Биография Исаака Ньютона

РЕФЕРАТ

По курсу «Математический анализ»

на тему «Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод Ньютона»

 

Выполнил: студент группы 08ВВ1

Чубарь Алексей

Проверил: доцент кафедры высшей и прикладной математики

Руденко Алевтина Кирилловна

 

 

Пенза, 2009

Содержание

 

Биография Исаака Ньютона. 3

История метода. 7

Отделение корней. 8

Описание метода Ньютона (метода касательных) 10

Оценка погрешности. 15

Метод хорд (линейной аппроксимации) 18

Суть метода. 18

Погрешность. 20

Условие сходимости. 21

Метод половинного деления. 22

Суть метода. 22

Погрешность. 23

Пример решения уравнения методом Ньютона. 25

Список литературы.. 27

 

Биография Исаака Ньютона

 

Исаак Ньютон, сын мелкого, но зажиточного фермера, родился в деревне Вулсторп (графство Линкольншир), в год смерти Галилея и в канун гражданской войны. Отец Ньютона не дожил до рождения сына. Мальчик родился болезненным, до срока, но всё же выжил и прожил 84 года. Факт рождения под Рождество Ньютон считал особым знаком судьбы.

Покровителем мальчика стал его дядя по матери, Вильям Эйскоу. В детстве Ньютон, по отзывам современников, был замкнут и обособлен, любил читать и мастерить технические игрушки: часы, мельницу и т. п. По окончании школы (1661) он поступил в Тринити-колледж (Колледж святой Троицы) Кембриджского университета. Уже тогда сложился его могучий характер — научная дотошность, стремление дойти до сути, нетерпимость к обману и угнетению, равнодушие к публичной славе.

Научной опорой и вдохновителями творчества Ньютона в наибольшей степени были физики: Галилей, Декарт и Кеплер. Ньютон завершил их труды, объединив в универсальную систему мира. Меньшее, но существенное влияние оказали другие математики и физики: Евклид, Ферма, Гюйгенс, Валлис и его непосредственный учитель Барроу.

Похоже на то, что значительную часть своих математических открытий Ньютон сделал ещё студентом, в «чумные годы» 1664—1666. В 23 года он уже свободно владел методами дифференциального и интегрального исчислений, включая разложение функций в ряды и то, что впоследствии было названо формулой Ньютона-Лейбница. Тогда же, по его утверждению [2], он открыл закон всемирного тяготения, точнее, убедился, что этот закон следует из третьего закона Кеплера. Кроме того, Ньютон в эти годы доказал, что белый цвет есть смесь цветов, вывел формулу «бинома Ньютона» для произвольного рационального показателя (включая отрицательные), и др.

Все эти эпохальные открытия были опубликованы на 20-40 лет позже, чем были сделаны. Ньютон не гнался за славой. Стремление открыть истину было у него главной целью.

1667: эпидемия чумы отступает, и Ньютон возвращается в Кембридж. Избран членом Тринити-колледжа, а в 1668 году становится магистром.

В 1669 году Ньютон избирается профессором математики, преемником Барроу. Барроу пересылает в Лондон сочинение Ньютона «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов», содержавшее сжатое изложение некоторых наиболее важных его открытий в анализе. «Анализ» получил некоторую известность в Англии и за её пределами. Ньютон готовит полный вариант этой работы, но найти издателя так и не удаётся. Она была опубликована лишь в 1711 году.

Продолжаются эксперименты по оптике и теории цвета. Ньютон исследует сферическую и хроматическую аберрации. Чтобы свести их к минимуму, он строит смешанный телескоп-рефлектор (линза и вогнутое сферическое зеркало, которое полирует сам). Всерьёз увлекается алхимией, проводит массу химических опытов.

1672: демонстрация рефлектора в Лондоне вызывает всеобщие восторженные отзывы. Ньютон становится знаменит и избирается членом Королевского общества (британской Академии наук). Позже усовершенствованные рефлекторы такой конструкции стали основными инструментами астрономов, с их помощью были открыты иные галактики, красное смещение и др.

Разгорается полемика по поводу природы света с Гуком, Гюйгенсом и другими. Ньютон даёт зарок на будущее: не ввязываться в научные споры. В письмах он жалуется, что поставлен перед выбором: либо не публиковать свои открытия, либо тратить всё время и все силы на отражение недружелюбной дилетантской критики. Судя по всему, он выбрал первый вариант.

1680: Ньютон получает письмо Гука с формулировкой закона всемирного тяготения, послужившее, по признанию первого, поводом его работ по определению планетных движений (правда, потом отложенных на некоторое время), составивших предмет «Начал». Впоследствии Ньютон по каким-то причинам, быть может, подозревая Гука в незаконном заимствовании каких-то более ранних результатов самого Ньютона, не желает признавать здесь никаких заслуг Гука, но потом соглашается это сделать, хотя и довольно неохотно и не полностью [3].

1684—1686: после долгих уговоров Ньютон соглашается опубликовать свои главные достижения. Работа над «Математическими началами натуральной философии» (весь трёхтомник издан в 1687 году). Приходят всемирная слава и ожесточённая критика картезианцев: закон всемирного тяготения вводит дальнодействие, несовместимое с принципами Декарта.

В 1689 году Ньютон был в первый раз избран в парламент от Кембриджского университета и заседал там немногим более года. Второе избрание состоялось в 1701—1702 годах.

1696: Королевским указом Ньютон назначен смотрителем Монетного двора (с 1699 года — директор). Он энергично проводит денежную реформу, восстанавливая доверие к основательно запущенной его предшественниками монетной системе Великобритании.

1699: начало открытого приоритетного спора с Лейбницем, в который были вовлечены даже царствующие особы. Эта нелепая распря двух гениев дорого обошлась науке — английская математическая школа вскоре увяла на целый век, а европейская — проигнорировала многие выдающиеся идеи Ньютона, переоткрыв их много позднее. На континенте Ньютона обвиняли в краже результатов Гука, Лейбница и астронома Флемстида, а также в ереси. Конфликт не погасила даже смерть Лейбница (1716).

В 1703 году Ньютон был избран президентом Королевского общества и управлял им до конца жизни — более двадцати лет.

1705: королева Анна возводит Ньютона в рыцарское достоинство. Отныне он сэр Исаак Ньютон. Впервые в английской истории звание рыцаря присвоено за научные заслуги.

Последние годы жизни Ньютон посвятил написанию «Хронологии древних царств», которой занимался около 40 лет, и подготовкой третьего издания «Начал».

В 1725 году здоровье Ньютона начало заметно ухудшаться (каменная болезнь), и он переселился в Кенсингтон неподалёку от Лондона, где и скончался ночью, во сне, 20 (31) марта 1727 года. Похоронен в Вестминстерском аббатстве.

Надпись на могиле Ньютона гласит:

«Здесь покоится сэр Исаак Ньютон, дворянин, который почти божественным разумом первый доказал с факелом математики движение планет, пути комет и приливы океанов.

Он исследовал различие световых лучей и появляющиеся при этом различные свойства цветов, чего ранее никто не подозревал. Прилежный, мудрый и верный истолкователь природы, древности и Св. писания, он утверждал своей философией величие Всемогущего Бога, а нравом выражал евангельскую простоту.

Пусть смертные радуются, что существовало такое украшение рода человеческого»

На статуе, воздвигнутой Ньютону в 1755 г. в Тринити-колледже, высечены стихи из Лукреция:

«Qui genus humanum ingenio superavit (Разумом он превосходил род человеческий)»

Сам Ньютон оценивал свои достижения более скромно:

Не знаю, как меня воспринимает мир, но сам себе я кажусь только мальчиком, играющим на морском берегу, который развлекается тем, что время от времени отыскивает камешек более пёстрый, чем другие, или красивую ракушку, в то время как великий океан истины расстилается передо мной неисследованным.

По словам А. Эйнштейна, «Ньютон был первым, кто попытался сформулировать элементарные законы, которые определяют временной ход широкого класса процессов в природе с высокой степенью полноты и точности» и «… оказал своими трудами глубокое и сильное влияние на всё мировоззрение в целом».

 

История метода

 

Метод был описан Исааком Ньютоном в рукописи «De analysi per aequationes numero terminorum infinitas» (лат. Об анализе уравнениями бесконечных рядов), адресованной в 1669 году Барроу, и в работе «De metodis fluxionum et serierum infinitarum» (лат. Метод флюксий и бесконечные ряды) или «Geometria analytica» (лат. Аналитическая геометрия) в собраниях трудов Ньютона, которая была написана в 1671 году. В своих работах Ньютон вводит такие понятия, как разложение функции в ряд, бесконечно малые и флюксии (производные в нынешнем понимании). Указанные работы были изданы значительно позднее: первая вышла в свет в 1711 году благодаря Уильяму Джонсону, вторая была издана Джоном Кользоном в 1736 году уже после смерти создателя. Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения: Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам. Он вычислял не последовательные приближения xn, а последовательность полиномов и в результате получал приближённое решение x.

Впервые метод был опубликован в трактате «Алгебра» Джона Валлиса в 1685 году, по просьбе которого он был кратко описан самим Ньютоном. В 1690 году Джозеф Рафсон опубликовал упрощённое описание в работе Analysis aequationum universalis (лат. Общий анализ уравнений). Рафсон рассматривал метод Ньютона как чисто алгебраический и ограничил его применение полиномами, однако при этом он описал метод на основе последовательных приближений xn вместо более трудной для понимания последовательности полиномов, использованной Ньютоном. Наконец, в 1740 году метод Ньютона был описан Томасом Симпсоном как итеративный метод первого порядка решения нелинейных уравнений с использованием производной в том виде, в котором он излагается здесь. В той же публикации Симпсон обобщил метод на случай системы из двух уравнений и отметил, что метод Ньютона также может быть применён для решения задач оптимизации путём нахождения нуля производной или градиента.

В 1879 году Артур Кэли в работе The Newton-Fourier imaginary problem (англ. Проблема комплексных чисел Ньютона-Фурье) был первым, кто отметил трудности в обобщении метода Ньютона на случай мнимых корней полиномов степени выше второй и комплексных начальных приближений. Эта работа открыла путь к изучению теории фракталов.

 

Отделение корней

 

Во многих приближённых методах нахождения корня уравнения заранее требуется знать какой-либо отрезок, на котором лежит искомый корень, и притом только один этот корень (то есть предъявляемый отрезок не должен содержать других корней уравнения). В этом случае говорят, что корень отделён на отрезке. Отделить корень - значит указать такой отрезок, на котором корень отделён. Заметим, что отделить корень можно не единственным образом: если корень отделён на каком-либо отрезке, то годится и любой меньший отрезок, содержащий этот корень. Вообще говоря, чем меньше отрезок, тем лучше, но при этом не следует забывать о том, что на отделение корня на меньших отрезках также тратятся вычислительные усилия, и, быть может, весьма значительные. Таким образом, часто для начала довольствуются весьма широким отрезком, на котором корень отделён.

Кроме того, часто нужно знать начальное приближение x 0 к корню (который, заметим, неизвестен). В качестве этого начального приближения берут, как правило, любую точку отрезка, на котором отделён корень, например, его середину, если описание метода не предписывает поступить как-нибудь иначе.

Приведём некоторые утверждения, которые могут помочь при отделении корня.

Теорема 1 Если функция непрерывна на отрезке, причём значения её в концах отрезка и - это числа разных знаков, то на отрезке лежит по крайней мере один корень уравнения.

Практический смысл теоремы в том, что если мы, вычисляя значения функции в некоторых точках, видим, что вычисление в двух соседних точках даёт значения разных знаков, то на отрезке между этими точками лежит отыскиваемый корень. Если же известно заранее, что корень один, то получаем, что корень отделён на найденном отрезке. Этот же способ, когда мы наугад вычисляем значения функции в каких-то точках, может привести к отделению корней и в случае, когда корней несколько, но заранее известно их число или хотя бы оценка сверху для их количества. Рассмотрим иллюстрирующий сказанное пример.

Теорема 2 Если функция строго монотонна на отрезке, то есть возрастает или убывает на, то на этом отрезке уравнение не может иметь более одного корня.

Доказательство сразу следует из того, что строго монотонная функция принимает каждое своё значение ровно один раз. Если 0 является значением функции, то и значение 0 принимается один раз, то есть уравнение имеет один корень.

Тем самым, если отрезок, на котором заведомо имеется хотя бы один корень (например, если и - разного знака), - это отрезок строгой монотонности функции, то на отделён ровно один корень.

Заметим, что интервалы монотонности функции можно отыскивать, решая неравенства (что соответствует возрастанию функции) и (что соответствует убыванию).