Правило разыскания максимумов и минимумов

Пусть функция f ( x ) дифференцируема в промежутке (а, b ). Чтобы найти все ее максимумы и минимумы в этом промежутке, надо:

1) Решить уравнение f '(х) = 0 (корни этого уравнения называются критическими значениями аргумента; среди них надо будет искать значения х, дающие экстремум функции f ( x ); см. § 2).

2) Для каждого критического значения х = а исследовать, меняет ли знак производная f(x) при переходе аргумента через это значение. Если f '(х) переходит от положительных значений к отрицательным (при переходе от х < а к х > а), то имеем максимум (§ 3), если от отрицательных значений к положительным, то минимум.

Если же f ' (х) сохраняет знак, то нет ни максимума, ни минимума: при f '(х) > 0 функция f (х) в точке а возрастает, при f '(х) < 0 убывает (§ 3, замечание).

Замечание 1. Если функция f ( x ) непрерывна в промежутке (а, b),но в отдельных его точках не дифференцируема, то эти точки надо причислить к критическим и произвести аналогичное исследование.

Замечание 2. Максимумы и минимумы непрерывной функции следуют друг за другом, чередуясь.

Пример 1. Найти все максимумы и минимумы функции

Р е ш е н и е. Данная функция всюду дифференцируема (т. е. всюду имеет конечную производную) f '(х) = 1— х.

1) Решаем уравнение 1— х = 0. Оно имеет единственный корень х = 1.

2) Производная f '(х) = 1 — х меняет знак при переходе аргумента через значение х = 1. Именно, при х < 1 производная положительна, при х > 1 —отрицательна. Значит, критическое значение х = 1 дает максимум. Других экстремумов у функции нет.

Пример 2. Найти все максимумы и минимумы функции

f ( x ) = ( x - 1)² ( x +1). (1)

Р е ш е н и е. Данная функция всюду дифференцируема. Имеем:

f '(х) = 2(х — 1) (х + 1)³ + 3 (х — 1)² (х + 1)² = (х— 1)(х + 1)²(5х— 1).

1) Решаем уравнение f'(х) = 0. Его корни (расположенные в порядке возрастания) будут:

х₁ = — 1, х₂ = ¹/₅; х₃ = 1. (2)

2) Представив производную в виде

f(х) = 5 (х + 1)² (х – ¹/₅) (х - 1), (3)

исследуем каждое из критических значений.

а) При х < —1 все три двучлена формулы (3) отрицательны, так что слева от х = — 1 имеем:

f '(х) = 5 (-)²(-)(-) = +. (4)

Пусть аргумент перешел через значение х₁= — 1, но не дошел до следующего критического значения х₂ = ¹/₅. Тогда двучлен х + 1 стал положителен, а два других двучлена формулы (3) остаются отрицательными, и мы имеем: f '(х) = 5 (+)² (-)(-) = +. (5)

Сравнив (4) и (5), видим, что при переходе

Рис. 11 через критическое значение х₁= -1 производная не меняет знака, оставаясь положительной. Значит, в точке х =-1 экстремума нет; здесь функция f(x) возрастает (рис. 11).

б) Исследуем ближайшее большее критическое значение х₂ = ¹/₅. В достаточной близости слева (т. е. между х₁ = — 1 и х₂ = ¹/₅) производная в силу (5) положительна. В достаточной близости справа (между х₁ = ¹/₅ и х₂ = +1) второй сомножитель положителен, и мы имеем:

f ' (х) = 5 (+)²(+) (-) = - . (6)

Сравнив (5) и (6), видим, что знак производной при переходе через х₂ = ¹/₅ меняется с плюса на минус [функция f(х) от возрастания переходит к убыванию]. Значит, в точке x = ¹/₅ функция имеет максимальное значение; оно равно f (¹/₅) = (¹/₅ – 1)² (¹/₅ + 1) ~ 1,1.

в) Исследуем последнее критическое значение х₃ = 1. В достаточной близости слева производная в силу (6) отрицательна. Справа от х₃ = 1 имеем:

f '(х) = ¹/₅ (+)² (+) (+) = + . (7)

При переходе через х = 1 производная меняет знак с минуса на плюс [функция f(х) переходит от убывания к возрастанию]. Значит, при х = 1 функция имеет минимальное значение; оно равно

f (х) = (1 - 1)²(1 + 1)³ = 0.

П р и м е р 3. Найти все экстремумы функции

Р е ш е н и е. Данная функция дифференцируема при всех положительных и отрицательных значениях х, и мы имеем:

В точке же х = 0 функция f(x) не дифференцируема (ее производная бесконечна). Поэтому (см. замечание 1) имеем два критических значения: x₁ = 0 и х₂ = ²/₅.

При х < 0 имеем:

При 0 < х < ²/₅ имеем:

При х > ²/₅ имеем:

Значит, в точке х = 0 функция  имеет максимальное значение f (0) = 0, а в точке x = ²/₅ - минимальное значение