Перечень условных обозначений

Оглавление

Введение

Перечень условных обозначений

Основные понятия

Изометрии

Проективные преобразования

Структурные теоремы. Порядки симплектических групп

Центры

Коммутанты

Теоремы о простоте

Основные результаты

Заключение

Список использованных источников

 

Введение

 

Говорят, что конечная группа  допускает факторизацию, если  для некоторых подгрупп  и  группы . При этом возникают две задачи: какие факторизации допускает заданная группа  и как строение сомножителей  и  влияет на строение самой группы . Естественно, что изучение конечных групп, обладающих факторизацией, дает возможность глубже понять строение конечной группы. Данная тематика изучалась такими видными математиками как Ф. Холл, С.А. Чунихин, Х. Виландт, Л.С. Казарин, Д.И. Зайцев, С.А. Сыскин и др. Ими был доказан ряд глубоких результатов в теории конечных групп. Аналогичные задачи возникают и в других разделах математики (например, в алгебрах Ли).

После завершения классификации конечных простых неабелевых групп актуальной стала задача получения факторизаций конкретных простых неабелевых групп и, в частности, простых групп лиевского типа малого лиевского ранга. Данные вопросы рассматривались Н. Ито, который получил все факторизации линейных групп лиевского ранга 1 над конечным полем Галуа, а также С. Блаумом, описавшим факторизации линейных и унитарных групп размерности 3.

В дипломной работе рассмотрены факторизации четырехмерных симплектических групп. Для таких групп найдены все максимальные факторизации.

 

Перечень условных обозначений

В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Буквами  обозначаются простые числа.

Будем различать знак включения множеств  и знак строгого включения ;

 и  - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

 - мощность множества ;

 - пустое множество;

 - множество всех простых чисел;

 - некоторое множество простых чисел, т.е. ;

 - дополнение к  во множестве всех простых чисел; в частности, ;

Пусть  - группа. Тогда:

 - порядок группы ;

 - порядок элемента  группы ;

 - единичный элемент и единичная подгруппа группы ;

 - множество всех простых делителей порядка группы ;

 - множество всех различных простых делителей натурального числа ;

-группа - группа , для которой ;

-группа - группа , для которой ;

 - подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп ;

 - наибольшая нормальная разрешимая подгруппа группы ;

 - наибольшая нормальная --подгруппа группы ;

 - наибольшая нормальная --подгруппа группы ;

 - --холловская подгруппа группы ;

 - силовская --подгруппа группы ;

 - дополнение к силовской --подгруппе в группе , т.е. --холловская подгруппа группы ;

 -  является подгруппой группы ;

 -  является собственной подгруппой группы ;

 -  является максимальной подгруппой группы ;

 -  является нормальной подгруппой группы ;

 -  является минимальной нормальной подгруппой группы ;

 - индекс подгруппы  в группе ;

;

 - централизатор подгруппы  в группе ;

 - нормализатор подгруппы  в группе ;

 - центр группы ;

 - циклическая группа порядка ;

Если , то .

Если , , то .

Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

 - класс всех сверхразрешимых групп;

 - класс всех разрешимых групп.

 

Основные понятия

 

Группой называется непустое множество  с бинарной алгебраической операцией (умножением), которая удовлетворяет следующим требованием:

1) операция определена на , т.е.  для всех ;

2) операция ассоциативна, т.е.  для любых ;

3) в  существует единичный элемент , т.е. такой элемент , что  для всех , что  для всех ;

4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого  существует такой элемент , что .

Более кратко: полугруппа с единицей, в которой каждый элемент обладает обратным, называется группой.

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой. Если  - конечное множество, являющиеся группой, то  называют конечной группой, а число  элементов в  - порядком группы .

Подмножество  группы  называется подгруппой, если  - группа относительно той же операции, которая определена на . Запись  означает, что  - подгруппа группы , а  - что  - собственная подгруппа группы , т.е.  и .

Теорема  Непустое подмножество  группы  будет подгруппой тогда и только тогда, когда  и  для всех .

Пусть  - непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества  в группе  и обозначается через .

Лемма  1. Если  - подмножество группы , то централизатор  является подгруппой.

2. Если  и  - подмножество группы  и , то .

3. Если  - подмножество группы  и , то .

Центром группы  называется совокупность всех элементов из , перестановочных с каждым элементом группы. Центр обозначается через . Ясно, что , т.е. центр группы  совпадает с централизатором подмножества  в группе . Кроме того, .

Зафиксируем в группе  элемент . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначим через .

Теорема  Циклическая подгрупппа , порожденная элементом , состоит из всевозможных целых степеней элемента , т.е. .

Следствие  Циклическая подгруппа абелева.

Пусть  - элемент группы . Если все степени элемента  различны, т.е.  для всех целых , то говорят, что элемента  имеет бесконечный порядок.

Если  - непустое подмножество группы  и  то  и . Элемент  называется перестановочным с подмножеством , если . Равенство  означает, что для любого элемента  существует такой элемент , что . Если элемент  перестановочен с подмножеством , то  и . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством , называется нормализатором подмножества  в группе  и обозначается через . Итак,

 

 

Лемма Пусть  - непустое подмножество группы ,  - произвольный элемент группы . Тогда:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) если  - подгруппа группы , то .

Подгруппа  называется нормальной подгруппой группы , если  для всех . Запись  читается: "  - нормальная подгруппа группы ". Равенство  означает, что для любого элемента  существует элемент  такой, что .

Теорема  Для подгруппы  группы  следующие утверждения эквивалентны:

1)  - нормальная подгруппа;

2) подгруппа  вместе с каждым своим элементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е.  для всех ;

3) подгруппа  совпадает с каждой своей сопряженной подгруппой, т.е.  для всех .

Лемма  Пусть  - подгруппа группы . Тогда:

1) ;

2) если  и , то ;

3)  - наибольшая подгруппа группы , в которой  нормальна;

4) если , то . Обратно, если , то ;

5)  для любого непустого подмножества  группы .

В каждой группе  тривиальные подгруппы (единичная подгруппа  и сама группа ) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе  нет других нормальных подгрупп, то группа  называется простой. Единичную группу  считают непростой.

 

Изометрии