Производные высших порядков

2019-12-29

174

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

1 234

Наряду с производной функции f(x) часто возникает потребность в рассмотрении производной функции . Она называется второй производной функции f(x). Производная есть скорость изменения функции. Поэтому вторая производная есть скорость изменения скорости изменения функции или, вторая производная есть ускорение изменения функции.

Производная от второй производной называется третьей производной или производной третьего порядка; производная от третьей производной - производной четвертого порядка и т.д. Производная порядка п от функции f (х) обозначается f⁽ⁿ⁾ (х).

Первая производная функции f ( x ) имеет ясный геометрический смысл. Она есть угловой коэффициент касательной, т.е. равна тангенсу угла наклона касательной коси абсцисс (рис. 10).

Рис. 10

Вторая производная есть скорость изменения углового коэффициента касательной. Положительность второй производной на некотором интервале означает, что угол, образованный касательной с осью абсцисс, растет с увеличением x. Геометрически это значит, что график направлен выпуклостью вниз. Если же вторая производная отрицательна на некотором интервале, то на нем график расположен выпуклостью вверх. На рис. 4 интервал задания функции разбит на участки, на каждом из которых вторая производная сохраняет знак (этот знак указан на рисунке). Точки, в которых график меняет направление выпуклости, называются точками перегиба. точки А₁, А₂, А₃на рис. 4). При переходе через точку перегиба вторая производная меняет знак.

Наглядно видно, что если в некоторой точке первая производная равна нулю, а вторая положительна (точки В₁ и В₂ на рис. 4), то в этой точке функция имеет минимум, так как в такой точке касательная к графику горизонтальна и выпуклость направлена вниз. Соответственно если первая производная в точке равна нулю, а вторая отрицательна, то в этой точке имеет место максимум (точки С₁ и С₂ на рис. 4).

Если = 0 и , то функция f(x) достигает в точке х₀минимума; если же = 0 и f"(x₀)<0, то функция имеет в этой точке максимум. Рассмотрим случай, когда и = 0 и f^//(х₀) = 0,

Предположим, что функция f(x) имеет в точке х =x₀ n последовательных производных, причем все они, вплоть до (n-1) в этой точке обращаются в нуль:

но . Разложим приращение f{x)-f(x₀) функции f(x) по степеням разности х - х₀ по формуле Тейлора с дополнительным членом в форме Пеано.

Так к все производные порядков меньших, чем n, равны в точке х₀ нулю, то

Так как при , при достаточной близости x к х₀ знак суммы в числителе будет совпадать со знаком f^{ⁿ⁾ (x₀) как для х<х₀, так и для x>x₀. Рассмотрим два случая:

1) n - нечетное число: n = 2k+1. При переходе от значений x к x₀, меньших, чем х₀, к значениям, большим, чем х₀, выражение (х – х₀)ⁿ изменит знак на обратный, а так как знак первого множителя при этом не меняется, то и знак разнести f(x)-f(x₀) изменится. Таким образом, в точке х₀ функция f(x) не может иметь экстремума, потому что вблизи этой точки принимает значения как меньше, так и большие, чем f(х₀).

2) n - четное число: n = 2k. В этом случае разность f(x) – f(x₀) не меняет знака при переходе от х меньших, чем х₀, к большим, так как (х – х₀)ⁿ>0 при всех х. Очевидно, вблизи х₀ как слева, так и справа знак разнести f(x)-f(х₀) совпадает со знаком числа f^{ⁿ⁾ (х₀). Значит, если , то f(x)>f(x₀) вблизи точки х₀, и в точке х₀ функция f(x) имеет минимум; если же f^{ⁿ⁾(х₀)<0, то функция имеет максим.

Теорема.Пусть функция f(x), заданная на интервале [а, b], имеет производные и в некоторой точке [а,b] имеет место f'{c)=...

Тогда если f⁽ⁿ⁾{x) > 0 при всех х [а, b], то при четном n функция f(x) имеет минимум при х = с, если же нечетно, то функция f(x) возрастает на [а, b] и для нее х = с-точка перегиба. Соответственно если f⁽ⁿ⁾(x)<0 при всех х [а, b], то при четном n функция f(x) имеет максимум в точке х = с, а при нечетном функция f(x) убывает на [а, b] и для нее х = с-точка перегиба.

Рис. 11

Доказательство. Пусть условия теоремы выполнены и f⁽ⁿ⁾ (х) > 0 (рис. 5). Тогда f^{ⁿ^-1)(x) возрастает в интервале [а, b], так что при х < с будет (рис. 11) и при х >c: (рис. 12).

Рис. 12

Рис. 13 Рис. 14

Таким образом, f^{ⁿ^-^l⁾(x) отрицательна при х<c и f⁽ⁿ^-1)(x) положительна при x>с. Следовательно, f^{ⁿ^-2)(x) убывает слева от точки х = с и возрастает справа от точки х = с. Она обращается в нуль при х = с.

Поэтому она принимает положительные значения как слева, так и справа от точки х = с и имеет минимум при х = с (рис. 13). Функция f^{ⁿ^-3) (х) возрастает слева и справа от точки x= с, так что, обращаясь в нуль при х = с, переходит от отрицательных значений к положительным (рис. 14). Функция f⁽ⁿ^-4) (х) убывает слева отточки х = с и возрастает справа. Следовательно, она имеет минимум и равна нулю при х = с и принимает положительные значения как слева, так и справа от с. Продолжая аналогичные рассуждения, мы получим, что f^{ⁿ^-1)(x), f⁽ⁿ^-3)(x). f⁽ⁿ^-5) (x)…. возрастают, когда х проходит через точку х = с, a f⁽ⁿ^-2)(x), f^{ⁿ^-4) (x), f⁽ⁿ^-6) (x)…. имеют минимум при х = с. При четном n дойдем до исходной функции f (х) через четное число шагов, делаем вывод, что f (x) имеет минимум при х = с. При нечетном n мы дойдем до f(x) за нечетное число шагов и заключим, что f (x) возрастает слева от точки х = с и продолжает возрастать справа от нее. f" (x) тоже возрастает, проходя через нулевое значение, и, следовательно, f" (х) меняет знак с минуса на плюс, значит, точка с есть точка перегиба для функции f(x).