Урок на тему «Иррациональные уравнения» (10 класс)

 

Цель: обобщить и систематизировать способы решения иррациональных уравнений и умения применять их в различных ситуациях.

Основными методами решения иррациональных уравнений являются:

1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, т. е. замена уравнения  уравнением ;

2) метод введения новой переменной.

Однако зачастую иррациональные уравнения решаются с помощью рассуждений, основанных на анализе структуры уравнения, путем установления множества допустимых значений неизвестного, извлечения корня -ной степени из степени с показателем , на основе теорем равносильности. Отметим и то, что иррациональные уравнения могут содержать один, два и больше корней, причем они могут быть одной степени или разных степеней. Проиллюстрируем сказанное конкретными примерами.

1. Решите уравнения:

а) ;

б) ;

в) .

Исследование структуры уравнения а) показывает, что оно не имеет корней, так как , и потому ; в случае б) имеем  при допустимых значениях  и . Анализ структуры уравнения в) показывает, что его решением является каждое значение , для которого одновременно  и . Этому требованию удовлетворяет .

2. Решите уравнения:

а) ;

б) .

Подкоренные выражения просты, поэтому целесообразно, прежде всего, выявить множество допустимых значений неизвестного. Легко установить, что область определения уравнения а) – пустое множество, а потому уравнение не имеет решений. В случае б) уравнение может иметь решение при , т. е. при . Учитывая, что левая часть уравнения имеет смысл при , получаем, что уравнение имеет единственный корень: .

3. Решите уравнения:

а) ;

б) .

Уравнения а) и б) можно записать соответственно в виде:

а) ;

б) ,

которые, в свою очередь, равносильны уравнениям:

а) ;

б) .

Решим уравнение б), для чего воспользуемся методом интервалов:

1) при  уравнение  равносильно уравнению , корнем которого является ;

2) если , то исходное уравнение равносильно уравнению  или , которое не имеет решений;

3) при  уравнение  преобразуется в уравнение , или , откуда .

Часто решение иррациональных уравнений основывается на возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Рассмотрим, например, решение уравнения . Запишем данное уравнение в виде  и возведем обе его части в квадрат. Получим

,

, ,

.

Так как при возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень возможно появление посторонних корней, то обязательна проверка найденных корней. Число  удовлетворяет исходному уравнению, а число  нет.

Уравнение  можно решить с применением теорем равносильности. Известно, что уравнение  равносильно системе

Заданное уравнение равносильно системе

которая имеет единственное решение .

К решению исходного уравнения можно было бы применить и метод введения новой переменной. Запишем данное уравнение в виде . Положив , получаем . Продолжение решения не вызывает трудностей.

Рассмотрим еще пример уравнения, содержащего квадратные, кубические и другие корни.

Решите уравнения:

а) ;

б) .

Положив в уравнении а)  и , приходим к системе уравнений  и , откуда , ; , ; , .

Подставив в одно из равенств значения  или , получим , , .

Область допустимых значений уравнения б) такова: . Если  - корень уравнения, то , или . Но , следовательно, уравнение б) не имеет решений.

Систематизация и обобщение указанных способов решения иррациональных уравнений и составляет содержание рассматриваемого урока. Осуществляется она в процессе выполнения следующих упражнений:

1. Назовите, какие из данных уравнений иррациональные:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

 

Иррациональные уравнения, содержащие только квадратные корни.

 

I. Уравнения, решаемые с помощью анализа структуры уравнения.

2. Решите каждое из уравнений:

а) ;

б) .

II. Уравнения, решаемые установлением множества допустимых значений неизвестного.

3. Решите уравнения:

а) ;

б) .

III. Уравнения, решаемые с помощью извлечения квадратного корня.

4. Решите уравнения:

а) ;

б) .

IV. Уравнения, решаемые с помощью теорем равносильности.

5. Дано уравнение . Почему и где в нижеуказанных в связи с его решением рассуждениях «потерян» корень?

,

,

, , ,

, ,

, . Решений нет.

Найдите «потерянный» корень.

6. Дано уравнение . Прокомментируйте следующие его решения:

а) , , , , ;

б) , , .

а. , , , ;

б. , , , .

V. Уравнения, содержащие один корень.

7. Решите уравнения:

а) ;

б) .

VI. Уравнения, содержащие два корня.

8. Решите уравнения:

а) ;

б) .

Иррациональные уравнения, содержащие квадратные, кубические и другие корни.

 

9. Решите уравнения:

а) ;

б) .

 

Учитывая сложность темы «Иррациональные уравнения», для обобщающего урока целесообразно планировать сдвоенный урок. Формы выполнения упражнений могут быть различны: выполнение упражнений у доски, комментированное решение, самостоятельная работа и т. д.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Следует отметить, что включение учащихся в деятельность по отысканию обобщений математических фактов играет большую роль в воспитании качеств творческой личности. При этом ученики учатся самостоятельно ставить и решать новые для них задачи, учатся продуктивному умственному труду. Кроме того, такая деятельность способствует лучшему усвоению знаний, обнаружению связей между ними, учит рассматривать определенные факты, закономерности с более общей точки зрения, с позиции общих закономерностей, что чрезвычайно важно при изучении математики.

ЛИТЕРАТУРА.

 

1. Саранцев Г. И. «Упражнения в обучении математике». – М.: Просвещение, 1995.

2. Саранцев Г. И. «Общая методика преподавания математики» - М.: Просвещение, 1999.

3. Оганесян В. А., Колягин Ю.М., Луканкин Г. Л., Саннинский В. Я. «Методика преподавания математики в средней школе». – М.: Педагогика, 1976.

4. Пойа Д. «Как решать задачу?».

5. Зильберберг Н. И. «Урок математики. Подготовка и проведение». – М.: Просвещение, 1996.

6. Епишева О. Б., Крупич В. И. «Учить школьников учиться математике».

7. Пичурин Л. Ф. «Воспитание учащихся при обучении математике».