Вероятность попадания в заданный интервал

Очень часто интересует вопрос: какова вероятность, того что изучаемый признак находится в заданных границах. Например, вероятность того, что результат в беге на 100 м для группы испытуемых окажется в пределах 11,5 – 12,5 с.

Для этого пользуются функцией Лапласа:

P[x₁<(X-μ)<x₂]=Ф( )-Ф( ).

Решение задач

Задача 1. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 р. и десять выигрышей по 1 р. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца лотерейного билета.

Решение. Напишем возможные значения Х: х₁=50; х₂=1; х₃=0. Вероятности этих возможных значений равны: р₁=0,01; р₂= 0,1; р₃=1-(0,01+0,1)=0,89.

Напишем исходный закон распределения:

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1

Задача 2. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделие в пути повредиться равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу придут 3 негодных изделия.

Решение. По условию n=5000, р=0,0002, к=3. Найдем :

=np=1

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна:

.

Задача 3. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

Решение. Найдем математическое ожидание:

.

Найдем всевозможные значения квадрата отклонения:

.

Напишем закон квадрата отклонения:

По определению:

.

Используя формулу D (Х)= M ( X )²-[М(Х)]² можно найти дисперсию гораздо быстрее:

.

Задачи для самостоятельного решения

3.1

Вероятность поражения мишени при одном выстреле 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз.

3.2

Линия связи, имеющая к каналов связывает два города, где n абонентов, каждый из которых пользуется телефоном в среднем 5 минут в час. Найти вероятность безотказного обслуживания абонентов.

3.3

В лотерее 40000 билетов, ценные выигрыши попадают на 3 билета. Определить: а) вероятность получения хотя бы одного выигрыша на 1000 билетов; б) сколько необходимо приобрести билетов, чтобы вероятность выигрыша была не менее 0,5.

3.4

Найти математическое ожидание дискретной случайно величины Х заданной законом распределения:

А)

Б)

3.5

Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения

Найти х и р, если М(Х)=8

3.6

Дискретная случайная величина имеет только 2 возможных значения х и у, причем x<y. Вероятность того что Х примет значение х 0,6. Найти закон распределения величины Х, если математическое ожидание и дисперсия известны: М(Х)=1,4, D(X)=0.24.

II Статистика.

Определение: Простой гипотезой будем называть любое предположение, однозначно определяющее распределение выборки Х.

Пусть даны r распределителей P₁, …, P_r и пусть нам известно что Х есть выборка одного из этих распределений. Задача состоит в том, чтобы определить, к какому именно Р относится Х.

Определение: Нулевой называют выдвинутую гипотезу.

1.Проверка гипотезы о разности двух средних значений

Проверка гипотезы о разности между двумя средними арифметическими – одна из наиболее часто встречающихся задач исследовательской работы.

Рассмотрим следующий пример: Две группы велосипедистов использовали в соревновательном периоде два различных метода силовой подготовки. Первая группа весь объем силовых упражнений распределила на весь сезон. Вторая группа тот же объем использовала во второй половине сезона, а в первой совсем не применяла силовых упражнений. Эффективность методов тренировки оценивалась по приросту результатов на дистанции 500 м с места, которые оказались следующими (в секундах):

Первая группа (Х₁): 1,0; 2,1; 1,2; 1,9; 0,9; 0,8; 2,0; 0,8; 1,5; 2,0.

Вторая группа (Х₂): 0,8; 1,0; 1,3; 0,7; 0,7; 0,4; 0,9; 1,4; 1,5; 1,5.

Рассчитаем средние арифметические для каждой группы:

Таким образом, средний прирост спортивного результата в первой группе на 0,4 сек. Выше, чем во второй. Следует отметить, что по исходным данным группы были однородны. Очевидно, разность между средними арифметическими не говорит о том, что один метод тренировки эффективнее, чем другой. Даже если бы обе группы использовали одинаковые методы тренировки, средние арифметические почти наверняка были бы разными, так как прирост результатов зависти не только от методов тренировки, но и определяется некоторыми другими факторами, например, питанием спортсменов, занятостью в учебе или работе, болезнями и т.п. При не большом числе испытуемых эти факторы могли бы сложится более благоприятно, для какой то одной группы. Следовательно, задача состоит в том, чтобы установить, можно ли объяснить различие в среднем приросте результата случайностью или оно отражает тот факт, что один метод тренировки эффективнее, чем другой.

На языке математической статистики эта задача формулируется следующим образом. Прирост результатов для испытуемых первой группы рассматривается как случайная выборка из генеральной совокупности с параметрами и . Аналогично для второй группы существует генеральная совокупность с параметрами и . Требуется проверить нулевую гипотезу о том, что = . В математической статистике доказывается, что

,

где .

Если величина t окажется слишком большой, то нулевая гипотеза должна быть отвергнута, как малоправдоподобная. В этом случае надо взять альтернативную гипотезу Н₁: ≠

Составим порядок применения t-критерия для проверки гипотезы о разности между двумя генеральными средними:

1. Проверить гипотезу о нормальности распределения наблюдений в каждой группе.

2. Рассчитать для каждой группы

3. Проверить гипотезу .

4. Рассчитать стандартную ошибку разности между средними арифметическими.

5. Рассчитать величину критерия t. Сравнить полученное значение с граничным при выбранном уровне значимости и степеней свободы.

6. если нулевая гипотеза отвергнута, то построить доверительный интервал для разности между генеральными средними.

Пример. Применим t -критерий для проверки гипотезы H ₀: = , к данным примера приведенного в начале параграфа.

1. проверить гипотезу о нормальности распределения можно позже, когда будут описаны соответствующие критерии.

2.

3. . Граничное значение при 5 процентном уровне значимости и числе степеней свободы для большей дисперсии f₁=9 и меньшей f₂=9 равно 4,03. Так как полученное значение критерия меньше граничного, то нулевая гипотеза не отвергается, то есть выборки взяты из генеральных совокупностей с равными дисперсиями.

4. Так как число наблюдений в группах равное, то стандартная ошибка разности равна:

5.

Число степеней свободы в данном примере f =10+10-2=18. Граничное значение при 5-процентном уровне значимости и 18 степенях свободы равно 2,01. Так как полученное значение критерия t меньше граничного, гипотеза о равенстве генеральных средних не отвергается. Таким образом не смотря на то, что средний результат средних приростов в двух группах различный, нет оснований говорить, что один из методов лучше, чем другой. Полученное различие может быть объяснено случайностью.