О вырождении сетки и невыпуклых ячейках.

До сих пор обсуждаемые алгоритмы расчета сеток исходили из предположения, что все ячейки сетки являются выпуклыми, как было оговорено в § 3 условием (3.6). К сожалению, практика расчетов требует ослабления этого ограничения.

В качестве иллюстрации на рис.4 представлены ситуации, когда требуется допустить в расчетной области, наряду с четырехугольниками, и ячейки, которые вырождаются (или почти вырождаются) в треугольники (см. рис.4а,б,в). Более того, на рис.4г изображена ситуация, когда одна ячейка в исходной постановке является невыпуклой. (Заметим, что рис.4 носит эскизный иллюстративный характер – фактически восполнение линий сетки осуществляется, как правило, отрезками прямых). Вырождение (или почти вырождение) четырехугольных ячеек в треугольники может происходить и в процессе расчета нестационарной задачи при усложнении границ расчетных областей, которые приходится аппроксимировать ограниченным количеством узлов сетки, зафиксированным в исходных данных.

Для реального осуществления расчета в условиях вырождения ячейки в треугольник предусматривается коррекция алгоритма.

Как уже было отмечено, величина , определяемая формулами (3.7)-(3.8), представляет удвоенную площадь треугольника с номером k. Тогда для ячейки будем иметь:

(5.1)

Коррекция алгоритма состоит в следующем: пусть

(5.2)  , где  .

Тогда треугольник с номером k исключается из расчета.

Фактически это означает, что в дискретном варианте формул для (1.1) и (1.8) исключается некоторая (незначительная) часть области интегрирования, отвечающая таким выродившимся треугольникам. (Заметим, что она покрывается другой парой треугольников). Отметим также, что предлагаемые различными авторами «безавостные» модификации (например, замена обращающегося в нуль якобиана в знаменателе функционала на нечто иное), по-видимому, вполне

работоспособные при расчете стационарных сеток, приводят к неконтролируемым значениям скоростей узлов сетки при расчетах нестационарных сеток.

Описанный выше прием (5.2) исчерпывает меры, связанные с вырождением четырехугольных ячеек в треугольники.

Значительно сложнее обстоит дело с учетом возможного появления невыпуклых ячеек. Их появление обнаруживается в случае, если окажется, что для некоторого («плохого») треугольника

(5.3)           .

Гипотетически возможны следующие альтернативные варианты разрешения таких ситуаций.

а) Не обращать внимание (ничего не менять в расчетных формулах). Например, в случае, изображенном на рис.4г, если единственная «плохая» (невыпуклая) ячейка является «угловой» для расчетной области, соответствующий «плохой» треугольник получит номер k=3 и не будет участвовать в расчетных формулах, как уже отмечалось в § 3.

Заметим, что придется позаботиться о том, чтобы программа контроля сетки на выпуклость пропустила «провинившуюся» ячейку, не провоцируя появление новых невыпуклых ячеек.

б) «Плохой» треугольник исключается, т.е. не участвует в описанных расчетных формулах. Такой вариант в принципе допустим. Например, для расчета гармонических сеток в работе [13] рассматривался алгоритм, при котором разрезание невыпуклых ячеек осуществлялось только с помощью одной («хорошей») диагонали, и даже для выпуклых ячеек выбиралась одна диагональ – та, при которой реализуется меньшее значение функционала. Работоспособность такого алгоритма подтверждалась практическими расчетами.

в)  В формуле (1.2) заменяем величину g₀ на . Очевидно, что при этом будет сохранена положительная определенность всех матриц G_k. Для функционала с якобианом в соответствии с упоминавшейся теоремой из работы [7], существование невырожденной сетки для такого набора матриц G_k гарантировано. Проблема состоит в том, как одолеть вариационный барьер, за которым оказался соответствующий из узлов сетки, и какая скорость его движения будет при этом выработана.

г) Принимаются меры по исключению возможности появления невыпуклой ячейки сетки. В качестве такой меры предлагается, например, использовать следующий прием. В случае (5.3) узел с номером k проектируется на отрезок, соединяющий узлы с номерами

(k-1) и (k+1), и точка с полученными координатами  заносится вместо . Невыпуклая ячейка превращается при этом в треугольник. Для полноты изложения приведем соответствующие расчетные формулы. Полагаем

             ,  .

Согласно уравнению прямой, соединяющей узлы  и :

(5.4)      ,  .

Согласно уравнению перпендикуляра через точки  и :

            .

 Отсюда получаем формулу для :

(5.5)        .

После этого вычисляем  по формулам (5.4).

Конечно, следует иметь в виду, что такое волевое превращение невыпуклой ячейки в треугольник может привести к бесконтрольному увеличению скорости соответствующего узла сетки.

Тем не менее, исходя из практического опыта, заметим, что допущение в расчете сеток невыпуклых ячеек может приводить к весьма неблагоприятным последствиям, поскольку они могут приобретать очень «плохую» форму. При этом вряд ли можно ожидать разумной аппроксимации даже первых производных, необходимых для последующего решения основной задачи.

Поэтому, исходя из обсуждения возможных альтернативных вариантов действий в случае появления невыпуклых ячеек, по-видимому, целесообразно остановиться на последнем. А именно, необходимо уже в исходных данных избавиться от невыпуклых ячеек (например, описанным приемом) и в дальнейшем не допускать их появления. Соответствующая технология, опирающаяся на подбор в итерационном процессе значений параметров , была описана в § 4.

Отметим также, что рекомендуемое решение исходит из интересов расчета газодинамических задач на регулярных четырехугольных сетках. Оно может быть другим, например, в случае, если основная задача решается на треугольных сетках или в ситуациях б) и в), когда присутствие невыпуклых четырехугольных ячеек вполне допускается.