Дополнительные упражнения

84. Сколько существует четырехзначных чисел, кратных 10, если цифры в числах могут повторяться?

85. Пешеход должен пройти один квартал на север и три квартала на запад. Выпишите все возможные маршруты пешехода.

86. Выпишите все пятизначные числа, записанные тремя четверками и двумя единицами.

87. Из цифр 1, 2, 3, 5 составили все возможные четырехзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких цифр, которые больше 2000, но меньше 5000?

88. Сколько четных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно записать с помощью цифр:

а) 1, 2, 3, 7;              б) 1, 2, 3, 4?

89. Делится ли число 50! на:

а) 100;   б) 305;   в) 1550?

90. Найдите наименьшее значение п, при котором число п! оканчивается:

а) одним нулем; б) двумя нулями;              в) тремя нулями.

91. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составили все возможные трехзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких, которые:

а) кратны 2;             б) кратны 3?

92. Сократите дробь:

а) ; б) ;       в)

93. Решите уравнение:

а) ;           б) .

94. Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно выбрать:

а) двух дежурных;  б) старосту и помощника старосты?

95. У Антона шесть друзей. Он может пригласить в гости одного или нескольких из них. Определите общее число возможных вариантов.

96. Сколько команд участвовало в финале первенства, если известно, что каждая команда сыграла с каждой из остальных по одной игре на своем поле и по одной игре на своем поле и по одной игре на поле соперника, причем всего было сыграно 30 игр?

97. Сколькими способами четыре пассажира: Алексеев, Смирнов, Федоров и Харитонов – могут разместиться в девяти вагонах поезда, если:

а) все они хотят ехать в разных вагонах;

б) Алексеев и Смирнов хотят ехать в одном вагоне, а Смирнов и Харитонов в других вагонах, причем различных?

98. В 9 «А» классе учатся 25 учащихся, в 9 «Б» - 20 учащихся, а в 9 «В» - 18 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить трех учащихся из 9 «А», двух – из 9 «Б» и одного – из 9 «В». Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке?

99. Из группы туристов требуется выбрать дежурного и его помощника. Если туристов было бы на одного больше, то возможностей выбора было бы в 1,25 раза больше. Сколько туристов в группе?

100. Сколькими способами группу из 12 человек можно разбить на две группы:

а) по 4 и 8 человек; б) по 5 и 7 человек?

101. В отделе работают 5 ведущих и 8 старших научных сотрудников. В командировку надо послать двух ведущих и трех старших научных сотрудников. Сколькими способами может быть сделан выбор сотрудников, которых надо послать в командировку?

102. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составили все возможные трехзначные числа (с повторением цифр) сколько среди них таких, сумма цифр которых равна:

а) 3; б) 4;        в) 6?

103. Из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 составили все возможные трехзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких, сумма цифр которых равна:

а) 6; б) 9?

104. Найдите значение выражения:

а) ; б) ;       в) .

105. Сколько надо взять элементов, чтобы число размещений из них по 4 было в 12 раз больше, чем число размещений из них по 2?

106. Число размещений из п элементов по 4 в 14 раз больше числа размещений из п – 2 элементов по 3. Найдите п.

107. Решите уравнение:

а)

б)

в)

г)

108. Школьники из Волгограда собрались на каникулы поехать в Москву, посетив по дороге Нижний Новгород. Из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе или поезде, а из Нижнего Новгорода в Москву на самолете, теплоходе или автобусе. Сколькими различными способами ребята могут осуществить свое путешествие? Назовите все возможные варианты этого путешествия.

109. Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры 3, 4, 5 и 6? Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя при записи числа каждую из указанных цифр только один раз? Запишите эти числа.

110. Сколько трехзначных чисел можно составить из трех различных, не равных нулю цифр? Зависит ли результат от того, какие цифры будут взяты? Укажите какой-нибудь способ перебора трехзначных чисел, при котором ни одно число не может быть пропущено.

111. Сколько всевозможных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4 так, чтобы цифры в записи числа не повторялись? Изменится ли решение этой задачи, если вместо цифры 4 будет дана цифра 0?

112. Сколько всевозможных четырехзначных чисел можно составить, используя для записи цифры 1, 2, 3 и 4? Какова разность между самым большим и самым маленьким из них?

113. Сколько пятизначных чисел, первые (слева) три цифры которых 2, 3 и 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5? Изменится ли ответ этой задачи, если цифры числа не будут повторяться?

114. Из цифр 0, 1, 2, 3,4 составляют всевозможные пятизначные числа, причем так, что в записи данного числа содержатся все данные цифры. Сколько можно составить таких чисел? Чему будет равна разность между наименьшим и наибольшим из полученных чисел?

115. Сколько натуральных чисел, меньших 1000, можно записать, используя цифры 7, 4 и 5? Сколько среди них четных? Нечетных? Кратных 5?

Размещения и сочетания

116. Покажите, что в нижеприведенных задачах рассматриваются размещения из n элементов по k; определите значения n и k и найдите число размещений:

а) Из 20 учащихся класса надо выбрать старосту, его заместителя и редактора газеты. Сколькими способами это можно сделать?

б) В классе изучаются 7 предметов. В среду 4 урока, причем все разные. Сколькими способами можно составить расписание на среду?

в) В соревновании участвуют 10 человек. Сколькими способами могут распределиться между ними места?

г) Сколько всевозможных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 3, 4, 5 и 6?

117. Покажите, что в нижеприведенных задачах рассматриваются сочетания из n элементов по k; определите значения n и k и найдите число  для каждой задачи:

а) Сколькими способами можно выбрать из 6 человек комиссию, состоящую из трех человек?

б) Сколькими способами можно выбрать 4 краски из 10 различных красок?

118. Два человека обменялись своими фотокарточками. Сколько было фотокарточек?

119. Два человека пожали друг другу руки. Сколько было рукопожатий? А если 15 человек пожали друг другу руки, то, сколько будет рукопожатий?

120. Сколькими способами можно расставить на полке 3 различные книги?

121. 15 человек сыграли друг с другом по одной партии в шахматы по одной партии. Сколько было сыграно партий?

122. На плоскости отметили 7 точек. Каждые две точки соединили отрезком. Сколько получилось отрезков?

123. Решите следующие задачи, используя формулы. Ответ проверьте с помощью перебора всех возможных вариантов:

а) Сколько словарей необходимо переводчику, чтобы он мог переводить непосредственно с любого из четырех языков – русского, английского, немецкого и французского на любой другой из этих языков?

б) Государственные флаги некоторых стран состоят из трех горизонтальных полос разного цвета. Сколько различных вариантов флагов с белой, синей и красной полосами можно составить?

в) Мальчик выбрал в библиотеке 5 книг. По правилам библиотеки одновременно можно взять только две книги. Сколько у мальчика вариантов выбора двух книг из пяти?

г) четыре друга собрались на футбольный матч. Но им удалось купить только три билета. Из скольких вариантов им надо выбрать тройку счастливцев? Как осуществить выбор, чтобы у всех ребят были равные шансы попасть на матч?

д) В классе три человека хорошо поют, двое других играют на гитаре, а еще один умеет показывать фокусы. Скольким способами можно осуществить концертную бригаду из певца, гитариста и фокусника?

е) Задача Леонарда Эйлера. Трое господ при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Сколько существуют вариантов, при которых каждый из них получит чужую шляпу?

ж) Имеется ткань двух цветов: голубая и зеленая, и требуется обить диван, кресло и стул. Сколько существует различных вариантов обивки этой мебели?

124. Аня, Боря, Вера и Гена – лучшие лыжники школы. На соревнования надо выбрать троих из них. Сколькими способами это можно сделать?

125. Круг разделили на две части и решили раскрасить их карандашами разных цветов. Сколькими способами можно это сделать, если имеются красный, синий и зеленый карандаши?

126. При изготовлении авторучки корпус и колпачок могут иметь одинаковый или разный цвет. На фабрике есть пластмасса четырех цветов: белого, красного, синего и зеленого. Какие отличающиеся по цвету ручки можно изготовить?

127. На прямой взяли 4 точки. Сколько всего получилось отрезков, концами которых являются эти точки?

128. За свои рисунки ученик получил две положительные отметки. Какими они могут быть?

129. В соревнованиях участвуют 5 футбольных команд. Каждая команда играет один раз с каждой из остальных команд. Сколько матчей будет сыграно?

 

Приложение 2

Таблица 1. Виды событий:

1	Равновозможные
2	Маловероятные
3	Более вероятные
4	Достоверные
5	Невозможные

 

Таблица 2. Варианты падения спичечного коробка:

Плашмя	На ребро	На попá

 

Таблица 3. Варианты падения монеты:

ОРЕЛ	РЕШКА

 

Таблица 5. Результаты эксперимента:

коробок			монета		игральный кубик
плашмя	на ребро	на попа	орел	решка	1	2	3	4	5	6

 

Приложение 3.

Рисунок 1. Древо составления трехзначных чисел из цифр 1, 2, 3 без повторения.

1		2		3
2	3	1	3	1	2
3	2	3	1	2	1

 

Рисунок 2.

 

 

Приложение 4

 

Диаграмма 1. Сравнение показателей гибкости мышления.

Диаграмма 2. Сравнение показателей развития логической памяти.

Диаграмма 3. Сравнение показателей выбора и решения учащимися задач.