Развитие логического мышления школьников средствами математики

В последнее время много говорится о преемственности в обучении между начальной и средней школой. Этот вопрос стал так остро потому, что наблюдается значительное снижение успеваемости при переходе учащихся в среднее звено, растет нежелание посещать школу, угасает интерес к учебе. Причин тому много, например: увеличение учебной нагрузки, трудности в адаптации к новым условиям обучения, физиологические особенности и изменения в психике ребенка и т.д. Считается, что складывающаяся к 11 годам система мыслительных операций подготавливает почву для формирования научных понятий, и на последнем этапе интеллектуального развития, т.е. периоде формальных операций, подросток освобождается от конкретной привязанности к объектам, и тем самым приобретает возможность мыслить так же, как взрослый человек. Он рассматривает суждения, как гипотезы, из которых можно вывести всевозможные следствия; его мышление становится гипотетико-дедуктивным. Согласно Пиаже эта стадия заканчивается к 14-15 годам.

Школа обязана строить обучение таким образом, чтобы шло интенсивное развитие различных качеств ребенка, в частности, его логического мышления. В 5-6 классах этому наиболее полно соответствует математика. При этом считается, что «левополушарные» формально-логические компоненты мышления организуют любой знаковый материал таким образом, что создается строго упорядоченный и однозначно понимаемый контекст, необходимый для успешного общения между людьми. Это могут быть не только слова, но и другие символы, знаки и даже образы, то есть когда из всех реальных и потенциальных связей между предметами и явлениями выбирается несколько определенных, не создающих противоречий и укладывающихся в данный контекст.

По некоторым данным, созревание правого полушария идет более быстрыми темпами, чем левого, и поэтому в ранний период развития его вклад в обеспечение психологического функционирования превышает вклад левого полушария, даже утверждается, что до 9—10 лет ребенок является правополушарным существом. Такая оценка не лишена некоторых оснований, поскольку соотносится с определенными особенностями психического развития детей в дошкольном, а отчасти и в младшем школьном возрасте.

В возрасте 10-11 лет происходят изменения в головном мозге, более быстрыми темпами начинает развиваться левое полушарие. Это обстоятельство и должно учитываться при обучении математике, как науке особым образом развивающей логическое мышление. В этом процессе ребенок все чаще начинает мыслить не только образами, но у него появляется возможность к абстрагированию. Именно отсюда при обучении младших подростков математике следует учитывать возрастную ассимитрию полушарий головного мозга. В частности, использовать моделирование учебных задач, проигрывание их на уроке, накопление образов, связанных с собственным сопереживанием той или иной учебной задаче.

Остановимся на некоторых особенностях содержания учебного материала в 5-6 классах. Многие темы не соответствуют уровню формирования логического мышления детей этого возраста, но большинство учителей математики считают обратное.

Содержание вопроса комбинаторики и теории вероятности в учебной литературе

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ

ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

ПО МАТЕМАТИКЕ

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ

Элементы логики, комбинаторики, статистики

и теории вероятностей

Доказательство. Определения, доказательство, аксиомы и теоремы, следствия.

Необходимые и достаточные условия. Контрпример. Доказательство от противного. Прямая и обратная теоремы.

Понятие об аксиоматике и аксиоматическом построении геометрических решений. Пятый постулат Евклида и его история.

Множества и комбинаторика. Множество. Элемент множества, подмножество. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера.

Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения.

Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результаты измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки. Понятие и примеры случайных событий.

Вероятность. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

На рубеже третьего тысячелетия становится очевидной универсальность вероятностно-статистических законов, они стали основой описания научной картины мира. И ребенок в своей жизни ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями, ведь игра и азарт составляют существенную часть его жизни. Круг вопросов, связанных с осознанием соотношения понятий вероятности и достоверности, проблемой выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценкой степени риска и шансов на успех, представлением о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных коллизиях – все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов становления и развития личности.

Подготовку человека к таким проблемам и осуществляет школьный курс математики. Принципиальные решения о включении вероятностно-статистического материала как равноправной составляющей обязательного школьного математического образования приняты ныне и в нашей стране. Все перспективные государственные образовательные документы последних лет содержат вероятностно-статистическую линию в курсе математики 5-9 классов наравне с такими привычными линиями, как «Числа», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрические фигуры». Продолжение изучения этой линии предполагается в старших классах.

Современные стандарты и программы математического образования в основной школе предполагают пропедевтику основных понятий, знакомство на наглядном, интуитивном уровне с вероятностно-статистическими закономерностями в 5-6 классах, определение основных понятий, построение и изучение базовых вероятностно-статистических моделей – в 7-9 классах.

Первые учебники, в которых последовательно с 5 по 9 класс проводится вероятностно-статистическая линия, органично связанная с другими темами курса - это новый учебный комплект «Математика 5-6» по ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, «Математика 7-9» под ред. Г.В. Дорофеева. в этих учебных комплектах принят статистический подход к понятию вероятности, который методически и психологически соответствует возрастным особенностям учеников основной школы.

Следует отметить, что наиболее подходит для реализации оптимального обучения школьников 10-11 лет математике учебный комплект под редакцией Г.В Дорофеева, а также комплект «Арифметика 5-6 класс» под редакцией С.М. Никольского. Был проведен сравнительный анализ обучения школьников 5-6 классов решению комбинаторных задач, обучающихся с помощью учебника С.М. Никольского и с помощью учебника Г.В. Дорофеева. Дети, наученные составлять дерево возможных вариантов, более осмысленно решали предложенные задачи, отсекая, если нужно, повторяющиеся комбинации. Так, решение задачи, с применением специальных методов, привело к правильному ответу на 37% учащихся больше, чем решение простым перебором.

Сохранение интереса к изучению математики при использовании новых комплектов учебников обеспечивается не только через дополнительные темы, но и через достаточное количество занимательных задач.

Занимательные задачи — инструмент для развития мышления, ведущего к формированию творческой деятельности школьника. К таким задачам относятся задачи «на соображение», «на догадку», головоломки, нестандартные задачи, логические задачи, творческие задачи. Например, задача 6-го класса: Восемь подружек решили обменяться фотографиями так, чтобы у каждой из них оказались фотографии остальных подруг. Сколько фотографий для этого потребуется.

Занимательный материал многообразен, но его объединяет следующее:
1. способ решения занимательных задач не известен;

2. занимательные задачи способствуют поддержанию интереса к предмету.    Для решения занимательных задач характерен процесс поисковых проб. Появление догадки свидетельствует о развитии у детей таких качеств умственной деятельности как смекалка и сообразительность. Смекалка – это особый вид проявления творчества. Она выражается в результате анализа, сравнений, обобщений, установления связей, аналогий, выводов, умозаключений.

Систематизированный набор нестандартных задач применяется по индивидуальному плану учителя на уроках и во внеурочной работе. Конкретно можно рассмотреть некоторые темы: 5 класс, тема «Перебор возможных вариантов», в которой начинается изучение новой содержательной линии «Анализ данных»; 6 класс, тема «Вероятность события». Представлены характерные для комбинаторики задачи на размещения, сочетания, перестановки, но сами термины и формулы не рассматриваются. Предлагается более доступный детям данного возраста метод решения - построение дерева.