Правило разыскания экстремума

Пусть функция f(x, у) дифференцируема в некоторой области ее задания. Чтобы найти все ее экстремумы в этой области, надо:

1) Решить систему уравнений f '_x(x,y) = 0, f '_y(x,y) = 0. (1)

Решение даст критические точки.

2) Для каждой критической точки Р₀ (a; b) исследовать, остается ли неизменным знак разности

f (x, y) – f (a, b) (2)

для всех точек (х; у), достаточно близких к Р₀. Если разность (2) сохраняет положительный знак, то в точке Р₀ имеем минимум, если отрицательный, — то максимум. Если разность (2) не сохраняет знака, то в точке Р₀ нет экстремума.

Аналогично находим экстремумы функции при большем числе аргументов.

З а м е ч а н и е. При двух аргументах исследование иногда облегчается применением достаточного условия § 8. При большем числе аргументов это условие усложняется. Поэтому на практике стараются использовать частные свойства данной функции.

П р и м е р. Найти экстремумы функции

f(x, у) = х³ + у³-Зху + 1.

Р е ш е н и е. 1) Приравнивая к нулю частные производные f '_х = 3х² — 3у, f =3у² — Зх, получаем систему уравнений

х² - у = 0, у² — х = 0. (3)

Она имеет два решения:

х₁ = у₁ = 0, х₂ = y₂ = 1. (4)

Исследуем знак разности (2) для каждой из двух критических точек Р₁ (0; 0), Р₂ (1; 1).

2а) Для точки Р₁ (0; 0) имеем:

f(x, у) – f(0, 0) = х³ + у³-Зху + 1. (5)

Разность (5) не сохраняет знака, т. е. в любой близости от Р₁ есть точки двух типов: для одних разность (5) положительна, для других — отрицательна. Так, если точку Р (х; у) взять на прямой у = х, то разность (5) равна

2х³— Зх² = х² (2х — 3). Вблизи от Р₁ (при х < ³/₂) эта разность отрицательна. Если же точку Р (х; у) взять на прямой у = —х, то разность (5) равна Зх², а эта величина всегда положительна.

Поскольку разность (5) не сохраняет знака, в точке P₁ (0; 0) экстремума нет. Поверхность

z = х³ + у³ — Зху + 1

в точке (0; 0; 1) имеет вид седла (наподобие гиперболического параболоида).

2б) Для точки Р₂ (1; 1) имеем:

f (x,y) – f (1; 1) = x³+ y³ - 3xy + l. (6)

Докажем, что эта разность в достаточной близости от точки (1; 1) сохраняет положительный знак. Положим:

х = 1 + α, у = 1+ β. (7)

Разность (6) преобразуется к виду

3(α ² - α β + β²) + (α ³ + β³) (8)

Первый член при всех ненулевых значениях α, β положителей и притом больше чем ³/₂ (α ² + β²). Второй член может быть и отрицательным, но при достаточной малости | α | и | β |он по абсолютному значению меньше чем α ² + β². Значит, разность (8) положительна.

Стало быть, в точке (1; 1) данная функция имеет минимум.

Теорема Чевы

Теорема Чевы — это классическая теорема геометрии треугольника. Эта теорема аффинная, т. е. она может быть сформулирована используя только характеристики сохраняющиеся при аффинных преобразованиях. Теорема названа в честь итальянского математика Джованни Чевы, который доказал её в 1678 году.

Начнём с определения: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой.

Три чевианы AA',BB',CC' треугольника  конкурентны тогда и только тогда, когда

Если стороны BC, CA, AB треугольника ABC разделены в отношениях BP/PC = λ ≠ 0, CQ/QA = µ ≠ 0, AR/ RB = υ ≠ 0, то прямые AP, BQ, CR принадлежат одному и тому же пучку (собственному или несобственному) тогда и только тогда, когда λ, µ, υ = 1.

Эту теорему можно обобщить на случай когда точки A',B',C' лежат на продолжениях сторон BC,CA,AB. Для этого надо воспользоваться «отношением направленных отрезков», оно определено для двух направленных отрезков XY и ZT на одной прямой (или на параллельных прямых) и обозначается XY / ZT.

Пусть A',B',C' лежат на прямых BC,CA,AB треугольника . Прямые AA',BB',CC' конкурентны тогда и только тогда, когда