Проективные преобразования

Геометрическое преобразование  абстрактного векторного пространства  на абстрактное векторное пространство  - это биекция  со следующим свойством: подмножество  пространства  тогда и только тогда является подпространством в , когда  - подпространство в .

Очевидно, что композиция геометрических преобразований - геометрическое преобразование и преобразование, обратное к геометрическому, - также геометрическое. Геометрическое преобразование сохраняет включение, объединение и пересечение подпространств, а также ряды Жордана -- Гёльдера, поэтому справедливо следующее предложение.

Предложение  Если  - геометрическое преобразование пространства  на , то для любых подпространств ,  пространства  выполняются соотношения

Под проективным пространством  пространства  мы будем понимать множество всех подпространств пространства . Таким образом,  состоит из элементов множества , являющихся подпространствами в ;  - это частично упорядоченное множество, отношение порядка в котором индуцируется теоретико-множественным включением в . Любые два элемента  и  из  имеют объединение и пересечение, а именно  и , так что  - решетка; она имеет наибольший элемент  и наименьший элемент . Каждому элементу  пространства  сопоставляется число . Каждое  из  обладает рядом Жордана -- Гёльдера , и все такие ряды имеют длину . Положим

и назовем , ,  множествами прямых, плоскостей и гиперплоскостей пространства  соответственно.

Проективность  пространства  на  - это биекция  со следующим свойством: для любых ,  из  включение  имеет место тогда и только тогда, когда .

Очевидно, что композиция проективностей - проективность и отображение, обратное к проективности, - также проективность. Проективность пространства  на  сохраняет порядок, объединения, пересечения и ряды Жордана -- Гёльдера для элементов пространств  и , поэтому справедливо следующее предложение.

Предложение  Если  - проективность пространства  на , то для любых элементов ,  из  выполняются соотношения

В частности,  отображает  на  и определяется своими значениями на , т. е. на прямых.

Если  - геометрическое преобразование, то отображение , полученное из  сужением, является проективностью пространства  на . Всякая проективность , имеющая вид  для некоторого такого , будет называться проективным геометрическим преобразованием пространства  на . Черту мы будем всегда использовать для обозначения проективного геометрического преобразования , полученного описанным способом из геометрического преобразования . Таким образом,  переводит подпространство  пространства , т.е. точку  из , в подпространство  пространства . Имеем

В частности, композиция проективных геометрических преобразований и преобразование, обратное к проективному геометрическому, сами являются проективными геометрическими.

Геометрическое преобразование пространства  есть по определению геометрическое преобразование пространства  на себя. Множество геометрических преобразований пространства  является подгруппой группы подстановок множества . Она будет обозначаться через  и называться общей геометрической группой пространства . Под группой геометрических преобразований пространства  мы будем понимать произвольную подгруппу группы . Общая линейная группа  и специальная линейная группа  являются, следовательно, группами геометрических преобразований. Под группой линейных преобразований будем понимать любую подгруппу группы .

 Проективность пространства  есть по определению проективность этого пространства на себя. Множество проективностей пространства  - подгруппа группы подстановок множества , которую мы будем называть общей группой проективностей пространства . Применение черты индуцирует гомоморфизм

Иногда мы будем использовать  вместо , полагая

для образа  подмножества  из  при . В частности,  и  - подгруппы группы проективностей пространства , они называются проективной общей линейной группой и проективной специальной линейной группой пространства . Было доказано, что  совпадает с группой всех проективностей пространства , поэтому мы используем это обозначение для обеих групп. Под группой проективностей пространства  будем понимать любую подгруппу группы , а под проективной группой линейных преобразований пространства  - любую подгруппу группы .

Для каждого ненулевого элемента  из  определим линейное преобразование , полагая

Ясно, что . Преобразование  из  вида  для некоторого  будем называть растяжением пространства . Множество растяжений пространства  является нормальной подгруппой группы , которая будет обозначаться через . Очевидно, имеет место изоморфизм . Имеют место следующие два предложения.

Предложение  Элемент  группы  тогда и только тогда принадлежит группе , когда  для всех прямых  из . В частности,

и

Предложение  Централизатор в  любого элемента из , не являющегося растяжением, абелев.

Пусть теперь  - регулярное знакопеременное пространство. Тогда  будет, конечно, группой геометрических преобразований пространства . Под группой симплектических преобразований знакопеременного пространства  мы будем понимать произвольную подгруппу из . Группа , получаемая из  применением гомоморфизма , называется проективной симплектической группой знакопеременного пространства . Под проективной группой симплектических преобразований пространства  будем понимать любую подгруппу группы .

Предложение  Если  - ненулевое регулярное знакопеременное пространство, то

Доказательство является легким упражнением и потому опускается.

Предложение  Если  - регулярное знакопеременное пространство и , то .

Доказательство. Взяв симплектическую базу пространства , с помощью без труда убеждаемся, что элемент  из  тогда и только тогда лежит в , когда .

Полярностью абстрактного векторного пространства  над полем  называется биекция , , такая, что

1) ,

2)

для всех ,  из . Если  - регулярное знакопеременное пространство над , то, очевидно,  - полярность; она называется полярностью, определенной знакопеременной формой , имеющейся на .

Предложение  Пусть  - абстрактное векторное пространство над полем  и . Предположим, что  - регулярное знакопеременное пространство относительно каждой из двух знакопеременных форм  и . Формы  и  тогда и только тогда определяют одну и ту же полярность, когда найдется такой ненулевой элемент  из , что .

Доказательство. Если , то утверждение очевидно. Остается доказать обратное утверждение. Так как  регулярно относительно  и , то ввиду и ассоциированные линейные отображения  и  биективны, т. е.  и . Из и предположения о том, что  и  определяют одну и ту же полярность, следует, что  для всех подпространств  из . Следовательно,  - элемент группы , относительно которого инвариантны все подпространства из , В частности, относительно него инвариантны все прямые из . Значит, ввиду . Другими словами, найдется такой ненулевой элемент  из , что  для всех  из . Но тогда  для всех  из . Поэтому .