Необходимое условие максимума и минимума

Курсовая работа по геометрии

на тему:

«Задачи на экстремум в планиметрии»

Студентки 1 курса

специальности 050201

очной формы обучения

Алишановой Дианы Сергеевны

ПРОВЕРИЛ:

Кандидат технических

наук, доцент

2007г.

Задание на курсовую работу

Привести решение нескольких задач на экстремум функций.

Изложить решение задачи на применение теоремы Чевы.

Изложить несколько решений задач о треугольнике наименьшего периметра, вписанного в остроугольный треугольник.

Цель курсовой работы:

Изучить некоторые теоремы, позволяющие решить ряд подобных задач, проиллюстрировать их применение к решению конкретных задач.

План работы:

В ряде задач элементарной геометрии требуется построить некоторую фигуру таким образом, чтобы один из параметров принимал наибольшее или наименьшее значение. Во многих случаях задачи можно решить элементарными средствами без применения методов математического анализа.

Введение

Развитие логического мышления, которое осуществляется на занятиях алгеброй и геометрией, оказывает серьёзное влияние на изучение любых наук. Знания, умения и навыки, приобретаемые при изучении этих предметов, важны для трудовой и профессиональной подготовки. Обучение алгебре и геометрии способствует формированию диалектико–материалистического мировоззрения, содействует умственному развитию, в процессе которого вырабатываются умения обобщать и конкретизировать, систематизировать и классифицировать, проводить анализ и синтез, осуществлять самоконтроль. В процессе обучения формируются и такие личностные качества, как точность и ясность словесного выражения мысли, сосредоточенность и внимание, настойчивость, ответственность и трудолюбие. На мой взгляд, геометрия в этом деле хорошая помощница.

Итак, геометрия – это раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а планиметрия – это часть геометрии, изучающая фигуры на плоскости. Моя курсовая работа на задачи на экстремум в планиметрии. Обратимся к определению экстремума - наибольшее или наименьшее значение функции. Ещё задолго до того, как сформировались общие понятия переменной величины и функции, они фактически использовались в математике. Значительную роль в развитии этих понятий сыграл метод координат, созданный французским математиком П. Ферма (1601-1665) и Р. Декартом (1596-1650). Метод координат стал широко использоваться для графического исследования функции и графического решения уравнений. С этого времени начался новый этап, который ознаменовался мощным развитием не только математики, но и всего естествознания.

Термин «функция» (от лат. Functio-исполнение, совершение) ввёл немецкий математик Г. Лейбниц (1646-1716). У него функция связывалась с графиком.

У Л. Эйлера появился и более общий подход к понятию функции как зависимости одной переменной величины от другой. Эта точка зрения получила дальнейшее развитие в трудах Н.И. Лобачевского, П. Дирихле и других учёных. Что же такое экстремум в планиметрии? В своей курсовой работе я постараюсь найти ответ на этот вопрос.

Максимум и минимум

Определение. Говорят, что функция f ( x ) имеет максимум в точке х = а, если в достаточной близости от этой точки всем значениям х (как большим, так и меньшим а)соответствуют значения меньшие, чем f ( a ).

Функция f ( x ) имеет минимум в точке х = а,еслив достаточной близости от этой точки всем значениям х соответствуют значения f ( x ), большие, чем f(а).

Короче: функция f ( x ) имеет максимум (минимум) в точке х = а, если значение f (а) больше (меньше) всех соседних значений. Максимум и минимум объединяются

Рис. 1 наименованием экстремум ²).

Пример. Функция f(x) = ⅓ х³ - х² + ⅓  (рис. 1) имеет максимум в точке х = 0 [точка А (0; ⅓) выше всех соседних] и минимум в точке х = 2 [точка В (2; -1) ниже всех соседних].

¹) Предполагается, что функция дифференцируема в промежутке (а, b).

²) Латинское слово «экстремум» означает «крайнее».

Замечание. В обыденной речи выражения «максимум» и «наибольшая величина» равнозначны. В анализе термин «максимум» имеет более узкий смысл. Именно максимум функции может и не быть ее наибольшим значением. Так, функция f(x) = ⅓ х³ - х² + ⅓

(см. рис. 1), рассматриваемая, скажем, в промежутке (— 1; 4), имеет в точке х = 0 максимум, ибо вблизи от этой точки [а именно в промежутке (— 1; 3)] всем значениям х соответствуют значения f ( x ), меньшие, чем f (0), т. е. чем ⅓ (в указанном промежутке график расположен ниже точки А). Тем не менее максимум f (0) не является наибольшим значением функции в промежутке (— 1; 4), ибо при х > 3 имеем:

f(x) > ⅓

(справа от С график расположен выше точки А). Однако разыскание наибольшего значения функции в данном промежутке тесно связано с разысканием ее максимумов (см.§ 6). Аналогичное замечание для минимума.

Необходимое условие максимума и минимума

Теорема. Если функция f (х) имеет экстремум (т. е. максимум или минимум) в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.

Г е о м е т р и ч е с к и: если график имеет в точке А максимальную ординату, то в этой точке касательная либо горизонтальна (рис. 1), либо вертикальна (рис. 2), либо не существует (рис. 3). То же для минимальной ординаты (точка В на рис. 1, точка А на рис. 4, точки В и С на рис. 3).

Замечание. Условие экстремума, высказанное в теореме, необходимо, но не достаточно, т. е. производная в точке х = а может обращаться в нуль (рис. 5), в бесконечность (рис. 6) или не существовать (рис. 7) без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.