Структурные теоремы. Порядки симплектических групп
Предложение Если поле бесконечно, то группы , над также бесконечны. Доказательство. Число трансвекций из бесконечно. Теорема Порядок группы равен
Порядок группы равен
Доказательство. Второе утверждение следует из первого, так как группа изоморфна группе . Докажем первое утверждение индукцией по . Если , то и можно считать . Под парой будем понимать упорядоченную пару векторов , , такую, что . Если фиксирован, то существует единственная пара , где принадлежит данной прямой, не ортогональной к . Поэтому число пар с на первом месте равно числу прямых, не лежащих в , т. е.
Таким образом, имеется пар с на первом месте, а всего пар. Зафиксируем какую-нибудь пару . По теореме Витта для каждой пары найдется по крайней мере один элемент группы , переводящий в . Следовательно, имеется точно
элементов из , переводящих пару в пару . По предположению индукции это число равно
Далее, каждый элемент группы переводит точно в одну пару. Следовательно, группа содержит
элементов, что и требовалось доказать. Предложение Если , то число максимальных вполне вырожденных подпространств пространства равно
Доказательство. 1) Покажем сначала, что подгруппа группы , оставляющая на месте произвольное максимальное вполне вырожденное подпространство пространства , имеет порядок
Чтобы убедиться в этом, зафиксируем симплектическую базу
пространства , в которой векторы порождают . Из следует, что матрица произвольного преобразования имеет вид
где , а - симметрическая матрица порядка над ; эти и определяются преобразованием однозначно. Кроме того, любые такие и соответствуют некоторому из . Наше утверждение получается теперь, если умножить порядок группы на число симметрических матриц порядка над полем , т. е. . 2) Зафиксируем максимальное вполне вырожденное подпространство пространства . По теореме Витта все максимальные вполне вырожденные подпространства пространства даются формулой , где пробегает группу . Из замечания 1) легко следует, что в этом процессе каждое максимальное вполне вырожденное подпространство повторяется точно
раз, поэтому общее число таких подпространств равно порядку группы , деленному на указанную величину. Очевидно, это и есть требуемое число. Предложение Если , то число регулярных плоскостей в пространстве равно
Доказательство. Поступая, как при доказательстве утверждения , убедимся, что должно содержать
регулярных плоскостей. Это число совпадает с указанным выше (применить теорему ). Предложение Группа изоморфна симметрической группе . Доказательство. Будем называть конфигурацией произвольное подмножество из элементов в -мерном регулярном знакопеременном пространстве над полем , обладающее тем свойством, что любые два его различных элемента не ортогональны. Каждый ненулевой вектор из принадлежит ровно двум конфигурациям и , так что они пересекаются по . Чтобы убедиться в этом, возьмем симплектическую базу пространства , в которой . Ясно, что
и
- две различные конфигурации, пересекающиеся по множеству . Легкая проверка перебором показывает, что других конфигураций, содержащих элемент , нет. Если теперь выписать все различные конфигурации в пространстве , то каждый вектор из появится точно в двух из них, откуда и . Пусть - Множество всех конфигураций в . Если - произвольный элемент из , то тогда и только тогда является конфигурацией, когда - конфигурация, поэтому индуцирует отображение . Ясно, что это отображение на и, значит, перестановка на . Очевидно, что есть гомоморфное отображение . Чтобы найти его ядро, возьмем в элемент . Пусть таков, что . Пусть и - две конфигурации, содержащие . Тогда не принадлежит одной из них, скажем, . Отсюда и . Другими словами, ядро тривиально, и мы имеем инъективный гомоморфизм . По теореме группа состоит из элементов, поэтому .
Центры
Заметим, что группа неабелева. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять нетривиальные проективные трансвекции из с неортогональными вычетными прямыми. Следовательно, группа также неабелева. Предложение Группа имеет тривиальный центр, а . Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент из центра группы . Пусть - произвольная прямая из . Пусть - проективная трансвекция из с вычетной прямой . Тогда вычетной прямой преобразования является . Но , так как лежит в центре. Следовательно, для всех . Поэтому и, значит, группа действительно не имеет центра. Второе утверждение следует из первого, если применить гомоморфизм .
Коммутанты
Предложение Если , - произвольные прямые из , то множество трансвекций из с вычетной прямой и множество трансвекций с вычетной прямой сопряжены относительно . Доказательство. По теореме Витта в группе существует такой элемент , что . Тогда сопряжение элементом отображает множество трансвекций из с вычетной прямой на множество трансвекций из с вычетной прямой . Пример Две трансвекций из не обязательно сопряжены в . Например, трансвекций с вычетной прямой , сопряженные с , имеют вид , где пробегает . Замечание Пусть - симплектическая база пространства . Если - произвольная симметрическая матрица порядка 2 над и - линейное преобразование, определенное матрицей
то мы знаем, что принадлежит группе . Если преобразовать в , производя 1) прибавление кратного одного столбца к другому с последующим аналогичным преобразованием соответствующих строк или 2) перестановку двух столбцов с последующей перестановкой соответствующих строк, то линейное преобразование с матрицей
снова будет принадлежать группе , так как тоже будет симметрической. В действительности и сопряжены в . Чтобы убедиться в этом, заметим, что при подходящей матрице из . Преобразование , определенное матрицей
принадлежит группе , и , так как
Предложение Предположим, что , , и пусть - нормальная подгруппа группы , содержащая регулярный элемент с вычетом , представимый в виде произведения двух трансвекций из . Тогда . Доказательство. Имеем разложение , где - регулярная плоскость. Рассмотрим группу
Тогда . Кроме того, . Это очевидно, если ; если же , то применяем 2.1.12 и теорему 2.1.11 . Поэтому - нормальная подгруппа в , не содержащаяся в . Отсюда следует, что . В частности, если - фиксированная прямая в , то содержит все трансвекции плоскости с вычетной прямой . Следовательно, содержит все трансвекции из с вычетной прямой , а потому в силу вообще все трансвекции из и . Предложение Предположим, что , или , , и пусть - нормальная подгруппа группы , содержащая вырожденный элемент с вычетом 2, представимый в виде произведения двух трансвекций из . Тогда . Доказательство. 1) Модификация рассуждений, использованных при доказательстве утверждения , позволяет считать, что , если , и , если . 2) Рассмотрим сначала случай , . Тогда имеет вид , причем , а звездочки равны . Далее эти трансвекции перестановочны, так как , поэтому мы можем, если нужно, заменить на и считать, что на самом деле . Можно считать, что эта новая есть . В самом деле, если , то с помощью теоремы Витта выберем такое , что , . Тогда
Заменим теперь на
Итак, можно считать, что . Дополним до симплектической базы
пространства и заметим, что
Подходящим сопряжением мы можем найти в линейные преобразования с матрицами
в базе . Произведение этих преобразований равно элементу из с матрицей
Следовательно, группа содержит . Таким образом, она содержит все (= обе) трансвекции из с вычетной прямой . Ввиду отсюда следует, что содержит все трансвекции из и, значит, . 3) Пусть теперь , . Тогда и . Дополним до симплектической базы
Тогда
Сопряжение дает нам в линейные преобразования с матрицами
а потому и с матрицами
а значит, и с матрицей
Другими словами, содержит и, следовательно, все трансвекции из , откуда . Предложение Если , то за одним исключением: . Доказательство. Пусть , для некоторого . По теореме Витта существует такое , что - плоскость и
Положим
Осталось применить и . В исключительном случае применяем и хорошо известные свойства группы . Предложение Если , то за одним исключением: . Теоремы о простоте
Теорема Для любого четного числа и любого поля группа проста за исключением группы , которая простой не является. Доказательство. 1) Исключительное поведение группы следует из . Будем предполагать поэтому, что в общем случае и при . Вместо проективной группы мы будем иметь дело с группой . Достаточно рассмотреть нормальную подгруппу группы , не содержащуюся в подгруппе , и доказать, что . 2) Сначала покажем, что имеются , , такие, что - регулярная плоскость. Для этого возьмем в группе элемент . сдвигает по крайней мере одну прямую из , т. е. существует такая прямая из , что . Пусть - нетривиальная трансвекция из с вычетной прямой . Тогда элемент
принадлежит группе и является произведением двух трансвекции из с различными вычетными прямыми и . Поэтому вычетное пространство преобразования есть плоскость , в частности, . Если - гиперболическое преобразование, то - инволюция. Применим теперь утверждение 1.18, если характеристика равна , и утверждение 1.13, если характеристика не равна . Тогда, в частности, мы получим, что не является произведением трансвекции из , что противоречит допущению. Итак, не может быть гиперболическим. Значит, существует такой вектор , что , т. е. - регулярная плоскость. 3) Можно также показать, что имеются вектор и преобразование , такие, что - вырожденная плоскость. В самом деле, возьмем в элемент . Существует такой вектор , что . Если , то цель достигнута, поэтому будем считать, что . Выберем так, чтобы было
По теореме Витта в найдется преобразование , такое, что , . Тогда преобразование принадлежит и переводит в , поэтому - вырожденная плоскость. 4) Возьмем , так, чтобы плоскость была регулярной при и вырожденной при . Тогда преобразование
принадлежит группе , является произведением двух трансвекций из и его вычетное пространство есть плоскость . Поэтому . Предложение Если и - нормальная подгруппа группы , то или , за исключением группы , которая, очевидно, не обладает этим свойством. Доказательство. По поводу исключения см. . Далее, применяя к теорему , получим, что или . Допустим последнее. Тогда
Предложение доказано. Теорему о простоте можно также доказать, используя группы подстановок. Напомним, что группой подстановок непустого множества называется подгруппа группы всех подстановок множества . Далее, называется транзитивной, если для любых , существует такая подстановка из , что . Напомним, что разбиением множества называется множество попарно непересекающихся подмножеств, объединение которых равно . Тривиальными называются два разбиения, состоящие соответственно из самого и из всех одноэлементных подмножеств. Транзитивная группа подстановок множества называется импримитивной, если существует такое нетривиальное разбиение множества , что для всех , . В противном случае группа называется примитивной. Следующий результат является здесь ключевым. Предложение Примитивная группа подстановок множества проста, если выполнены следующие условия:
1) ,
2) для некоторого стабилизатор содержит такую нормальную абелеву подгруппу 2019-12-29 |
179 |
Обсуждений (0) |
|
5.00
из
|
|
Обсуждение в статье: Структурные теоремы. Порядки симплектических групп |
Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓ |
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...
Система поиска информации
Мобильная версия сайта
Удобная навигация
Нет шокирующей рекламы