Средняя арифметическая

Простая средняя арифметическая для ряда данных рассчитывается по формуле:

 

Но можно также рассчитать среднюю арифметическую взвешенную как:

 

Свойства средней арифметической:

(1) Сумма отклонений различных значений признака от среднеарифметической равна нулю:

(2) Если от каждого варианта вычесть или к каждому варианту прибавить какое-либо произвольное постоянное число, то средняя увеличится или уменьшится на то же самое число.

(3) Если каждый вариант умножить (разделить) на какое-либо произвольное постоянное число, то средняя увеличится (уменьшится) во столько же раз.

(4) Если веса, или частоты, разделить или умножить на какое-либо произвольное постоянное число, то величина средней не изменится. Это свойство дает возможность заменять веса их удельными весами:

 

 

Способ моментов

Часто мы сталкиваемся с расчетом средней арифметической упрощенным способом. В этом случае используются свойства средней величины. Метод упрощенного расчета называется способом моментов, либо способом отсчета от условного нуля.

Способ моментов предполагает следующие действия:

1) Если возможно, то уменьшаются веса.

2) Выбирается начало отсчета – условный нуль. Обычно выбирается с таким расчетом, чтобы выбранное значение признака было как можно ближе к середине распределения. Если распределение по своей форме близко к нормальному, но за начало отсчета выбирают признак, обладающий наибольшим весом.

3) Находятся отклонения вариантов от условного нуля.

4) Если эти отклонения содержат общий множитель, то рассчитанные отклонения делятся на этот множитель.

5) Находится среднее значение признака по следующей формуле

	Пример:

до 70	65	15	-30	-3	-45
70-80	75	17	-20	-2	-34
80-90	85	13	-10	-1	-13
90-100	95	22	0	0	0
100-110	105	8	10	1	8
110-120	115	12	20	2	24
120-130	125	6	30	3	18
130-140	135	5	40	4	20
140 и более	145	2	50	5	10
Сумма		100			-12

 

Средняя гармоническая

Расчет средней гармонической связан с двумя причинами:

1) Не всегда возможно рассчитать среднюю арифметическую на основе имеющихся данных.

2) Расчет средней гармонической проводить более удобно.

 

Расчет простой средней гармонической:

 

Расчет средней гармонической взвешенной:

 

Пример:

Такой расчет имеет определенные трудности, которые заключаются в том, что не всегда ясно можно трактовать условие поставленной задачи. Поэтому перед тем, как приступать к расчету средней, необходимо разобраться в экономическом смысле данных, которыми вы располагаете.

Базисный

Отчетный
Фонд з/п	Среднеспис. з/п	Среднеспис. з/п	Среднеспис. численность
xf	х	x	f
Средняя гармоническая		Средняя арифметическая

 

Общая из индивидуальных средних

Рассчитывается по следующей формуле:

 

Степенные средние

Те средние величины, которые мы записали, относятся к степенным средним. В наиболее общем виде степенная средняя записывается следующим образом:

 

В зависимости от k и образуются разные виды средних.

Степень k	Вид средней	Формула расчета
k = 1	Арифметическая
k = 2	Квадратическая
k = 0	Геометрическая
k = -1	Гармоническая

 

Правило мажорантности:

 

 

Структурные средние

Величина средней определяется всеми значениями признака, встречающимися в данном ряду распределения. Различают такие структурные средние, как:

(1) мода

(2) медиана

(3) квартиль

(4) дециль

(5) перцентиль

Мода

Это значение признака, которое встречается в ряду распределения чаще, чем другие его значения.

В дискретном ряду распределения значения моды определяются визуально. Если же ряд распределения задан как интервальный, то значение моды рассчитывается по следующей формуле:

 

 

– нижняя граница модального интервала,

– величина модального интервала,

– частота (вес) интервала, предшествующего модальному,

– частота модального интервала,

– частота интервала, следующего за модальным.

 

Медиана

Это центральное значение признака, им обладает центральный член ранжированного ряда.

Прежде всего определяется порядковый номер медианы по формуле
и строят ряд накопленных частот. Накопленной частоте, которая равна порядковому номеру медианы или первая его превышает, в дискретном вариационном ряду соответствует значение медианы, а в интервальном – медианный интервал.

Для интервального ряда медиана рассчитывается по следующей формуле:

 

 

– нижняя граница медианного интервала,

– величина медианного интервала,

– сумма частот (весов) ряда,

– сумма накопленных частот (весов) в интервале, предшествующем медианному,

– частота медианного интервала.

 

Квартиль

Первый квартиль вычисляется по формуле:

 

– нижняя граница квартильного интервала,

– величина квартильного интервала,

– номер квартильного признака,

– сумма накопленных частот (весов) в интервалах, предшествующих квартильному,

– частота квартильного интервала.

 

Аналогично рассчитывается третий квартиль. Второй же квартиль равен медиане.

 

Дециль

Рассчитывается по аналогии с расчетом квартиля. Можно найти девять децилей.

 

Средняя должна исчисляться не просто тогда, когда есть вариация признака, а тогда, когда мы располагаем качественно однородным вариационным рядом. Среднюю как обобщающую характеристику нельзя применять к таким совокупностям, отдельные части которых подчиняются различным законам распределения (или) развития в отношении величины распределяемого признака.

Показатели вариации