Вариационные функционалы.

Вариационные методы

Расчета двумерных сеток

При решении нестационарных задач

 

Москва, 2003 год

УДК 519.63

 

Вариационные методы расчета двумерных сеток при решении нестационарных задач.

Прокопов Г.П.

Препринт Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН

 

Для расчета двумерных разностных сеток при решении нестационарных задач математической физики с подвижными границами предлагается использовать универсальные вариационные функционалы. Их коэффициенты определяются метрическими параметрами сетки, полученной на предыдущем шаге по времени, и корректируются дополнительно другими вариационными функционалами с весовыми коэффициентами, пропорциональными величине шага по временной координате. Рассматривается дискретизация функционалов и итерационные процессы для решения возникающих систем уравнений.

Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект № 02-01-00236).

 

 

Variational methods of 2D grids calculating for nonstationary problems.

Prokopov G.P.

Preprint of KIAM RAS.

 

Universal variantional functionals are supposed to be used for calculation of 2D grids in nonstationary problems of mathematical physics with moving boundaries. Their coefficients are determinated by grid metric parameters calculated on previous time step and corrected additionally by others variantional functionals with weighted coefficients proportionally to time step. Discretization of functionals and iterative methods of solving of obtained system are under consideration.

 

This work was supported by RFBR (№ 02-01-00236)

Содержание

 

                            стр.

 

Введение                                                                                                   3

§ 1. Вариационные функционалы                                                          5

§ 2. Нестационарная задача для сетки                                                   8

§ 3. Дискретизация                                                                                 12

§ 4. Итерационные процессы                                                                17

§ 5. О вырождении сетки и невыпуклых ячейках                               22

§ 6. Проблема контроля скоростей узлов сетки                                  26

Заключение                                                                                             28

Литература                                                                                              31

 

 

Введение

 

Настоящая работа является непосредственным продолжением и развитием [1], в которой были рассмотрены вопросы применения для построения двумерных сеток некоторых вариационных функционалов универсального характера. Они позволяют получить любую невырожденную сетку при соответствующем задании входящих в них параметров. При этом остались без обсуждения вопросы построения сеток в ходе расчета нестационарных задач с подвижными границами расчетных областей. Между тем расчет подвижных сеток имеет свою специфику и предъявляет дополнительные требования к алгоритмам их построения. Это отмечалось неоднократно различными авторами. Не претендуя ни в какой мере на обзорный характер настоящей работы, упомянем [2]-[3], на которые придется ссылаться по существу обсуждаемых вопросов.

Если речь идет о задаче построения сетки в заданной области с фиксированными границами (для краткости будем говорить о стационарной задаче, хотя это не совсем точно), то у исполнителя имеется возможность предпринять, если нужно, не одну, а несколько попыток расчета сетки. Знакомясь (например, визуально) с их результатами (даже на уровне «нравится - не нравится») и имея определенный арсенал разработанных методов построения сеток, исполнитель может надеяться на благополучный исход поисков приемлемой сетки.

Такая ситуация совершенно неприемлема при решении нестационарных задач с подвижными границами, где сетку нужно строить на каждом шаге по времени, а число этих шагов в современных задачах и при современных вычислительных системах может достигать сотен тысяч и миллионов.

Особая трудность состоит еще и в том, что деформацию подвижных границ зачастую трудно предвидеть заранее. А если и можно предвидеть (например, с помощью предварительных «грубых» расчетов), то удачно принятое в начальный момент времени решение о выборе алгоритма построения сеток может привести к нежелательному или даже катастрофическому («авостному») развитию событий в расчете.

Это влечет за собой необходимость что-то менять. Даже если новое решение сразу окажется удачным, сам процесс перехода осложняется из-за больших скоростей узлов сетки, перестраивающейся с одних уравнений на другие (даже, если это одни и те же уравнения, но отличающиеся управляющимися параметрами).

Еще одна аналогичная трудность, связанная с большими скоростями движения узлов сетки, порождается тем, что итерационные процессы для ее построения, как правило, нереально (да и практически нецелесообразно) доводить до нужного уровня сходимости, т.е. до получения достаточно малых значений невязок решаемых уравнений. Между тем скорость узлов сетки в используемых алгоритмах напрямую или опосредованно связана именно с величинами невязок. Поэтому, в случае, если в решаемой основной нестационарной задаче по какой-то причине резко уменьшается величина шага по времени (неважно, происходит это по каким-то содержательным физическим причинам или в этом повинна сама сетка), происходит резкое увеличение скоростей узлов сетки и далее «цепная реакция» неприятностей, приводящих решение к печальному исходу.

«Лечение» описанных трудностей в настоящее время осуществляется разными «фельдшерскими» методами (это «удачное» название фигурирует в предисловии к монографии [2]). Предлагаемый подход должен решить, по крайней мере, описанные проблемы, связанные с регулированием скоростей движения узлов сетки.

В ходе изложения будет прослеживаться также стремление по возможности автоматизировать назначение управляющих параметров.

Для упрощения описания математического содержания алгоритмов построения сеток избран простейший вариант регулярной сетки, упорядоченной по двум индексам, применительно к изолированной области, которая рассматривается как четырехугольник с криволинейными границами. Поскольку описываемые алгоритмы носят локальный характер, очевидно, что они переносятся на произвольную «карту», составленную из таких областей.

 

Вариационные функционалы.

 

В упомянутом случае изолированной области Ω, рассматриваемой как четырехугольник с криволинейными границами, задача построения сетки может быть осуществлена как дискретная реализация невырожденного отображения единичного квадрата Q: (0 £ x £ 1, 0 £ h £ 1) на эту область W плоскости пространственных переменных (х,у).

В [4] для этой цели предложено использовать функционал вида

(1.1)                                            ,

в котором подынтегральная функция Е, названная плотностью энергии отображения, задается формулой

 

(1.2)                               .

 

Элементы симметричной и положительно определенной матрицы

 

                                                   

 

представляют метрические параметры отображения:

 

(1.3)                    

 

Невырожденность отображения и положительная определенность матрицы g взаимосвязаны ввиду очевидного тождества:

(1.4)                                             .

 - элементы аналогичной симметричной и положительно определенной матрицы G, заданной в каждой точке единичного параметрического квадрата Q.

Функционал минимизируется на классе функций , , являющихся гладким продолжением внутрь квадрата Q заданных на его границе функций х_г,у_г. Эти последние осуществляют гладкое взаимно однозначное отображение границы квадрата Q на границу области W, в которой должна быть построена сетка.

Легко доказывается, что Е³1. Доказательство представлено и в [4] и непосредственной выкладкой в [1] на стр.9-10. Следовательно, абсолютный минимум функционала .

Пусть ,  - произвольное гладкое невырожденное отображение квадрата Q на область W. Положим

(1.5)          ,         ,           

Тогда, в силу тождества (1.4), получаем Еº1, F=1. Следовательно, это произвольное отображение реализуется как решение задачи минимизации функционала (1.1)-(1.2) с матрицей (1.5).

Удобно ввести матрицу  с нормированными элементами:

(1.6)              ,    , 

Нормирующий коэффициент G₀ определим формулой:

 

(1.7)                                    .

Рассмотрим вариационный функционал, отличающийся от (1.1) только тем, что в качестве области интегрирования вместо параметрического единичного квадрата Q используется сама физическая область W:

(1.8)                             .

 

Поскольку , для плотности энергии отображения E^* получаем:

 

(1.9)                       

 

Таким образом, функционал (1.8)-(1.9) отличается от (1.1)-(1.2) только отсутствием в знаменателе якобиана отображения. Как отмечалось в [1], такое решение было принято авторами работы [5], в которой (см. стр. 1034) был предложен функционал (1.8)-(1.9), сознательно, чтобы упростить проблему решения возникающих уравнений Эйлера-Лагранжа.

Если сделать назначение метрических параметров G согласно (1.5), то минимизация функционала (1.8)-(1.9) приводит к абсолютному минимуму F^* , равному площади области W.

Следовательно, посредством назначения (1.5) функционал (1.8)-(1.9) тоже воспроизводит любое отображение. Таким образом, функционалы F и F^* можно считать универсальными генераторами сеток.

В частности, если полагать

(1.10)           ,            ,

то реализуются отображения, обычно называемые гармоническими, как и соответствующие им сетки. В функционале F тогда плотность энергии отображения , а в функционале F^* величина . В качестве вариационных уравнений Эйлера-Лагранжа для функционала F^* в этом частном случае (1.10) очевидно получаются уравнения Лапласа

(1.11)             ,          .

    

Для функционала F после некоторых преобразований (см., напр., [3], стр. 7-8) в качестве следствия вариационных уравнений получаются обращенные уравнения Лапласа:

 

(1.12)                         

                                   

    

Принято считать, что применение уравнений (1.12) в практике расчета сеток восходит к работе [6].

Для уравнений (1.11) автором построен пример, в котором для области простой формы получается вырожденное отображение (см., напр., [1], стр. 8). Ранее более громоздкий пример был описан в [3], стр. 5-6. Поэтому при произвольном назначении матрицы  функционал (1.8)-(1.9) невырожденности отображения не гарантирует.

В свою очередь для функционала (1.1)-(1.2) в дискретной форме в работе [7] доказано, что он дает невырожденное отображение при произвольных положительно определенных матрицах . Это его несомненное преимущество. Однако и функционал (1.8)-(1.9) имеет ряд других преимуществ по сравнению с (1.1)-(1.2). Поэтому считаем целесообразным в дальнейшем рассматривать оба этих функционала.

Для наглядности будем называть (1.1)-(1.2) функционалом с якобианом, а (1.8)-(1.9) – функционалом без якобиана.

Вариационные уравнения Эйлера-Лагранжа для функционала без якобиана имеют вид:

(1.13)

 

                        

 

Назовем их системой S^*[G] . Она является линейной при заданных . Аналогичная, но гораздо более громоздкая нелинейная система уравнений получается для функционала с якобианом. В качестве ее следствия в работе [7] на стр. 49 получены нелинейные уравнения, обобщающие (1.12) на случай произвольных матриц . Для полноты изложения приведем их вид в наших обозначениях:

 

(1.14)                   

                             

                             ,

где

   ,    

 

   ,      

Назовем их системой S[G].

Интересно отметить, что по своей структуре они похожи на уравнения, приведенные в [3] на стр. 8, которые получаются после введения дополнительной замены переменных в уравнениях (1.12).

Относительная простота и линейность вариационных уравнений (1.13) по сравнению с (1.14) является существенным преимуществом функционала без якобиана.