Основные положения алгебры логики

Рассмотриммножество векторов X = {x₁... x_n}. Будем предполагать, что координаты этих векторов могут принимать значения 0 или 1. Таким образом, множество X состоит из 2ⁿ  векторов. Произведем отображение множества X в множество Y = {0, 1}.

Определение. Функцией алгебры логики называется функция, дающая однозначное отображение X в Y.

Определение. Если две функции алгебры логики f₁(x₁... x_n) и f₂( x₁... x_n) принимают на всех наборах значений аргументов одинаковые значения, то их называют равными

Определение. Функция f(x₁... x_n) существенно зависит от аргумента x _i , если имеет место соотношение : f(x_1... x_i-1 , 0, x_i+1 ... x_n) ¹ f(x_1... x_i-1 , 1, x_i+1 ... x_n) . В противном случае x_i - фиктивный аргумент.

Теорема 1. Число различных функций алгебры логики, зависящих от n аргументов конечно и равно 2ⁿ.

Приведем иллюстрацию сказанного на основе анализа таблицы:

                                   Таблица 8.1

Как показывает таблица, задавая тот или иной конкретный двоичный набор аргументов, задается одна из возможных функций алгебры логики, принимающая значение 0 или 1. Различное число таких наборов равно 2ⁿ. Следовательно, число функций будет равно 2ⁿ.  

Рассмотрим геометрическую интерпретацию области определения функции алгебры логики. Сопоставим наборам аргументов алгебры логики точки n-мерного пространства. Тогда множество 2ⁿ таких наборов определит множество вершин n- мерного единичного куба. Таким образом, множество вершин n- мерного единичного куба есть область определения функций алгебры логики. Пусть вершина А соответствует набору ( х1 = 1, х2 = 1, х3 = 1 ), а вершина B - набору ( х1 = 1, х2 = 1, х3 = 0 ). Тогда графически это может быть представлено следующим рисунком:

                              X3              

                                           А

                                   0          

                                          В                  X2                   

                   X1                                   

Рис. 8.1.

Рассмотрим основные функции, которые играют основную роль в построении функций алгебры логики и ее приложениях:

1. f = X.

2.  f = Ø X

3. f = 0.

4. f = 1.

5. f = X v Y.

6. f = X & Y .

7. f = X ~ Y (равенство, эквивалентность).

8. f = X ® Y (импликация).

9. f = X ¯ Y (стрелка Пирса, функция Вебба).

10. f = X | Y (штрих Шеффера).

11. f = X Å Y (сложение по модулю 2).

 Эти одиннадцать функций алгебры логики позволяют строить новые функции, при этом используется два подхода: - подстановка в функцию новой функции вместо аргументов и переобозначение аргументов.

Определение. Функция, полученная из f₁ ... f_k путем применения возможно многократно указанных двух подходов называется суперпозицией функций f₁ ... f_k.

Определение . Конъюнкцией n переменных f = x₁ & x₂ & ... & x_n называется функция, которая принимает значение 1, тогда и только тогда, когда все переменные равны 1 (и, значит, равна 0, если хотя бы одна из этих переменных равна 0).

Определение. Дизъюнкцией n переменных f = x₁ v x₂ v ... v x_n называется такая функция, которая равна 0 тогда и только тогда, когда все переменные равны 0 (и, значит, равна 1, когда хотя бы одна из этих переменных равна 1).

Пример.Представить в виде таблицы функцию

f (X1,X2 ) = { ( X1 ¯ X2 ) v (X1 Å X2 ) } = X1 | X2.

Решение.

Пример.Показать, что 

X1 ® X2 =  Ø X1 v X 2 на основе построения и сравнения функций по таблицам истинности.

Решение.

На основе построения и анализа таблицы истинности доказать:

X 1 Å X 2 = Ø ( (ØX 1 v X 2) & ( X 1 v ØX 2 ) ).

Показать, что X ~ Y = (ØX 1 v X 2) & ( X 1 v ØX 2 )

Важно знать:

Ø ( Ø X 1 ) = X .

Закон де Моргана:

X 1 & X 2 = Ø ( Ø X 1 v Ø X 2).

X 1 v X 2  = Ø ( Ø X 1 & Ø X 2).