П2.1. Стационарные временные ряды и их основные характеристики

Поиск модели, адекватно описывающей поведение случайных остатков e _t анализируемого временного ряда x_t, производят, как правило, в рамках класса стационарных временных рядов.

Определение П2.1. Ряд x_t называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей m наблюдений  такое же, как и для m наблюдений , при любых t, и t₁,…, t_m.

Другими словами, свойства строго стационарного временного ряда не меняются при изменении начала отсчета времени. В частности, при m = 1 из предположения о строгой стационарности временного ряда x_t следует, что закон распределения вероятностей случайной величины x_t не зависит от t, а значит, не зависят от t и все его основные числовые характеристики, в том числе: среднее значение Ex_t = m и дисперсия Dx_t = s².

Очевидно, значение m определяет постоянный уровень, относительно которого колеблется анализируемый временной ряд x_t, а постоянная величина s  характеризует размах этих колебаний. Поскольку закон распределения вероятностей случайной величины x_t одинаков при всех t, то он сам и его основные числовые характеристики могут быть оценены по наблюдениям x₁,…, x_T. В частности:  - оценка среднего значения,  - оценка дисперсии. (П2.1)

Автоковариационная функция g ( t ). Значения автоковариационной функции статистически оцениваются по имеющимся наблюдениям временного ряда по формуле  где t = 1,… T - 1, а  вычислено по формуле (П2.1).

Очевидно, значение автоковариационной функции при t = 0 есть не что иное, как дисперсия временного ряда, и, соответственно,

                      (П2.2)

Автокорреляционная функция r( t ). Одно из главных отличий последовательности наблюдений, образующих временной ряд, от случайной выборки заключается в том, что члены временного ряда являются, вообще говоря, статистически взаимозависимыми. Степень тесноты статистической связи между двумя случайными величинами может быть измерена парным коэффициентом корреляции. Поскольку в нашем случае коэффициент измеряет корреляцию, существующую между членами одного и того же временного ряда, его принято называть коэффициентом автокорреляции. При анализе изменения величины r(t) в зависимости от значения t принято говорить об автокорреляционной функции r(t). График автокорреляционной функции иногда называют коррелограммой. Автокорреляционная функция (в отличие от автоковариационной) безразмерна, т.е. не зависит от масштаба измерения анализируемого временного ряда. Ее значения, по определению, могут колебаться от -1 до +1. Кроме того, из стационарности следует, что r(t) = r(-t), так что при анализе поведения автокорреляционных функций ограничиваются рассмотрением только положительных значений t.

Выборочный аналог автокорреляционной функции определяется формулой

           (П2.3)

Существуют общие характерные особенности, отличающие поведение автокорреляционной функции стационарного временного ряда. Другими словами, можно описать в общих чертах схематичный вид коррелограммы стационарного временного ряда. Это обусловлено следующим общим соображением: очевидно, чем больше разнесены во времени члены временного ряда x_t и x_{t+ t}, тем слабее взаимосвязь этих членов и, соответственно, тем меньше должно быть по абсолютной величине значение r(t). При этом в ряде случаев существует такое пороговое значение r₀, начиная с которого все значения будут тождественно равны нулю.

Частная автокорреляционная функция r _част ( t ). С помощью этой функции реализуется идея измерения автокорреляции, существующей между разделенными t тактами времени членами временного ряда x_t и x_{t + t}, при устраненном опосредованном влиянии на эту взаимозависимость всех промежуточных членов этого временного ряда. Частная автокорреляция 1-го порядка может быть подсчитана с использованием соотношения:

                  (П2.4)

где m - среднее значение анализируемого стационарного процесса.

Частные автокорреляции более высоких порядков могут быть подсчитаны аналогичным образом по элементам общей корреляционной матрицы R = ||r_ij||, в которой r_ij = = r(x_i, x_j) = r(|i - j|), где i, j = 1,…, T и r(0) = 1. Так, например, частная автокорреляция 2-го порядка определяется по формуле:

(П2.5)

Эмпирические (выборочные) версии автокорреляционных функций получаются с помощью тех же соотношений (П2.4), (П2.5) при замене участвующих в них теоретических значений автокорреляций r(t) их статистическими оценками .

Полученные таким образом частные автокорреляции r_част(1),r_част (2),… можно нанести на график, в котором роль абсциссы выполняет величина сдвига t.

Знание автокорреляционных функций r(t) и r_част(t) оказывает существенную помощь в решении задачи подбора и идентификации модели анализируемого временного ряда.

Спектральная плотность p ( w ). Спектральную плотность стационарного временного ряда определяется через его автокорреляционную функцию соотношением

где . Так как r(t) = r(-t), спектральная плотность может быть записана в виде

Следовательно, функция p(w) является гармонической с периодом 2p. График спектральной плотности, называемый спектром, симметричен относительно w = p. Поэтому при анализе поведения p(w) ограничиваются значениями 0 £ w £ p. Спектральная плотность принимает только неотрицательные значения.

Использование свойств этой функции в прикладном анализе временных рядов определяется как «спектральный анализ временных рядов». Применительно к статистическому анализу экономических рядов динамики этот подход не получил широкого распространения, т.к. эмпирический анализ спектральной плотности требует в качестве своей информационной базы либо достаточно длинных стационарных временных рядов, либо нескольких траекторий анализируемого временного ряда (и та и другая ситуация весьма редки в практике статистического анализа экономических рядов динамики).

Для содержательного анализа важно, что величина спектральной плотности характеризует силу взаимосвязи, существующей между временным рядом x_t и гармоникой с периодом 2p/w. Это позволяет использовать спектр как средство улавливания периодичностей в анализируемом временном ряду: совокупность пиков спектра определяет набор гармонических компонентов в разложении (1.1.1). Если в ряде содержится скрытая гармоника частоты w, то в нем присутствуют также периодические члены с частотами w/2, w/3 и т.д.

Можно несколько расширить класс моделей стационарных временных рядов, используемых при анализе конкретных рядов экономической динамики.

Определение 2.2. Ряд называется слабо стационарным (или стационарным в широком смысле), если его среднее значение, дисперсия и ковариации не зависят от t.