Знакопеременные пространства

Векторное пространство  над полем  называется знакопеременным, если на нем задана знакопеременная билинейная форма , т. е. отображение  со следующими свойствами:

 

 

для всех , ,  из  и всех  из . Отметим следствие этих соотношений:

 

 

Если  - знакопеременная форма и  - произвольный элемент из , то отображение , определенное формулой , также знакопеременно, и сложный объект, являющийся исходным векторным пространством  с этой новой формой , будет знакопеременным пространством, которое мы обозначим через .

Представление знакопеременного пространства  в знакопеременное пространство  (оба над полем  и с формами, обозначаемыми через ) есть по определению линейное преобразование  пространства  в , такое, что  для всех , . Инъективное представление называется изометрией  в . Пространства  и  называются изометричными, если существует изометрия  на . Пусть  обозначает представление,  - изометрию ``в'', а  или  - изометрию ``на''. Очевидно, что композиция двух изометрии - изометрия и преобразование, обратное к изометрии, - также изометрия. В частности, множество изометрий пространства  на себя является подгруппой общей линейной группы  абстрактного векторного пространства ; она называется симплектической группой знакопеременного пространства  и обозначается через . Для любого ненулевого элемента  из  имеем .

Предложение  Пусть  - линейное преобразование знакопеременного пространства  в знакопеременное пространство . Предположим, что существует база  пространства , такая, что  для всех , . Тогда -- представление.

Доказательство. Это тривиально следует из определений.

Каждому знакопеременному пространству  со знакопеременной формой  сопоставим отображения  и  пространства  в сопряженное пространство  (  рассматривается как абстрактное векторное пространство над ). По определению отображение  сопоставляет произвольному элементу  из  линейный функционал , определенный формулой , а  переводит  в . Легко проверяется, что  и  являются линейными преобразованиями.

 - матрица  над  называется кососимметрической, если , и знакопеременной, если  и на главной диагонали стоят нули. Таким образом, знакопеременные матрицы являются кососимметрическими. Обратно, кососимметрические матрицы являются знакопеременными, если характеристика поля  не равна . Рассмотрим знакопеременное пространство . Мы можем ассоциировать с базой  пространства  матрицу, у которой на месте  стоит . Назовем  матрицей знакопеременного пространства  в базе  и будем писать

 

Если существует хотя бы одна база, в которой  имеет матрицу , то будем писать . Матрица , ассоциированная со знакопеременным пространством  указанным способом, является, очевидно, знакопеременной. Что происходит при изменении базы? Предположим, что  в базе  и  - матрица перехода от первой базы ко второй, т. е.

 

 

Тогда

 

 

откуда видно, что изменение матрицы пространства  при изменении базы описывается соотношением .

Если  - абстрактное векторное пространство с базой  и  - произвольная знакопеременная -матрица над , то существует единственный способ превратить  в знакопеременное пространство, такое, что  в , а именно, положить

 

 

где  - элемент, стоящий в матрице  на месте .

Предложение Предположим, что  - знакопеременное пространство,  - его база и  в . Тогда матричный изоморфизм, определенный базой , отображает  на группу всех обратимых -матриц  над , удовлетворяющих соотношению

 

 

Дискриминантом  векторов  в знакопеременном пространстве  называется определитель

 

 

В частности, если  - база пространства  и  в этой базе, то

 

 

Если  - другая база, то соотношение  показывает, что

 

 

для некоторого  из . Следовательно, канонический образ элемента  в  не зависит от базы; он называется дискриминантом знакопеременного пространства  и обозначается через . Здесь множество  определяется очевидным образом: берем факторгруппу , присоединяем к ней нуль 0 и полагаем, что произведение нуля и любого другого элемента равно нулю. Запись , где , будет обозначать, что  равно каноническому образу элемента  в  или, другими словами, что  обладает базой , для которой . Если , то полагаем .

Пример Рассмотрим знакопеременное пространство  со знакопеременной формой . Пусть  - его база, а  - сопряженная база сопряженного пространства . Пусть  в . Тогда . Легко видеть, что матрица линейного преобразования , определенного ранее, относительно баз  и  равна ; действительно, если , то

 

 

Аналогично матрица преобразования  относительно баз  и  равна .

Предложение  Любые  векторов  знакопеременного пространства , такие, что , линейно независимы.

Доказательство. Зависимость  влечет за собой  для . Это означает зависимость между строками матрицы , что невозможно, так как дискриминант не равен 0.

Предложение Следующие утверждения для знакопеременного пространства  равносильны:

 • ,

 • ,

 • ,

 •  биективно,

 •  биективно.

Доказательство. Можно считать, что . Зафиксируем базу  пространства , и пусть  - сопряженная база. Пусть  в . Ввиду

 

	обратима
	биективно,

поэтому (3) равносильно (5). Аналогично (3) равносильно (4). Далее

 

биективно
	,

 

так что (5) равносильно (2). Наконец, очевидно, что (2) равносильно (1).

Определение Знакопеременное пространство  называется регулярным, если оно удовлетворяет одному из пяти равносильных условий . Знакопеременное пространство  называется вырожденным, если оно не является регулярным. Наконец, оно называется вполне вырожденным, если .

Если , то  регулярно. Если , то ввиду и

 

 

Предложение  Пусть  - представление знакопеременных пространств. Если  регулярно, то  - изометрия.

Доказательство. Возьмем  из ядра представления . Тогда . Отсюда ввиду регулярности пространства  получаем, что .

Предложение Каждой базе  регулярного знакопеременного пространства  соответствует единственная база  этого пространства, называемая сопряженной к  относительно  и такая, что  для всех , . Если  в  и  в , то .

Доказательство. 1) Положим  для , где  - сопряженная к  база сопряженного пространства . Тогда  - база, так как  биективно. Кроме того,

 

 

Этим доказано существование базы . Единственность непосредственно следует из регулярности.

2) Пусть . Тогда  и

 

 

Отсюда , так что  и .

Рассмотрим знакопеременное пространство  со знакопеременной формой . Будем говорить, что  имеет ортогональное разложение

 

 

на подпространства  если оно является прямой суммой  с попарно ортогональными , т. е.  при . Назовем  компонентами этого ортогонального разложения. Будем говорить, что подпространство  расщепляет  или что  является компонентой пространства , если существует подпространство  пространства , такое, что . Имеем

 

 

где произведение берется в .

Рассмотрим два знакопеременных пространства  и  над одним и тем же полем  и предположим, что имеется ортогональное разложение , а  - сумма пространств , , причем  при . Пусть для каждого , , задано представление . Тогда, как известно из линейной алгебры, существует единственное линейное преобразование , согласующееся с каждым  на . На самом деле легко проверить, что  - представление. Мы будем записывать его в виде

 

 

Важным является случай, когда ,  для всех  и  для всех ; тогда

 

 

Если дано еще одно такое представление , то

 

 

Рассмотрим знакопеременное пространство  над полем . Под ортогональным дополнением подпространства  пространства  в  понимается подпространство

 

 

совпадающее также с

 

Определим радикал пространства  как подпространство . Очевидно,

 

 

Предложение Пусть  - знакопеременное пространство, являющееся суммой попарно ортогональных подпространств, т. е. , где  при . Тогда

 • ,

 •  регулярно  каждое  регулярно,

 •  регулярно .

Доказательство. (1) Возьмем в  произвольный элемент  и запишем его в виде , . Тогда

 

 

так что , откуда . Обратно, если , где , то

 

 

откуда .

(2) Это следует из (1) и того, что знакопеременное пространство регулярно тогда и только тогда, когда его радикал равен .

(3) Если , , то

 

 

откуда . Следовательно,  и, значит, .

Предложение  Если  - подпространство знакопеременного пространства , то  - аннулятор пространства  в , т. е. . В частности, .

Доказательство непосредственно следует из определений.

Предложение  Пусть  - регулярное подпространство знакопеременного пространства . Тогда  расщепляет , точнее, . Если  - другое расщепление, .

Доказательство. Так как  регулярно, то . Следовательно, ввиду

 

 

Поэтому  и, значит, . Далее, если , то , откуда . Сравнивая размерности, получаем .

Предложение  Если  и  - произвольные подпространства регулярного знакопеременного пространства  размерности , то

 • ,

 • ,

 • ,

 • ,

 • .

Доказательство. Так как  регулярно, то ввиду отображение  биективно. Следовательно, , откуда ввиду . Этим доказано (1). Далее, , поэтому сравнение размерностей дает . Этим доказано (2). Докажем теперь (3):

 

 

Аналогично доказывается (4). Наконец, утверждение (5) тривиально.

Рассмотрим радикал  знакопеременного пространства , и пусть  - подпространство пространства , такое, что . Назовем всякое такое разложение радикальным разложением пространства . Очевидно,  определяется не единственным образом, за исключением случаев, когда  регулярно или вполне вырождено. Из соотношений

 

 

следует равенство , поэтому  регулярно.

Теорема  Если  - регулярное знакопеременное пространство размерности , то

 

 

В частности, регулярное знакопеременное пространство имеет четную размерность и дискриминант . Кроме того, регулярные знакопеременные пространства одинаковой размерности над одним и тем же полем  изометричны.

Доказательство. Ввиду регулярности пространства  существуют векторы  и , удовлетворяющие условию . Так как , то эти векторы должны быть независимыми; поэтому  - плоскость. Очевидно,

 

 

В частности,  регулярно, так как дискриминант отличен от нуля. Следовательно, ввиду . Но  - также регулярное знакопеременное пространство. Первое утверждение следует теперь из соображений индукции. Второе тривиально следует из первого. Для доказательства третьего утверждения применяем . Теорема доказана.

База  регулярного знакопеременного пространства  называется гиперболической, если

 

 

и симплектической, если

 

 

Если

 

 

 - гиперболическая база пространства , то перестановка

 

 

 - симплектическая база, и наоборот. По теореме ненулевое регулярное знакопеременное пространство имеет гиперболическую базу, а потому и симплектическую базу.

Предложение  Пусть  - регулярное знакопеременное пространство,  - вполне вырожденное подпространство и  - база подпространства . Тогда существует регулярное подпространство  пространства  вида , где  - регулярные плоскости и , .

Доказательство. Случай  очевиден. При  применяем индукцию по . Положим  и . Тогда , откуда  ввиду . Выберем  и положим . Тогда , , и, следовательно, . Значит,  - регулярная плоскость, содержащая . В силу можно записать . Тогда , так как