Передаточные функции основных видов соединений звеньев

Системы, как правило, состоят из подсистем или звеньев по терминологии теории автоматического управления. Зная передаточные функции звеньев не трудно вычислить передаточную функцию системы. Для этого пользуются выражениями передаточных функций основных видов соединений звеньев. Большая часть из них очевидна, тем не менее, рассмотрим все три основных вида соединений.

Последовательное соединение. Структурная схема последовательного соединения двух звеньев приведена на рисунке 1, где приведены изображения координат, являющихся функциями времени.

Рисунок 1 – Последовательное соединение звеньев

Не трудно выразить преобразование Лапласа выходной координаты через преобразование Лапласа входной координаты и выражения передаточных функций отдельных звеньев

.

Отсюда следует, что передаточная функция последовательного соединения звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев.

.

Параллельное соединение. Структурная схема данного соединения приведена на рисунке 2.

Рисунок 2 – Параллельное соединение

Выразим преобразование Лапласа выходной координаты через преобразование Лапласа входной координаты и выражения передаточных функций отдельных звеньев параллельного соединения, под которым понимается суммирование выходных координат этих звеньев:

.

Отсюда следует, что передаточная функция параллельного соединения звеньев равна алгебраической сумме передаточных функций этих звеньев.

.

Соединение по схеме обратной связи. Как и сам принцип обратной связи, эта схема соединения является важнейшей для теории автоматического управления. Она показана на рисунке 3.3.

Рисунок 3 – Соединение по схеме обратной связи

Выразим преобразование Лапласа выходной координаты через преобразование Лапласа входной координаты и выражения передаточных функций отдельных звеньев рассматриваемого соединения. Сначала составим уравнение связи между изображениями различных координат:

,

а затем и изображения выходной координаты через изображение входной:

.

Таким образом, выражение передаточной функции замкнутой системы  выражается через передаточную функцию прямой цепи  и обратной связи  дробью вида

.

Здесь рассматривался только случай отрицательной обратной связи. Случай положительной обратной связи в теории автоматического управления практически не используется. Поэтому он и остался вне поля зрения, хотя повторить все выкладки в случае, когда сигнал обратной связи не вычитается из входного сигнала, а складывается с ним, не представляет труда.

В связи с широким использованием этого типа соединения последняя формула читается многими способами, самый распространенный из которых: «передаточная функция замкнутой системы равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу плюс передаточная функция разомкнутой цепи».

Полезность такой словесной формулировки проявляется в тех случаях, когда структурная схема замкнутой системы несколько отличается от только что рассмотренной. В этом случае можно и не повторять вывод формулы замыкания, а только уточнить, что понимать в данном конкретном случае под передаточной функцией прямой цепи и передаточной функцией разомкнутой цепи.

В качестве примера рассмотрим определение передаточной функции (замкнутой системы) по ошибке . Под передаточной функцией по ошибке понимается отношение изображения сигнала рассогласования (ошибки) к изображению входного сигнала (при нулевых, конечно, условиях). Если повторить вывод формулы замыкания для определения коэффициента пропорциональности между изображением сигнала ошибки  и входного сигнала , то получим, что

.

Это же самое можно было бы получить, используя словесное описание формулы замыкания, если считать выходной координатой сигнал ошибки. Действительно, в прямой цепи в этом случае нет никакого преобразования или, что то же самое, единичное преобразование, а передаточная функция разомкнутой цепи та же самая, что и в рассмотренном ранее случае.

В другом часто встречающемся частном случае единичной обратной связи передаточные функции замкнутой системы и по ошибке имеют вид:

, .