Необходимость расчета показателей вариации

Средняя представляет собой обобщающую статистическую характеристику, в которой получает количественное выражение типичный уровень признака, которым обладают члены изучаемой совокупности. Но одной средней нельзя отобразить все характерные черты статистического распределения. Возможны случаи совпадения средних арифметических при разном характере распределения.

Показатели вариации используются для характеристики и упорядочения статистических совокупностей.

 

Абсолютные показатели вариации

Для измерения размера вариации используются следующие абсолютные показатели: размах, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Размах

 

Величина его целиком зависит от случайности распределения крайних членов ряда, и значение подавляющего большинства членов ряда не учитывается, в то время как вариация связана с каждым значением члена ряда.

Такие показатели, которые представляют собой средние, полученные из отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины, лишены этого недостатка.

Между индивидуальными отклонениями от средней и колеблемостью конкретного признака существует прямая зависимость. Чем сильнее колеблемость, тем больше абсолютные размеры отклонений от средней.

 

Дисперсия

Среднее линейное отклонение

 

 

Среднее квадратическое отклонение

 

Дисперсию можно подсчитать и по следующей формуле:

По этой формуле ленче считать дисперсию, когда имеешь дело с дискретным рядом распределения.

 

Годовой удой от одной коровы	Середина интервала	Число коров
до 2-х	1,5	40	6	-1,3	5,2	1,69	6,76
2-3	2,5	20	5	-0,3	0,6	0,09	0,18
3-4	3,5	20	7	+0,7	1,4	0,49	,98
4-5	4,5	10	4,5	+1,7	1,7	2,89	2,89
5 и более	5,5	10	5,5	+2,7	2,7	7,29	7,29
Сумма			28		11,6		18,1

 

 

Относительные показатели вариации

 

Коэффициент осцилляции –

 

Коэффициент относительного линейного отклонения –

 

Коэффициент вариации–

 

Дисперсия альтернативного признака

Альтернативный признак – это такой признак, которым одни члены обладают, а другие – нет.

                     доля единиц, не обладающих признаком

доля единиц, обладающих признаком

Виды дисперсий и правила их сложения

 

 

Межгрупповая дисперсия

Между отдельными видами дисперсий существует взаимосвязь, которую можно записать в виде правила сложения дисперсий:

 

Пример: Распределение сотрудников КБ по производительности труда

Расчет общей дисперсии

x	f	xf	x2	x2f
10	50	50	100	500
11	150	165	121	1815
13	50	65	169	845
15	50	75	225	1125
18	70	126	324	2268
20	30	60	400	1200
	40	541		7753

 

 

2. Расчет дисперсии по первой группе

x	f	xf	x2	x2f
10	50	50	100	500
11	150	165	121	1815
13	50	65	169	845
	25	280		3160

 

3. Расчетдисперсии по второй группе

x	f	xf	x2	x2f
15	50	75	225	1125
18	70	126	324	2268
20	30	60	400	1200
	15	261		4593

 

4. Расчет межгрупповой дисперсии

11,2	25	-2,325	5,405	135,140
17,4	15	3,875	15,015	225,234
	40			360,375

 

5. Расчет средней из индивидуальных дисперсий

 

Эмпирическое корреляционное отношение (ЭКО)

На основании правила сложения дисперсий вычисляется эмпирическое корреляционное отношение (ЭКО), которое равно квадратному корню из отношения межгрупповой дисперсии к общей:

 

          Такой порядок вычисления обусловлен разложением общей вариации на вариацию, зависящую от фактора, положенного в основу группировки (в нашем примере – повышение и неповышение квалификации), которая численно равна межгрупповой дисперсии, и общую вариацию.

Межгрупповая дисперсия составляет часть общей дисперсии и складывается под влиянием только одного группировочного фактора. Именно поэтому подкоренное выражение показывает долю вариации за счет группировочного признака.

ЭКО изменяется в переделах от нуля до единицы. Чем ближе его значение к единице, тем большая доля вариации падает на группировочный признак.

В нашем случае

 

Некоторые математические свойства дисперсий

(1) При вычитании из всех значений признака некоторой постоянной величины дисперсия не изменится.

(2) При сокращении всех значений     на постоянный множитель дисперсия уменьшится в раз.

(3) Средний квадрат отклонений значений признака  от постоянной произвольной величины больше дисперсии признака  на квадрат разности между средней арифметической и постоянной величиной .

 

На основании свойств дисперсии ее можно подсчитать способом отсчета от условного нуля и способом моментов.

 

Интервал
90-100	95	2	190	-30	-3	-6	9	18
100-110	105	6	630	-20	-2	-12	4	24
110-120	115	8	920	-10	-1	-8	1	8
120-130	125	18	2 250	0	0	0	0	0
130-140	135	5	675	10	1	5	1	5
140-150	145	4	580	20	2	8	4	16
150-160	155	3	465	30	3	9	9	27
160-170	165	2	330	40	4	8	16	32
170-180	175	2	350	50	5	10	25	50
		50	6 390			14		180

 

Экономические индексы

 

 

Понятие индексов

В статистике под индексом понимается относительная величина (показатель), выражающая изменение сложного экономического явления во времени, в пространстве или по сравнению с планом. В связи с этим различают динамические, территориальные индексы, а также индексы выполнения плана.

Многие общественные явления состоят из непосредственно несопоставимых явлений, поэтому основной вопрос – это вопрос сопоставимости сравниваемых явлений.

К какому бы экономическому явлению ни относились индексы, чтобы рассчитать их, необходимо сравнивать различные уровни, которые относятся либо к различным периодам времени, либо к плановому заданию, либо к различным территориям. В связи с этим различают базисный период (период, к которому относится величина, подвергаемая сравнению) и отчетный период (период, к которому относится сравниваемая величина). При исчислении важно правильно выбрать период, принимаемый за базу сравнения.

Индексы могут относиться либо к отдельным элементам сложного экономического явления, либо ко всему явлению в целом.