Выбросы стационарных случайных процессов

Выбросом случайного процесса называют превышение реализацией этого процесса некоторого определённого предела.

Рассмотрим процесс X(t). На рисунке 2.5 приведена реализация x(t) случайного процесса X(t), пересекающая фиксированный уровень C.

Если рассматриваются только положительные выбросы, то величину Θ называют длительностью интервалов между выбросами.

Знание статистических характеристик выбросов случайных процессов необходимо при решении многих практических задач. Например, под действием выбросов может произойти срыв слежения за целью пеленгатора. Выбросы токов и напряжений за допустимые пределы могут вызвать отказы элементов автоматики и радиотехнических систем.

Рис. 2.5. Выбросы случайного процесса

На рисунке 2.5 обозначено:

Н – локальный максимум процесса X(t);

Н _m – абсолютный максимум функции X(t);

τ₀ – момент первого выброса;

τ – длительность положительного выброса – пересечения реализацией X(t) уровня C снизу вверх ;

– длительность отрицательного выброса пересечения реализаций x(t) уровня с верху вниз

Т – длительность реализации x(t);

N – число выбросов.

Определим среднее число положительных выбросов нормального стационарного случайного процесса X(t) за уровень C на интервале (0, T).

Очевидно, что число выбросов N(T) случайного процесса за уровень C на интервале (0, T) случайно зависит от длительности этого интервала и определяется следующим выражением:

      . (2.8)

Действительно, подинтегральная функция вследствие свойств дельта-функции и единичной ступенчатой функции равна нулю всюду, кроме тех точек, где случайный процесс X(t) пересекает уровень C (условие x(t) – C = 0).

Рис. 2.6. Пересечение процессом  уровня С

В точках t_k (k = 1,2, …) подынтегральная функция бесконечна (так как ) и в каждой из этих точек интеграл скачком возрастает на единицу.

Для объяснения этого рассмотрим N(t) на интервале (t_k – e, t_k + e), в котором случайный процесс пересекает уровень снизу. Сделаем замену переменных

              (так как ).       (2.9)

Следовательно, интеграл (2.8) равен числу положительных пересечений случайного процесса  с уровнем C на интервале [0, T].

Среднее число положительны выбросов случайного процесса X(t) за уровень C равно математическому ожиданию случайной величины N(t) – числа выбросов на [0, T].

                 ,       (2.10)

где – двумерная плотность вероятности случайного процесса  и его производной , которая для стационарного нормального случайного процесса со средним нулевым значением равна

                                 .                        (2.11)

Подставляя формулу (2.8) для N_c(T) в (2.10), получим

             .    (2.12)

Используем известное правило интегрирования произвольной функции  на дельта-функцию

                                        .                               (2.13)

Проинтегрируем подинтегральное выражение по переменной x

                               .                      (2.14)

Для стационарного случайного процесса внутренний интеграл не зависит от времени. Поэтому выражение (2.14) можно записать в следующем виде:

                                      .                            (2.15)

Выражение (2.15) позволяет определить среднее число положительных выбросов стационарного нормального предела X(t) за уровень c.

Среднее число отрицательных выбросов случайного процесса за произвольный уровень h определяется аналогично:

                                     .                            (2.16)

Среднее число положительных и отрицательных выбросов случайного процесса определяется как сумма (за уровень c и уровень h)

                                .                       (2.17)

Зная среднее число выбросов случайного процесса за заданный уровень, можно определить интенсивность λ числа выбросов на интервале [0, T], разделив среднее число выбросов на длину интервала

                               .                     (2.18)

Подставляя формулу (2.11) для плотности вероятности ,в которой заменён параметр x на c, в (2.18) и вычисляя полученный интеграл, окончательно получим

                                         .                               (2.19)

Число выбросов N_c(T) случайного процесса X(T) за уровень c на интервале [0, T] представляет собой дискретную случайную величину, возможными значениями которой являются неотрицательные целые числа.

При достаточно большом уровне  выбросы нормально стационарного процесса X(T) становятся редкими явлениями, а интервалы Θ между выбросами будут настолько велики по сравнению с длительностью выбросов τ, что сечения случайного процесса, разделённые такими интервалами, будут практически независимыми. Следовательно, моменты t₁, t₂, … выбросов также будут независимыми.

При таких предположениях закон распределения числа выбросов будет близок к пуассоновскому закону, для которого

               ,      (2.20)

где P_m – вероятность того, что число положительных выбросов за уровень c случайного процесса X(t) на интервале [0, T] равна числу m.

                                     .                            (2.21)

Известно, что для пуассоновского распределения дисперсия и математическое ожидание совпадают

                                         ,                               (2.22)

поэтому при несовпадении этих параметров пользуются законами, выраженными линейными комбинациями пуассоновских распределений с разными параметрами.

Для вычисления интенсивности λ_c(T) числа выбросов (2.19) необходимо знать величины  и , которые определяются по известной корреляционной функции стационарного случайного процесса

                                          ,                                (2.23)

                            .                  (2.24)

Важными для практики исследования систем управления являются вероятность отсутствия выбросов P₀ и вероятность хотя бы одного выброса на интервале (0, T), определяемые на основе (2.20) выражениями:

                                                               (2.25)

                                       .                (2.26)

В заключение отметим, что систематическое и полное изложение теории и практических вопросов, связанных с выбросами случайных процессов даётся в книгах В.И. Тихонова (Стат. радиотехника, Тихонов, Миронов и т.д.).