Проблема контроля скоростей узлов сетки.

 

В работе [14, стр.17] С.К.Годунов написал: «… расчет выделенных ударных волн, движение которых вызывает перемещение точек двумерной или трехмерной сетки, также не изучен до сих пор ни теоретически, ни экспериментально с исчерпывающей подробностью. Заведомо не исследована обратная связь такого перемещения точек на движение волны, нет ясности в том, какие эффекты эта обратная связь вызывает».

В подтверждение этих слов стоит сказать, что накопленный отрицательный опыт связан в первую очередь с недопустимыми скоростями узлов сетки, появляющимися в расчетах из-за несовершенства алгоритмов конструирования сеток. Безусловно, скорость движения сетки весьма существенно влияет на расчет основной решаемой задачи. Это можно видеть уже на примере элементарной задачи о распаде разрыва, являющейся идейным стержнем методики расчета газодинамических задач, как описано в монографии [2].

В случае подвижных границ алгоритм построения сеток должен непрерывно обеспечивать адекватное изменение положения узлов сетки внутри области. Казалось бы естественным требование, чтобы скорости «внутренних» узлов сетки были заключены в пределах, в которых изменяются скорости «граничных» узлов. (Это аналогично известному «принципу максимума» для решений эллиптических уравнений). Однако, несмотря на кажущуюся его естественность, легко могут быть придуманы примеры, когда такое требование не выполнено, например, при применении для расчета сеток интерполяционных формул.

Сейчас уместно более подробно осветить этот вопрос, как было обещано выше в § 2. В работе [15] представлены результаты сравнения нескольких вариантов построения двумерных разностных сеток посредством интерполяционных формул.

В качестве одного из «оправдавших ожидания» алгоритмов можно рекомендовать использование так называемой трансфинитной интерполяции. В простейшем двумерном варианте интерполяционная формула для функции  на единичном квадрате , , по ее значениям на контуре квадрата, имеет вид:

 

(6.1)

 

   

 

Здесь  - монотонно возрастающие функции своих аргументов на отрезке [0,1], причем

 

, .

 

Легко проверить, что для произвольных функций , удовлетворяющих этим условиям, будем иметь равенство интерполянты  заданным граничным значениям.

Рассматривая последовательности координат узлов сетки, заданных на границах области, как значения в точках ,  некоторых непрерывных функций, и применяя формулу (6.1) независимо для каждой из двух пространственных координат х и у, получаем интерполяционные формулы для расчета координат внутренних узлов сетки.

Для задания управляющих функций  в практике расчетов успешно используются так называемые законы расстановки узлов сетки вдоль границ, описанные в монографии [2] на стр. 180-182:

 

; .

 

В работе [15] на простом методическом примере построения сетки для выпуклого четырехугольника с прямолинейными границами обнаружились некоторые (в чем-то неожиданные) результаты при (специально придуманных) неравномерных расстановках узлов сетки на граничных отрезках.

Например, оказалось, что задание в качестве значений управляющих функций

(6.2)      ,      

 

дает для рассматриваемой области (четырехугольник с прямолинейными границами) невырожденную сетку при произвольных расстановках узлов на контуре. А вот в случае задания

 

(6.3)    ,    ,    ,  ,

 

казалось бы, более естественного, чем (6.2), строятся примеры таких расстановок узлов, при которых сетка оказывается вырожденной. Тем более неудовлетворительный результат могут давать формулы:

(6.4)          ,     .

 

   Заметим, что в случае произвольных областей и формулы (6.2) могут давать неудовлетворительный результат (поэтому и приходится конструировать сложные алгоритмы построения сеток). Однако «живучесть» интерполяционных формул, использующих (6.2), существенно выше, чем использующих (6.3) и (6.4).

Что касается скоростей движения узлов сетки, рассчитываемой по интерполяционным формулам с использованием (6.1), то очевидно следующее. Наличие в формуле (6.1), наряду с положительными, отрицательных весовых коэффициентов для угловых точек, позволяет легко строить примеры, когда скорости внутренних узлов сетки выходят за пределы, в которых изменяются скорости граничных узлов. Это может иметь место для каждой из двух координат х и у и, тем более, для полной скорости узла. В § 3 обращалось внимание на аналогичную ситуацию в системе линейных уравнений (3.11).

Это обстоятельство затрудняет автоматизацию контроля скоростей сетки в практических расчетах. Можно, например, в ходе расчета вычислять максимальную скорость узлов сетки на границах расчетной области W _гр и максимальную скорость внутренних узлов W _вн . Но какое отклонение W _вн от W _гр можно считать допустимым?

Обратим внимание, что описанные алгоритмы построения сеток могут использоваться также для перестройки сетки при зафиксированных границах области (в целях получения сетки, более приемлемой для расчета основной задачи.

В процессе перестройки W _гр=0, а W _вн¹0.

 

Заключение

 

Подведем итог изложенному. Для конструирования сеток в нестационарных двумерных расчетах предлагается использовать в качестве опорных функционалов (1.1)-(1.2) или (1.8)-(1.9). Входящие в них коэффициенты вычисляются как метрические параметры сетки, полученной на предыдущем временном шаге нестационарного расчета.

При тщательно выполненной дискретизации этих функционалов удается получить систему уравнений, которая при подстановке в нее сетки предыдущего шага в качестве невязки будет давать тождественный нуль. Поэтому при граничных условиях, отвечающих новому моменту времени, невязки будут величинами порядка шага по времени t. Следовательно, можно ожидать, что и скорости узлов сетки окажутся лежащими в разумных пределах по отношению к скоростям движения границ. В силу изложенного в предыдущем § 6 более четкое утверждение сделать трудно.

Использование «чистых» опорных функционалов при отсутствии обратной связи может приводить к тому, что в ходе нестационарного расчета сетка будет необратимо портиться, становясь непригодной для расчета основной задачи, для которой она и конструируется. Чтобы этому препятствовать, к опорным функционалам могут подключаться со своими весовыми коэффициентами  другие функционалы.

В простейшем варианте это реализуется посредством формулы (2.16) для корректировки коэффициентов . Условно можно говорить, что с помощью коэффициента p₀ подключается функционал «ортогональности», а коэффициента p _Г – гармонический.

В случае функционала (1.8)-(1.9) без якобиана реализуется система разностных уравнений (3.11) с коэффициентами (3.12)-(3.13). Из этих формул видно, что корректировка (2.16) сводится к увеличению коэффициентов c_L в системе уравнений (3.11). Вопрос о том, какие функционалы подключать для корректировки и с какими весовыми коэффициентами, должен стать предметом специальных экспериментальных исследований.

Теперь уместно обсудить вопрос о том, какой из двух функционалов (с якобианом или без) стоит предпочесть. Как уже отмечалось, функционал с якобианом гарантирует невырожденность сетки при любом задании положительно определенных симметричных матриц коэффициентов G, а функционал без якобиана этого не гарантирует. Однако следует заметить, что при малых коэффициентах корректирующих функционалов фактически работа будет происходить в окрестности опорных функционалов. А они оба дают практически тождественные результаты, воспроизводя сетку предыдущего временного шага, которая предполагается невырожденной. Следовательно, при достаточно малых значениях параметров p^* можно надеяться, что и функционал без якобиана обеспечит получение невырожденной сетки.

Весьма важную роль при этом играет присутствие в знаменателе функционала (1.8)-(1.9) якобиана G₀ для сетки предыдущего шага по времени. Кроме того, в процессе расчета на каждой итерации контролируется, чтобы сетка не стала вырожденной.

Эти аргументы дополняются преимуществами функционала без якобиана. Прежде всего, таким является линейность уравнений (3.11), благодаря чему коэффициенты (3.12) остаются неизменными на всех итерациях. Матрицу этих коэффициентов (8 чисел в каждом внутреннем узле сетки) можно вычислить на каждом шаге один раз и использовать на всех итерациях. При этом расчет итерации сводится к простым формулам (4.1) и контролю получающейся сетки на выпуклость. В такой ситуации необременительным будет и большое число итераций, если в этом возникнет необходимость. Для функционала с якобианом расчетные формулы существенно сложнее, а следовательно возрастают и затраты времени расчета.

Практически, по-видимому, целесообразно иметь в арсенале алгоритмов построения сеток оба функционала, но прибегать к использованию функционала с якобианом только после того, как исчерпаны возможности функционала без якобиана.

Заметим, что на практике этому, как правило, предшествует этап, когда сетка рассчитывается просто по интерполяционным формулам. Он используется до тех пор, пока дает приемлемые сетки.

Важным принципиальным отличием предлагаемой технологии является то, что переход от интерполяционного этапа к использованию функционалов должен проходить относительно безболезненно (без возникновения недопустимых скоростей узлов) благодаря изложенной выше идеологии опорного функционала. Также обстоит дело и в случае необходимости смены управляющих параметров в самих функционалах.

Однако, как показывает практика расчетов, этот тезис реализуется только в том случае, если такая перестройка начинается «заблаговременно», чтобы иметь достаточный «запас времени», не приводящий к катастрофическим последствиям для основной задачи.

С точки зрения «живучести» алгоритмов построения сеток и, самое главное, пригодности получающихся сеток для последующего решения основной задачи весьма важен вопрос о том, допускать или не допускать невыпуклость ячеек сетки. Этот вопрос обсуждался в § 5. Представляется целесообразным (если такое решение допустимо) уже в исходных данных избавиться от невыпуклых ячеек и в дальнейшем не допускать их появления (предусмотрев это в программе контроля качества сетки). В § 4 были описаны возможности реализации такого предложения путем автоматизированного подбора итерационного параметра .

Несмотря на все сказанное, автор далек от того, чтобы претендовать на создание полностью автоматизированных алгоритмов построения сеток, позволяющих считать нестационарные задачи без вмешательства исполнителя. Допустим, что удастся экспериментально отработать технологию подключения корректирующих функционалов, упомянутых выше. Заметим, что это должно быть реализовано в виде конкретных рекомендаций, которые обеспечили бы работу методики не в руках ее создателя, а в руках исполнителя расчетов. (Конечно, идеальным было бы автоматизированное назначение управляющих параметров на каждом шаге расчета, исходя из конкретной сложившейся ситуации).

Останутся ситуации, когда расчет невозможно провести до конца из-за необходимости изменять топологическую карту задачи (менять «раскрой» задачи на расчетные области), менять число узлов сетки для того, чтобы адекватно отразить возникающие особенности (например, проявляющиеся в искажении формы границ) и т.д. Автоматизация решения таких вопросов была и остается актуальной проблемой, нерешенной с приемлемой для практики полнотой.

Содержание настоящей работы докладывалось автором на IX Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященном памяти академика А.Ф.Сидорова (Новороссийск, Абрау-Дюрсо, 16-21 сентября 2002 г.).

Автор выражает благодарность Г.Б.Алалыкину за реализацию описанных алгоритмов на ЭВМ и участие в проведении численных экспериментов по их апробации, а также М.С.Гавреевой за помощь в оформлении настоящей работы.

 

Литература

1. Прокопов Г.П. Универсальные вариационные функционалы для построения двумерных сеток.// М, Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, 2001, №1, 36 стр.

2. Численное решение многомерных задач газовой динамики. Под общей редакцией С.К.Годунова.//М., «Наука», 1976, 400 стр.

3. Прокопов Г.П. Некоторые общие вопросы конструирования алгоритмов построения разностных сеток.// Вопросы атомной науки и техники (ВАНТ), Сер.: Мат.моделир.физ.процессов, 1988, вып.1, 3-13.

4. Иваненко С.А. Управление формой ячеек в процессе построения сеток.// ЖВМ и МФ, 2000, т.40, № 11, 1662-1684.

5. Годунов С.К., Прокопов Г.П. О расчетах конформных отображений и построения разностных сеток.// ЖВМ и МФ, 1967, т.7, №5, 1031-1059.

6. Winslow A.M. Numerical solution of the quasi-linear Poisson equation in a non uniform triangle mesh.// J. Comp. Phys. 1966, vol.1, №2, 149-172.

7. Иваненко С.А. О существовании уравнений для описания классов невырожденных криволинейных координат в произвольной области //ЖВМ и МФ, 2002, т.42, №1, 47-52.

8. Антонова Р.Н., Прокопов Г.П., Софронова О.И. Расчет подвижных разностных сеток и проблема начального приближения для расчета сетки в сложной области.//ВАНТ, Сер.: Мат. моделир. физ. процессов, 1996, вып.1-2, 84-90.

9. Сидоров А.Ф., Шабашова Т.И. Об одном методе расчета оптимальных разностных сеток для многомерных областей.// Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, 1981, т.12, №5, 106-124.

10. Прокопов Г.П. Методология вариационного подхода к построению квазиортогональных сеток.// ВАНТ, 1998, вып.1, 37-46.

11. Иваненко С.А., Чарахчьян А.А. Криволинейные сетки из выпуклых четырехугольников.//ЖВМ и МФ, 1988, т.28, №4, 503-514.

12. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.//М, «Наука», Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978.

13. Уськов В.М. Построение сеток из невырожденных четырехугольников с использованием критерия Делоне.//ВАНТ, Сер.: Мат. моделир. физ. процессов, 1994, вып.2, 12-18.

14. Годунов С.К. Воспоминания о разностных схемах. Доклад на Международном симпозиуме «Метод Годунова в газовой динамике». Мичиганский университет (США). Май 1997//Новосибирск, Научная книга, 1997, 40 стр.

15. Антонова Р.Н., Прокопов Г.П. Сравнение нескольких вариантов построения двумерных разностных сеток посредством интерполяционных формул.//ВАНТ, Сер.: Мат. моделир. физ. процессов, 1994, вып.1, 78-84.