Разыскание наибольших и наименьших значений функции

1. Пусть по условию вопроса аргумент непрерывной функции f(x) изменяется в бесконечном промежутке, например в промежутке (a, +∞). Тогда может случиться, что среди значений функции f (х) нет наибольшего; см. рис. 13,а), где f(x) неограниченно возрастает при х→+∞. Если же функция f (х) обладает наибольшим значением, то последнее непременно является одним из экстремумов функции; см, рис. 13, б), где наибольшее значение функции есть f (с).

Пусть теперь по условию вопроса аргумент х изменяется в замкнутом промежутке (а, b). Тогда f (х) непременно принимает наибольшее значение.

Однако последнее может не принадлежать к экстремумам, а достигаться на одном из концов промежутка (в точке х = b ¹) на рис. 13, в)).

Аналогично для наименьшего значения.

¹) Если исключить из рассмотрения конец х = b, то на оставшемся незамкнутом промежутке функция f (х) наибольшего значения не будет иметь.

2. Пусть требуется разыскать наибольшее (или наименьшее) значение геометрической или физической величины, подчиненной определенным условиям (см. ниже примеры). Тогда надо представить эту величину, как функцию какого-либо аргумента. Из условия задачи определяем промежуток изменения аргумента. Затем находим все критические значения аргумента, лежащие в этом промежутке, и вычисляем соответствующие значения функции, а также значения функции на концах промежутка. Из найденных значений выбираем наибольшее (наименьшее).

З а м е ч а н и е 1. Часто аргумент можно выбирать по-разному; удачный выбор может упростить решение. Учет особенностей задачи тоже может упростить решение.

Так, если внутри данного промежутка имеется лишь одно критическое значение аргумента и оно, на основании того или иного признака (см. §§ 3, 5) должно давать максимум (минимум), то и без сравнения с граничными значениями функции мы вправе заключить, что этот максимум (минимум) является искомым наибольшим (наименьшим) значением,

П р и м е р 1. Отрезок АВ = а делится на две

Рис. 14 части точкой С; на отрезках АС и СВ (рис. 14), как сторонах, строится прямоугольник ACBD. Определить наибольшее значение его площади S.

Р е ш е н и е. Примем за аргумент х длину АС; тогда

СВ = а — х и S = x (а — х).

Аргумент х непрерывной функции S изменяется в промежутке (0, а).

Из уравнения

^dS/_dx= а — 2х = 0

находим (единственное) критическое значение х = ^а/₂. Оно принадлежит данному промежутку (0, а). Вычисляем значение S(^а/₂) = ^а/₄ и граничные значения f(0) = 0, f(a) = 0. Сопоставляя эти три значения, заключаем, что искомым наибольшим значением является ^а/₄.

В этом сопоставлении не будет необходимости, если заметить, что в единственной критической точке х = ^а/₂ вторая производная функции S (х) отрицательна; т. е. (§ 5) функция S(х) имеет здесь максимум.

Переменный прямоугольник ACBD всегда имеет один и тот же периметр (2а). Значит, из всех прямоугольников данного периметра квадрат имеет наибольшую площадь.

П р и м е р 2. Найти наименьшую и наибольшую величины полупериметра прямоугольника с данной площадью S.

Р е ш е н и е . Обозначим стороны прямоугольника через х, у. По условию

xy = S (1)

(х и у — положительные величины). Требуется найти наименьшее и наибольшее значения величины

р = х + у. (2)

Примем за аргумент х; тогда

р = х + ^S/_х (3)

Аргумент х изменяется в бесконечном промежутке (0, + ∞) (в него не входит конец х = 0). В этом промежутке функция р(х) непрерывна и имеет производную  (4)

Из уравнения  (5)

находим единственное (в данном промежутке) критическое значение

Из (4) видно, что при  производная положительна. Значит (§ 3), имеем минимум. Будучи единственным, он является (см.

замечание 1) наименьшим значением полупериметра;

 (6)

т. е. из всех прямоугольников с данной площадью S наименьший полупериметр имеет квадрат  Наибольшего значения величина р не имеет [данный промежуток (0, +∞) — незамкнутый].

П р и м е р 3. Найти наименьшее количество жести, из которого можно изготовить цилиндрическую консервную банку вместимостью V=2π (запас на швы не учитывать).

Р е ш е н и е. Пусть поверхность банки S, радиус основания r, высота h. Требуется найти наименьшее значение величины

S = 2 πrh + 2r² (7)

при условии, что

πr²h=V. (8)

За аргумент удобно принять r. Из (7) и (8) находим:

 (9)

где аргумент изменяется в промежутке (0, ∞). По смыслу задачи ясно, что величина S достигает наименьшего значения где-то внутри этого промежутка. Поэтому достаточно рассмотреть значения функции в критических точках. Решаем уравнение  (10)

Единственный его корень  соответствует наименьшему значению S. Из (8) и (11) находим:  , т. е. высота банки должна равняться диаметру основания. Наименьшее количество жести, потребное для изготовления банки, равно

S_наим = 2 π(rh + г²) = 6 πr² = 3 πrV ~ 879 см².

П р и м е р 4. (парадокс Декарта). В 1638 г.

Рис. 15 Декарт получил (через М. Мерсенна) письмо Ферма, где последний сообщил без доказательства открытое им правило разыскания экстремума. В переводе на современный язык правило Ферма сводится к разысканию значения х, обращающего в нуль производную f '(х) исследуемой функции f(х).

В ответном письме Декарт привел нижеследующий пример, доказывающий, как он полагал, ложность правила Ферма. Пусть дана окружность

х²+у² = r² (12)

(рис. 15) и точка А (— а; 0), отличная от центра (т. е. а ≠ 0). Требуется найти на окружности (12) точку, ближайшую к А. Квадрат расстояния произвольной точки М (х; у) от точки А выражается так:

АМ² = (х + а)² + у². (13)

Если же М лежит на окружности (12), то у² = r² — х²,

так что AM² = (х + а)² + r² — x².

Чтобы найти значение х, дающее минимум величине AM², Декарт следует правилу Ферма и получает нелепое равенство 2а = 0.

Между тем геометрически ясно, что искомая точка существует и совпадает с точкой Р(—r; 0). Из этого Декарт заключает, что признак минимума неверен. На самом деле точка Р (х = - r) не обнаруживается по другой причине: соответствующее ей наименьшее значение AM² не является минимумом. Действительно, х изменяется только в промежутке (— r, + r). Рассматриваемая функция принимает наименьшее значение на конце промежутка.