Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Основные положения алгебры логики




Рассмотриммножество векторов X = {x1... xn}. Будем предполагать, что координаты этих векторов могут принимать значения 0 или 1. Таким образом, множество X состоит из 2n  векторов. Произведем отображение множества X в множество Y = {0, 1}.

Определение. Функцией алгебры логики называется функция, дающая однозначное отображение X в Y.

Определение. Если две функции алгебры логики f1(x1... xn) и f2( x1... xn) принимают на всех наборах значений аргументов одинаковые значения, то их называют равными

Определение. Функция f(x1... xn) существенно зависит от аргумента x i , если имеет место соотношение : f(x1... xi-1 , 0, xi+1 ... xn) ¹ f(x1... xi-1 , 1, xi+1 ... xn) . В противном случае xi - фиктивный аргумент.

Теорема 1. Число различных функций алгебры логики, зависящих от n аргументов конечно и равно 2n.

Приведем иллюстрацию сказанного на основе анализа таблицы:

                                   Таблица 8.1

      x1, x2,..., xn f(x1, x2,..., xn )
      00...00    a1
      00...01    a2
      00...10    a3
         ...    ...
      11...11    a2n

 

Как показывает таблица, задавая тот или иной конкретный двоичный набор аргументов, задается одна из возможных функций алгебры логики, принимающая значение 0 или 1. Различное число таких наборов равно 2n. Следовательно, число функций будет равно 2n.  



Рассмотрим геометрическую интерпретацию области определения функции алгебры логики. Сопоставим наборам аргументов алгебры логики точки n-мерного пространства. Тогда множество 2n таких наборов определит множество вершин n- мерного единичного куба. Таким образом, множество вершин n- мерного единичного куба есть область определения функций алгебры логики. Пусть вершина А соответствует набору ( х1 = 1, х2 = 1, х3 = 1 ), а вершина B - набору ( х1 = 1, х2 = 1, х3 = 0 ). Тогда графически это может быть представлено следующим рисунком:

                              X3              

 


                                           А

                                   0          

                                          В                  X2                   

 

 

                   X1                                   

Рис. 8.1.

Рассмотрим основные функции, которые играют основную роль в построении функций алгебры логики и ее приложениях:

1. f = X.

2.  f = Ø X

3. f = 0.

4. f = 1.

5. f = X v Y.

6. f = X & Y .

7. f = X ~ Y (равенство, эквивалентность).

8. f = X ® Y (импликация).

9. f = X ¯ Y (стрелка Пирса, функция Вебба).

10. f = X | Y (штрих Шеффера).

11. f = X Å Y (сложение по модулю 2).

 Эти одиннадцать функций алгебры логики позволяют строить новые функции, при этом используется два подхода: - подстановка в функцию новой функции вместо аргументов и переобозначение аргументов.

Определение. Функция, полученная из f1 ... fk путем применения возможно многократно указанных двух подходов называется суперпозицией функций f1 ... fk.

Определение . Конъюнкцией n переменных f = x1 & x2 & ... & xn называется функция, которая принимает значение 1, тогда и только тогда, когда все переменные равны 1 (и, значит, равна 0, если хотя бы одна из этих переменных равна 0).

Определение. Дизъюнкцией n переменных f = x1 v x2 v ... v xn называется такая функция, которая равна 0 тогда и только тогда, когда все переменные равны 0 (и, значит, равна 1, когда хотя бы одна из этих переменных равна 1).

 

Пример.Представить в виде таблицы функцию

f (X1,X2 ) = { ( X1 ¯ X2 ) v (X1 Å X2 ) } = X1 | X2.

Решение.

  X1   X2 X 1 ¯ X 2 X 1 Å X 2 X1 | X2.
  0 0     1   0 1
  0 1     0   1 1
  1 0     0   1 1
  1 1     0   0 0

Пример.Показать, что 

X1 ® X2 =  Ø X1 v X 2 на основе построения и сравнения функций по таблицам истинности.

Решение.

  X1   X2 X 1 ® X2 Ø X 1 Ø X 1 v X 2
  0 0
  0 1
  1 0
  1 1

На основе построения и анализа таблицы истинности доказать:

X 1 Å X 2 = Ø ( (ØX 1 v X 2) & ( X 1 v ØX 2 ) ).

 

Показать, что X ~ Y = (ØX 1 v X 2) & ( X 1 v ØX 2 )

Важно знать:

Ø ( Ø X 1 ) = X .

Закон де Моргана:

X 1 & X 2 = Ø ( Ø X 1 v Ø X 2).

X 1 v X 2  = Ø ( Ø X 1 & Ø X 2).

 

Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой



Читайте также:
Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас...
Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы...
Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (141)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.01 сек.)
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7