Внеклассное мероприятие на тему «Элементы комбинаторики»

А» класс (школа №858)

Цель: Ввести новые знания по теме «Элементы комбинаторики»

Задачи:

1. Образовательные:

· выявить, обобщить и расширить математические знания, имеющиеся у детей на данный момент в области комбинаторики;

· ввести понятия перестановки, факториал;

· начать формирование умений по применению знаний в решении заданий;

2. Развивающие:

· развивать логическое мышление, долговременную память, внимательность;

· развивать умение рассуждать, обобщать и делать выводы;

· развивать правильную математическую речь, вычислительный навык;

3. Воспитательные:

· воспитывать усидчивость, дисциплинированность, инициативность;

· воспитывать уважение к преподавателю, одноклассникам.

Ход мероприятия

1. Организационный момент: Здравствуйте, садитесь! Сегодня на уроке вы познакомитесь с комбинаторикой.

Подготовительный этап.

Вы уже знакомы с некоторыми задачами на перебор всех возможных вариантов, которые решали с помощью составления древа.

Например:Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

При решении этой задачи сначала составляется древо всех возможных вариантов (учитель у доски со слов учащихся).

 

 

Первая цифра	1						3						5						7
Вторая цифра	3		5		7		1		5		7		1		3		7		1		3		5
Третья цифра	5	7	3	7	3	5	5	7	1	7	1	5	3	7	1	7	1	3	3	5	1	5	1	3

Введение новых знаний

Но как вы уже знаете, ответ на поставленный в вопрос можно получить, не выписывая сами числа и не строя дерево возможных вариантов. Рассуждать будем так. Первую цифру трехзначного числа можно выбрать четырьмя способами. Так после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4·3·2 = 24.

Ответ на поставленный в примере вопрос мы нашли, используя так называемое комбинаторное правило умножения (записывается в тетрадь).

Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за другим некоторые k элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся n2 способами, затем третий элемент – n3 способами и т.д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению n1·n2·n3·…·nk.

Практический этап

1. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник – и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.

Решение:

 

Борщ				Рассольник
гуляш	котлеты	сосиски	пельмени	гуляш	котлеты	сосиски	пельмени

На первое место можно выбрать одно из двух блюд, на второе – одно из четырех блюд. Значит количество обедов из двух блюд: 2·4=8.

Ответ: 8 обедов.

2. Стадион имеет 4 входа: А, В, С и Д. укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход и выйти через другой. Сколько таких способов?

Решение: Посетитель может войти через один из четырех входа, а выйти через один из трех оставшихся, т.е. имеется 4·3=12 способов.

Ответ: 12 способов.

3. Из села Дятлово в село Матвеевское ведут три дороги, а из села Матвеевское в село Першино – четыре дороги. Сколькими способами можно попасть из Датлова в Першино через Матвеевское?

Решение: В село Матвеевское из Дятлова можно попасть тремя способами. А из Матвеевского в Першино – 4 способами. Значит, 3·4=12 способов.

Ответ: 12 способов.

4. Петр решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетера. В ателье проката ему предложили на выбор различные по фасону и цвету предметы: пять пар брюк, шесть камзолов, три шляпы, две пары сапог. Сколько различных карнавальных костюмов можно составить из этих предметов?

Решение: Брюки можно выбрать пятью способами, камзолы – шестью, шляпы – тремя, сапоги – двумя. Значит, костюм можно составить 5·6·3·2=180 способами.

Ответ: 180 способов.

Введение новых знаний

Пример. Пусть имеются три книги. Обозначим их буквами a, b, c. Эти книги можно расставить на полке по-разному: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Каждое из этих расположений называют перестановкой из трех элементов.

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn (читается «Р из n»).

Мы установили, что Р3 = 6. Для того, чтобы найти число перестановок из трех элементов, можно не выписывать эти перестановки, а воспользоваться правилом умножения. Будем рассуждать так. На первое место можно поставить любой из трех элементов. Для каждого выбора первого элемента есть две возможности выбора второго из оставшихся двух элементов. Наконец, для каждого выбора первых двух элементов остается единственная возможность выбора третьего элемента. Значит, число перестановок из трех элементов равно 3·2·1, т.е. 6.

Выведем теперь формулу для числа перестановок из п элементов.

Пусть мы имеем n элементов. На первое место можно поставить любой из них. Для каждого выбора первого элемента на второе место можно поставить один из оставшихся n-1 элементов. Для каждого выбора первых двух элементов на третье место можно поставить один из оставшихся n-2 элементов и т.д. в результате получим, что

Pn = n(n-1)(n-2) ·…·3·2·1.

Расположив множители в порядке возрастания, получим

Pn  = 1·2·3·…·( n -2)( n -1) n .

Для произведения первых n натуральных чисел используется специальное обозначение: n ! (читается «n факториал»).

Таким образом, число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле Pn  = n !

Например, 2!=1·2=2; 5!=1·2·3·4·5=120.

По определению считают, что 1!=1.

Практический этап

- Ребята, давайте вспомним басню И.А.Крылова «Квартет»:

Проказница мартышка,

Осел,

Козел,

Да косолапый мишка

Затеяли сыграть Квартет.

Достали нот, баса, альта, две скрипки

И сели на лужок под липки –

Пленять своим искусством свет.

Ударили в смычки, дерут, а толку нет.

«Стой, братцы, стой!» - кричит мартышка. – «Погодите!

Как музыке идти? Ведь вы не так сидите.

Ты с басом Мишенька садись против альта,

Я, прима, сяду против вторы;

Тогда пойдет уж музыка не та:

У нас запляшут лес и горы!»

Расселись, начали Квартет,

Он все-таки на лад нейдет.

«Постойте ж, я сыскал секрет! –

Кричит Осел, - мы верно уж поладим,

Коль рядом сядем.»

Послушались осла, уселись чинно в ряд;

А все-таки Квартет нейдет на лад.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры,

Кому и как сидеть.

Случилось Соловью на шум их прилететь.

Тут с просьбой все к нему, чтоб их решить сомненье.

«Пожалуй, - говорят, - возьми на час терпенье,

Чтобы Квартет в порядок наш привесть:

И ноты есть у нас, и инструменты есть,

Скажи, лишь как нам сесть!» -

«Чтоб музыкантом быть, так надобно уменье

И уши ваших понежней, -

Им отвечает Соловей, -

А вы, друзья, как ни садитесь, все в музыканты не годитесь».

Сколько способами могут рассесться участники Квартета?

Решение: Квартет состоит из четырех участников. Число способов равно числу перестановок из 4 элементов. Р4=1∙2∙3∙4=24. Значит, существует 24 способа.

Ответ: 24 способа.

5. Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

Решение: Число способов равно числу перестановок из 8 элементов.

Р8=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8=40320. Значит, существует 40320 способов расстановки участниц забега на восьми беговых дорожках.

Ответ: 40320 способов.

6. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?

Решение: Из цифр 0, 2, 4, 6 можно получить Р4 перестановок. Из этого числа надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, т.к. натуральное число не может начинаться с цифры 0. число таких перестановок равно Р3. значит, искомое число четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 2, 4, 6 равно Р4 – Р3= 4!–3!=1∙2∙3∙4 – 1∙2∙3= 24 – 6=18.

Ответ: 18 чисел.

7. Имеется девять различных книг, четыре из которых – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Решение: Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг это можно сделать Р6 способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р4 перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению Р6·Р4 = 6! ·4! = 720·24 = 17280.

Ответ: 17280 способов.

8. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?

Решение: Число способов равно числу перестановок из 9 элементов.

Р9=9!=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9=362880.

Ответ: 362880 способов.

9. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание на этот день так, чтобы два урока математики (алгебра и геометрия) стояли рядом?

Решение: Рассмотрим алгебру и геометрию как один урок. Тогда расписание надо составить не из 6, а из 5 уроков – Р5 способов. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р2 перестановки алгебры и геометрии. Значит, искомое число способов составления расписания:

Р5∙Р2=1∙2∙3∙4∙5∙1∙2= 120∙2=240

Ответ: 240 способов.

7. Подведение итогов. Итак, вы познакомились с некоторыми правилами комбинаторики и применили их при решении задач. Какие это правила?

8. Домашнее задание:

1. В кафе имеются три первых блюда, пять вторых блюд и два третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?

Решение. Первое блюдо можно выбрать 3 способами. Для каждого выбора первого блюда существует 5 возможностей выбора второго блюда. Значит, первые два блюда можно выбрать 3·5 способами. Наконец, для каждого выбора третьего блюда, т.е. существует 3·5·2 способов составления обеда из трех букв. Итак, обед из трех букв может быть составлен 30 способами.

2. Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?

Решение: Число маршрутов равно числу перестановок из 7 элементов.

Р7=7!= 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7=5040

Ответ: 5040 маршрутов.

3. Имеется девять различных книг, четыре из которых – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Решение: Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг это можно сделать Р6 способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р4 перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению Р6·Р4 = 6! ·4! = 720·24 = 17280.

4. Вычислите значение дроби:

а) ; б) ;     в) ;    г) ;  д) ;  е)

III. Контролирующий этап. Повторное проведение и обработка тестов на психодиагностику познавательных процессов, оценку мышления у школьников. Повторное задание на выборочное решение задач. Обработка результатов и сравнение с результатами констатирующего этапа.

Проведение психодиагностического теста на исследование гибкости мышления.

Обработка результатов:

 

Кол-во уч-ся по списку	Кол-во уч-ся, выполнивших тест	Показатель гибкости мышления (кол-во составленных слов)
		Высокий (21 и более)		Средний (13-20)	Низкий (7-12)
31	29	14	12		1

 

Сравнение результатов с результатами констатирующего этапа представлены в диаграмме. Показатель гибкости мышления учащихся значительно увеличился.

 

 

Проведение психодиагностического теста на изучение логической памяти.

Обработка результатов:

 

Кол-во уч-ся по списку	Кол-во уч-ся, выполнивших тест	Показатель развития логической памяти
		Высокий	Средний	Низкий
31	29	13	15	1

 

Сравнение результатов с результатами констатирующего этапа представлено в диаграмме. Показатель развития логической памяти учащихся значительно увеличился – большее количество учащихся справилось с заданием верно.

 

Задания на выборочное решение задач. Учащимся предлагается три задачи и дается задание: решить две из них (при желании – три).

Задача 1. В первый день магазин продал 32% имевшегося ситца, а во второй день 7%. После этого осталось 305 м. сколько ситца поступило в магазин?

Решение:1) 32+7=39 (%)-продали за 2 дня

2) 100-39=61 (%) – осталось.

3)305:0,61=500 (м) – ситца поступило в магазин

Ответ: 500 м ситца поступило в магазин.

Задача 2. Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10? Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки – на четных?

Решение. Если мальчики и девочки сядут в один ряд в произвольном порядке, то это можно сделать Р10=10!=3628800 способами. Если мальчики сядут на нечетные места, то существуют Р5 способов их расположения. Столькими же способами могут расположиться девочки на четных местах. Каждому способу расположения мальчиков соответствует Р5 способов расположения девочек.

Значит, расположиться так, что мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки – на четных, можно Р5·Р5=5! ·5!=120·120=14400 способами.

Задача 3. В коробке 2 красных, 4 желтых, 3 зеленых кубика. Вытаскиваем наугад 5 кубиков. Какие из следующих событий невозможные, какие – случайные, а какие – достоверные:

А = {все вынутые кубики одного цвета};

В = {все вынутые кубики разных цветов};

С = {среди вынутых кубиков есть кубики разных цветов};

D = {среди вынутых есть кубики всех трех цветов}.

Решение:

Событие А – невозможное: нельзя вынуть из коробки пять кубиков одного цвета, так как в ней каждого цвета меньше пяти кубиков.

Событие В – тоже невозможное: кубики в коробке трех цветов, а вынимаем пять.

Событие С – достоверное: ведь все пять кубиков, как мы уже выяснили не могут быть одного цвета, поэтому среди них обязательно есть кубики хотя бы двух цветов.

Событие D – случайное.

Обработка результатов:

 

Кол-во уч-ся по списку	Кол-во уч-ся, выполнивших задание	3 задачи	1-2 задачи	1-3 задачи	2-3 задачи
31	29	13	7	6	3

 

Сравнение результатов с констатирующим этапом представлено в диаграмме.

 

Большее количество учащихся решило все три задачи верно, в том числе задачи на комбинаторику и вероятность, что говорит об успешности формирующего этапа эксперимента.

Значит, возможно сформировать первоначальное представление о вероятности и научить решать комбинаторные задачи учащихся 5-6 классов, используя методы проблемного обучения, занимательные задачи, задачи, содержащие жизненные ситуации и тем самым повысить показатель логической памяти и гибкости мышления у учащихся 5-6 классов.

 

 

Заключение

Исследуя тему «Методика обучения решению комбинаторных задач и формирование первичного представления о вероятности» проанализировали научно-методическую литературу, выявили уровень логического мышления учащихся 5-6 классов основной школы. Так же изучили психологические особенности учащихся 5-6 классов основной школы, изучили методику ознакомления учащихся с задачами на комбинаторику. Разработаны фрагменты уроков.

Цель исследования выполнена – изучили методику обучения решению комбинаторных задач и задач на вероятность в 5-6 классах основной школы.

Гипотеза, положенная в основу исследования подтверждается – возможно сформировать первоначальное представление о вероятности и научить решать комбинаторные задачи учащихся 5-6 классов, используя методы проблемного обучения, занимательные задачи.

 

 

Библиография

1. Бардиер Г.Л. «Тонкости психологической помощи детям», Издательство Генезис, М., 2002.

2. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика. Пособие для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 2002.

3. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Основы статистики и вероятность. 5-9 кл.: Пособие для общеобразовательных учреждений – М.: Дрофа, 2004.

4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учебное пособие для студ.втузов – 5 изд., испр. – М.: Издательский центр «Академия», 2003.

5. Выготский Л.С. Воображение и творчество в детском возрасте. Спб.: Союз, 1997.

6. Дорофеев Г.В. Петерсон А.Г. Математика. 5-й класс. Часть 1: Учеб. для общеобразоват. учеб.заведений. – М.: издательство «Ювента», 2002.

7. Дорофеев Г.В. Петерсон А.Г. Математика. 5-й класс. Часть 2: Учеб. для общеобразоват. учеб.заведений. – М.: издательство «Ювента», 2002.

8. Дорофеев Г.В. Петерсон А.Г. Математика. 6-й класс. Часть 1: Учеб. для общеобразоват. учеб.заведений. – М.: издательство «Ювента», 2002.

9. Дорофеев Г.В. Петерсон А.Г. Математика. 6-й класс. Часть 2: Учеб. для общеобразоват. учеб.заведений. – М.: издательство «Ювента», 2002.

10. Дорофеев Г.В. Петерсон А.Г. Математика. 6-й класс. Часть 3: Учеб. для общеобразоват. учеб.заведений. – М.: издательство «Ювента», 2002.

11. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Шарыгин И.Ф. и др. Математика. 6-й класс: Учеб. для общеобразоват. учеб.заведений - М.: Дрофа, 1997.

12. Дорофеев Г.В.Математика. 6-й класс: Рабочая тетрадь: К учебнику под редакцией Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина "Математика 6". - М.: Дрофа, 1998.

13. Крутецкий В.А. Психология: Учеб. для учащ. пед. училищ – М.: Просвещение, 1986.

14. Крылов И.А. Басни. – М.: Просвещение, 1985.

15. Локалова Н.П. «Уроки психологического развития в средней школе (5-6 классы), издат. Ось, М., 1989.

16. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений/ под редакцией Теляковского С.А. – М., «Просвещение», 2003.

17. Немов Р.С. Психология. Учеб. для студ.высш.пед.учеб.заведений – в 2 кн. Кн.1. общие основы психологии. – М.: Просвещение: Владос, 1994.

18. Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К. Лучшие задачи на смекалку. – М.: Научно-технический центр "Университетский": АСТ-ПРЕСС, 1999.

19. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Арифметика 5-й класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений – Издат. Отдел УНЦ ДО МГУ, 1997

20. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Арифметика 6-й класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений – Издат. Отдел УНЦ ДО МГУ, 1997

21. Оганесян В.А. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Санинский В.Я. Методика преподавания математики в средней школе/ Общая методика. Учебное пособие для студ. физ.-мат.фак.пед. институтов – М.: Просвещение, 1980.

22. Петровский А.В. Практические занятия по психологии. – М., 1972

23. Савельев Л.Я. Комбинаторика и вероятность. – Новосибирск, Наука, 1975.

24. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика - М.: Педагогика-Пресс, 1997.

25. Свешникова А.А. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций – М., Наука, 1965.

26. Стойлова Л.П. Математика: Учеб. пособие для студ. сред. пед. учеб. заведений – М.: Издательский центр «Академия», 1998

27. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика. – М.: МЦНМО: АО «Московские учебники», 2004.

28. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика. – 2-е изд., переработанное. – М.: МЦНМО: АО «Московские учебники», 2008.

29. Фадеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский И.Ф. Элементы высшей математики для школьников. - М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1987.

30. Журнал «Математика в школе» №9, 2001

31. Журнал «Математика в школе» №5, 2003

32. Журнал «Математика в школе» №6, 2003

33. Журнал «Математика в школе» №5, 2004

34. Журнал «Математика в школе» №6, 2004

35. Журнал «Математика в школе» №7, 2004.

 

 

Приложения

Приложение 1