых случайных процессов определены их изображения (преобразования Фурье) и составлены таблицы, которые приведены в справочниках.

Рассмотрим без вывода некоторые из них.

4. Гармонический сигнал.

                                         .                                (4.62)

Корреляционная функция и спектральная плотность гармонического сигнала имеют вид:

                                                       (4.63)

Графическое изображение представлено на рисунке 4.16:

Рис. 4.16. Корреляционная функция и спектральная плотность гармонического сигнала

Из графика (а) видно, что мощность сигнала сосредоточена на двух частотах (для реального физического сигнала – на одной частоте w₁).

5. Периодический сигнал, разлагаемый в ряд Фурье.

                                 .                        (4.64)

Спектральная плотность данного сигнала описывается выражением:

                      .            (4.65)

Графическое изображение представлено на рис. 4.17:

Рис. 4.17. Спектральная плотность суммы гармоник

Если процесс X(t), кроме периодической части, будет содержать непериодическую случайную составляющую, то спектр этого процесса будет содержать импульсные и непрерывную составляющие (рис. 4.18).

Рис. 4.18. Спектральная плотность случайной и гармонической
составляющих сигнала

Если процесс X(t) не содержит периодической части, то он будет иметь непрерывный спектр без ярко выраженных пиков.

Литература

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. 4-е изд. перераб. и доп. – СПб.: изд-во «Профессия», 2004.

2. Пугачёв В.С., Синицин И.Н. Теория стохастических систем. – М.: Логос, 2004.

3. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления /Под ред. В.А. Бесекерского. – М.: Наука, 1987.

4. Андреев И.И. Теория статистически оптимальных систем управления. – М.: Наука, 1985.

5. Астапов Ю.М., Медведев В.C. Статистическая теория систем автоматического регулирования и управления. – М.: Наука, 1987.

6. Прикладные математические методы анализа в радиотехнике /Под ред. Г.В. Образцова. – М.: Высш. шк., 1989.

7. Шахтарин Б.И. Случайные процессы в радиотехнике. – М.: Радио и связь, 2000.

8. Пугачёв В.С. Основы автоматического управления. – М.: Наука, 1974.

9. Казаков И.Е., Артемьев В.М. Бухалёв В.А. Анализ систем случайной структуры. – М.: Физматлит, 1993.

10. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB-5 и Scilab. – СПб: Наука, 2000.

                                                                                Св. план 2006, поз. 35

Учебное издание

Лобатый Александр Александрович,

Русак Леонид Владимирович,

Чумаков Олег Анатольевич