Упругое рассеяние медленных частиц

 

При ka << 1 прицельные параметры  для , поэтому лишь s-волна может давать заметное рассеяние. Таким образом,

 

 

дифференциальное сечение изотропно

 

 

а полное сечение определяется фазой s-волны

 

 

Дифракционное рассеяние быстрых частиц на черном шаре

 

Пусть идеально поглощающий (черный) шар имеет радиус a. Рассмотрим рассеяние быстрых (ka >> 1) частиц на таком шаре (пример: нейтроны с энергией E ∼ 100 МэВ рассеиваются на тяжелом ядре радиуса см, при этом ka ∼ 10). Эта задача вполне аналогична дифракции плоской световой волны на черном шаре. Прицельный параметр соответствует .

При частицы не сталкиваются с шаром,  .

При  частицы полностью поглощаются, . Строго говоря, эти утверждения справедливы лишь для , но область  не дает большого вклада в сечение. Таким образом,

 

 

то есть полное сечение вдвое больше классического

Амплитуда упругого рассеяния велика лишь в области малых углов

 

 

Поэтому

 

 

Упругое рассеяние быстрых частиц на идеально отражающем шаре

 

Пусть радиус шара a и ka >> 1. Полное сечение определяет число частиц, выбывших из начального пучка. В классике это сечение  связано лишь с прямым столкновением с мишенью. С учетом волновых свойств частиц их выбывание из пучка, то есть изменение начального импульса, связано также с дифракцией.

Как и в предыдущем случае

При  решение УШ для радиальной волновой функции имеет вид  при r < a и

 

 

Сшивка при r = a дает . Для нахождения полного сечения используем оптическую теорему

 

 

Слагаемые, содержащие , быстро осциллируют при изменении , и поэтому их вкладом в сумму можно пренебречь. В итоге получаем , что вдвое превышает классическое сечение В данном случае отличие от классического результата связано с наличием помимо квазиклассического рассеяния, обусловленного углами θ >> 1/ka, дифракционного рассеяния на малые углы

Чтобы увидеть это, представим амплитуду рассеяния

 

 

в виде двух слагаемых совпадает с амплитудой рассеяния в предыдущем случае, а

 

 

Доказательство того факта, что  (в полном соответствии с классическим изотропным рассеянием ) можно найти в задаче

Таким образом, вклады в полное сечение одинаковы, а вклад их интерференции пренебрежимо мал.

Для классических частиц дифракция практически ненаблюдаема. Так, для частицы с m ∼ 1 г, v ∼ 1 см/с углы дифракции на шаре радиуса a ∼ 1 см настолько малы, , что увидеть это рассеяние можно было бы лишь на расстояниях  см.

Резонансное рассеяние

 

Перепишем асимптотическое выражение (при r →∞)

 

 

в виде

 

 

Если в данном поле U(r) возможно квазистационарное состояние при , то асимптотика  при данной энергии должна содержать только расходящуюся волну, то есть

 

 

Отсюда следует, что парциальная амплитуда рассеяния

 

 

должна иметь полюс при . Пусть вблизи резонанса

 

 

тогда

 

 

где — фаза и амплитуда рассеяния вдали от резонанса, причем

 

 

При прохождении через резонанс фаза рассеяния изменяется на π.

Парциальное сечение имеет резонансную зависимость от энергии:

 

 

и при достигает максимально возможного значения

 

 

При , радиальная волновая функция на больших расстояниях равна

 

 

Если  нормирована во внутренней области на единицу, то полный поток в расходящейся волне должен равняться вероятности распада в единицу времени . Отсюда

 

 

Аналогичным образом можно показать, что при аналитическом продолжении по k функций  в область отрицательных значений E (при этом k → iκ), связанным состоянием с энергией En < 0 соответствуют полюса амплитуды рассеяния при E = En.