Математическое описание непрерывного регулирования скорости

Перечисленным выше трем условиям наилучшего приближения функции V_x(t) и функции V_заг(t) можно придать следующую математическую форму. Для обеспечения минимальной вероятности отклонения скорости ленты конвейера в месте загрузки от скорости, пропорциональной грузопотоку больше заданной величины e, необходимо, чтобы

 

P[| V_x(t) – V_заг(t) | > e] = min. (1)

 

Требование минимума математического ожидания абсолютной величины разности между V_x(t) и V_заг(t) означает выполнение условия

 

M[V_x(t) – V_заг(t)] = min. (2)

 

Наконец, требование минимальной величины математического ожидания квадрата разности (требование минимума второго начального момента) приводит к условию

 

M{[V_x(t) – V_заг(t)]²} = min. (3)

 

Если математические ожидания случайных функций V_заг(t) и V_x(t) не равны нулю, то условие (3) целесообразно дополнить требованием

 

M[V_x(t) – V_заг(t)] = 0,

 

которое означает отсутствие систематической погрешности системы. В этом случае условие (3) может быть переписано в виде

D[V_x(t) – V_заг(t) ] = min

 

и соответствует простому физическому условию обращения в минимум дисперсии или среднего квадратического отклонения.

Несмотря на различную математическую формулировку оптимального приближения скорости V_x(t) к скорости V_заг(t), физически эти критерии близки между собой, так как их выполнение означает, что скорость V_x(t), как правило, не сильно отклоняется от скорости V_заг(t). Поэтому следует ожидать, что свойства динамической системы регулирования, построенной с учетом любого из этих требований, не будут сильно различаться. Это позволяет из большого числа возможных критериев выбрать наиболее простой критерий минимума среднего квадратического отклонения. Кроме того, когда скорости V_x(t) и V_заг(t) являются нормальными (грузопоток является нормальным случайным процессом, а поскольку скорость V_заг(t) – его линейное преобразование, то и она нормальна) и математическое ожидание разности V_x(t) – V_заг(t) равно нулю, это требование гарантирует одновременное выполнение также условий (1) и (2).

Предположим, что на вход системы регулирования поступает полезный сигнал V_гр(t), пропорциональный грузопотоку, с наложенной на него помехой V_экв(t), так что входной сигнал имеет вид

 

V_d[(t) = V_uh(t) + V_’rd(t) (4)

 

где V_экв(t) – эквивалентное приведенное ко входу электронного преобразователя (грузопоток – сигнал) значение помехи.

Воздействия V_гр(t) и V_экв(t) являются стационарными случайными функциями с известными корреляционными функциями и равными нулю средними значениями. Если средние значения этих воздействий не равны нулю, то можно ввести центрированные величины V'_i(t) = V_i(t) – M[V'(t)], средние значения которых равны нулю.

Система должна осуществлять линейное преобразование полезного сигнала V_гр(t) на входе в сигнал V_заг(t) на выходе согласно формуле

 

L[V_заг(t) ] = H(s) L[V_гр(t)], (5)

 

где H(s) – заданный преобразующий оператор; L – некоторый линейный оператор.

Введем обозначения

 

V_rp(t) = m'(t), V_экв(t) = n(t), V_вх(t) = j(t), V_заг(t) = h(t), V_x(t) = x(t)

 

и рассмотрим решение этой задачи.

Формулы (4) и (5) примут вид

 

j (t) = m'(t) + n(t), L[h(t)] = Н(s)L[m (t)].

 

Требуется, пользуясь этими данными, найти импульсную переходную функцию K(t), удовлетворяющую условию физической осуществимости K(t)=0, t=0 и обеспечивающую на интервале времени Т минимум среднего значения квадрата погрешности

 

 (6)

 

между требуемым h(t) и возможным в рассматриваемых условиях, изменением величины x(t) на выходе системы. Найдем выражение для среднего значения квадрата погрешности e². Учитывая, что

 

,

получим на основании (6)

 

(7)

 

Задача заключается в том, чтобы найти передаточную функцию Ф(jw) системы регулирования

 

,

 

при которой величина e² минимальна. Выражение для искомой передаточной функции

 

, (8)

 

где G_hj(w) – взаимная спектральная плотность процессов h и j ; y₁(jw), y₂(jw) – вспомогательные функции, которые являются преобразованиями Фурье от функций y₁(t) = 0 при t <0 , y₂(t) = 0 при t > 0.

Передаточную функцию y(jw), удовлетворяющую равенству (8), называют оптимальной передаточной функцией, так как она обеспечивает минимальную среднюю квадратическую погрешность совместно с условием физической осуществимости K(t) = 0 при t < 0, где

 

 

Задача нахождения функций y₁(jw) и y₂(jw) сводится к задаче разложения четной функции G_j(w), удовлетворяющей условию G_j(w)=0, на два множителя, из которых один представляет собой функцию, аналитическую и ограниченную в верхней полуплоскости, а другой функцию, аналитическую и ограниченную в нижней полуплоскости. Можно показать, что квадратическая амплитудная характеристика A² (w) является подобно G_j(w) неотрицательной и четной функцией от w и может быть представлена в виде произведения двух множителей, один из которых содержит все нули и полюсы, расположенные в верхней полуплоскости, а другой – все нули и полюсы, расположенные в нижней полуплоскости, причем эти множители представляют собой комплексно сопряженные функции.

Следовательно, функции y₁(jw) и y₂(jw), удовлетворяющие тем же условиям, что и указанные два множителя, также представляют собой комплексно сопряженные функции

 

y₁(jw) =y₂^*(jw) = y(jw)

y₂(jw) = y₁^*(jw) = y^*(jw)

y₁(jw)y₂(jw) = | y(jw) |² = G_j(w) (9)

 

и способ определения функций y₁(jw), y₂(jw) из G_j(w) (по крайней мере, если эта последняя представляет собой дробно-рациональную функцию от w) аналогичен способу определения передаточной функции Ф(jw) по соответствующей ей квадратической амплитудной частотной характеристике.

Таким образом, в общем виде окончательное выражение для оптимальной передаточной функции имеет вид

 

,

где функция y(jw) определяется формулой (9).

 

Рисунок 2.3 Характер изменения скорости в месте загрузки при непрерывном регулировании

 

Оценим среднюю квадратическую погрешность e, которая влияет на выбор ширины ленты. По рассчитанной оптимальной передаточной функции находим среднюю квадратическую погрешность. Скорость ленты конвейера в месте погрузки V_x(t) может в среднем отличаться от скорости, пропорциональной грузопотоку V_загр(t) на величину ±e_v (рисунок 2.3).

При отрицательной погрешности -e_v скорость ленты меньше необходимой скорости, и в этом случае возможны просыпи груза, поэтому величина e_v должна быть меньше величины рассчитанной погрешности e_доп.

При нормальной работе конвейера его производительность равна

 

Q = 3600F_гv_нg, (10)

 

где F_г — площадь поперечного сечения груза на ленте; V_н — номинальная скорость конвейера; g — насыпная плотность груза.

Площадь поперечного сечения F_г (рисунок 2.4,а) определяем при условии, что на ленте шириной В груз занимает ширину b=0,9B – 0,05 (рабочая ширина ленты) Максимальным резервом конвейера по производительности при условии, что отсутствуют просыпи, является величина

 

DQ_к = Q_{к max} – Q_к

 

а)

б)

Рисунок 2.4 Определение максимально возможной площади поперечного сечения груза на ленте (а), и зависимость максимально допустимого значения e_доп от угла наклона боковых роликов (б)

 

Величину Q_{к max} определяем из выражения

 

Q_{к max} = 3600F_{г max}v_нg, (11)

 

где F_{г max} – максимально возможная площадь поперечного сечения, рас-считанная, например, при b = 0,9В.

При равных Q_к в (10) и (11) резерв по площади позволяет иметь разные скорости, определяемые из выражения

 

v'_н = F_Vн / F_max (12)

 

Скорость v'_н является минимально допустимой, при которой нет потерь груза.

Величину относительной погрешности по номинальной скорости, которую должна обеспечить система автоматического регулирования, определим как

 

.

 

Подставляя выражение v'_н изформулы (12), получим

 

.

 

Таким образом, допустимая погрешность регулирования по скорости зависит от геометрии грузонесущего полотна конвейера. Если окажется, что рассчитанная оптимальная передаточная функция не обеспечит выполнение условия , то необходимо брать ленту большей ширины.

Зависимость допустимой погрешности от угла b_Р наклона боковых роликов e_доп = f(b_Р) приведена на рисунке 2.4,б. Из графика следует, что у конвейера существует оптимальная геометрическая форма линейной секции, обеспечивающая максимальную допустимую погрешность.

Выражение (7) для среднего значения квадрата погрешности системы непрерывного регулирования скорости может быть представлено в виде

 

 

Сравнивая величину с рассчитанным значением погрешности e_доп, можно сделать вывод о возможности работы конвейера с заданными характеристиками при непрерывном регулировании его скорости с входным грузопотоком, обладающим соответствующей динамикой.

Одной из важных задач в подобной системе является задача экстраполяции, или, другими словами, задача статистического упреждения.

Конечно, в результате экстраполяции мы не можем получить точного будущего значения грузопотока, но ввиду его стационарности можно оценить наиболее вероятное его поведение в будущем. Необходимость экстраполяции объясняется невозможностью инерционной системы (конвейера) отрабатывать без задержки изменение сигнала, пропорционального входному грузопотоку.

Если задачу упреждения решают совместно с задачей сглаживания, это означает, во-первых, что требуемый закон преобразования входной величины имеет вид

 

м_заг(е) = м_гр(е+е₀)б

 

т. е. система регулирования должна воспроизводить на выходе в момент времени t с возможно меньшей погрешностью скорость, которая будет на входе системы в момент времени t+t₀ и, во-вторых, на вход системы помимо управляющего (полезного) воздействия U_гр(t) поступает еще и возмущающее воздействие, или помеха, v_экв(t)

Помеха v_экв(t) обычно содержит более высокие частоты, чем полезный сигнал U_гр(t), и наилучшее воспроизведение входного сигнала может быть достигнуто лишь в результате сглаживания входного сигнала, т. е. подавления его высокочастотных составляющих.

Выражение для оптимальной передаточной функции для подобного случая имеет вид