Признаки возрастания и убывания функции
Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г. Белинского Физико-математический факультет Кафедра общей физики Курсовая работа Некоторые приложения дифференциального исчисления Пенза 200 8 Признаки возрастания и убывания функции
Функция f(x), заданная на интервале, называется возрастающей,если большим значениям аргумента соответствуют большие значения функций, т.е. если как только x2 > x1 ,так и f(x2)>f(x1). Функция называется убывающей, если из x2 > x1 следует f(x2)<f(x1). Возрастающие и убывающие функции носят общее название монотонных функций. Функция называется кусочно монотонной, если любой конечный интервал, содержащийся в ее области определения, состоит из нескольких интервалов, на каждом из которых функция монотонна (рис. 1).
Рис. 1
Основной принцип дифференциального исчисления дает простые признаки возрастания и убывания дифференцируемых (т.е. имеющих производную) функций. Пусть функция f (х)возрастает на некотором интервале. Тогда ее график представляет собой линию, поднимающуюся при движении слева направо (рис. 2). Поэтому маленький отрезок касательной, почти совпадающий с кусочком графика, примыкающим к точке касания, будет тоже поднимающимся или, в крайнем случае, будет горизонтальным отрезком. Следовательно, угловой коэффициент касательной в любой точке кривой (т.е. значение производной) больше или равен нулю. Рис. 2
Справедлива теорема: Теорема 1. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на некотором интервале и внутри него имеет конечную производную . Для того чтобы f(x) была на интервале монотонно возрастающей в широком смысле, необходимо и достаточно условие
Необходимость. Если f(x) монотонно возрастает, то, взяв х из промeжутка и придав ему приращение будем иметь:
,
и в пределе, при : Достаточность. Пусть дано, что внутри промежутка.Возьмем два значения x1 и x2 ( ) из промежутка и к функции f(x)в промежутке [ ] применим формулу Лагранжа:
где (x1<c<x2). Так как , то , то есть функция f(x) – возрастающая. Теорема доказана. Для убывания функций имеются признаки, которые аналогичны признакам возрастания. Теорема 2. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на некотором интервале и внутри него имеет конечную производную . Для того чтобы f(x) была на интервале монотонно убывающей в широком смысле, необходимо и достаточно условие
Связь между знаком производной и направлением изменения функции геометрически очевидна, так как производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции. Знак этого угловогПримеры 1) Функция f(x)=x3. Она возрастает, но её производная при x=0 обращается в 0. 2) Для возрастающей функции производная может даже в конечном промежутке обращаться в 0 бесконечное множество раз. Рассмотрим функцию
, для x>0
, таким образом функция непрерывна и при x=0. Для x>0:
Эта производная обращается в 0 при (k=0,1,2,…). При этом при Следовательно, 3) Найти промежутки монотонности функции используя достаточные условия возрастания и убывания функции на интервале. Находим производную
Рис. 3
На рисунке 3 показано распределение знаков производной по числовой оси. Применяя достаточные условия монотонности функции на интервале получаем, что у(х) возрастает на [-1; 1], убывает на ( ; -1] и на [1; ). Обратите внимание на то, что концы интервалов (точки х =-1 и х=1) включаются как в интервал, на котором функция убывает, так и в интервал, на котором функция возрастает. Замечание. При решении задач практического содержания часто можно не проверять аналитически достаточность условийэкстремума (с помощью первой или второй производной коэффициента показывает, наклонена ли касательная вверх или вниз, а с нею - идет ли вверх или вниз и сама кривая. Но в отдельных точках касательная при этом может оказаться и горизонтальной, т.е. производная - даже в строгом смысле - возрастающей (убывающей) функции может для отдельных значений хобращаться в 0. Не каждая стационарная точка доставляет функции экстремум: необходимое условие не является достаточным. Например, для функции производная обращается в нуль при x=0, но в этой точке функция не имеет экстремума: она всё время возрастает. Если точка - стационарная точка для функции f ( x ) или если в этой точке не существует для нее двусторонней конечной производной, то точка х0 является лишь «подозрительной» по экстремуму и подлежит проверке достаточных условий для существования экстремума. Предположим, что для функции f(x) в промежутке (a.b) существует конечная производная. Если в точке x0 функция имеет экстремум, то применив к промежутку теорему Ферма (пусть функция f(x) определена в некотором промежутке и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если существует двусторонняя конечная производная в этой точке, то необходимо ), получим, что : в этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум нужно искать только в тех случаях, где производная равна 0. Эти точки называются стационарными. На рис. 4 точка х0 - точка локального минимума функции f(x), x1 есть точка локального максимума. Глобальные минимум и максимум достигаются на концах а и b промежутка задания функции.
Рис. 4
Максимум и минимум функции носят общее название экстремумов, и точки, в которых они достигаются, называются точками экстремумов. Рассмотрим задачу, в которой нужно найти все значения аргумента, доставляющих функции экстремум. Точка локального максимума - точка х0, для которой f(x0) - наибольшее среди всех значений в некоторой окрестности точки х0. Локальный максимум функции - значение f(x0) в точке локального максимума, глобальный максимум - наибольшее значение функции, заданной на интервале. Точка х0 называется точкой локального минимумадля функции f(x),если ее значение f(x0)в этой точке меньше всех значений в некоторой ее окрестности , то есть . Значение f(x0)называется локальным минимумомфункции f ( x ). Глобальным (всеобщим) минимумомназывается значение функции, наименьшее среди значений на всем интервале.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (200)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |