Операции над матрицами

Линейные однородное д.у. второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение Линейные однородные д.у. второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

=0

(Для решения этого уравнения составляем характеристическое уравнение ).

Теорема 1) Пусть характеристическое уравнение имеет действительные корни l₁ и l₂, причем . Тогда общее решение уравнения имеет вид

 (С₁, С₂ – некоторые числа).

2) Если характеристическое уравнение имеет один корень l (кратности 2),то общее решение имеет вид

 (С₁, С₂ – некоторые числа).

3) Если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то общее решение имеет вид

, где

, С₁, С₂ – некоторые числа.

НЕОБХОДИМЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О КАСАТЕЛЬНОЙ

Общее уравнение прямой:

Ax+By+C=0

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y = kx + b

( k = tg j коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой)

Если две прямые y = k ₁ x + b ₁ и y = k ₂ + b ₂ параллельны, то k ₁ = k ₂ .

Если две прямые y = k ₁ x + b ₁ и y = k ₂ + b ₂ перпендикулярны, то k ₁ * k ₂ =-1.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении(известен коэффициент k ):

Пусть прямая проходит через точку M ₁ ( x ₁ ; y ₁ ) и образует с осью Ox угол

y - y ₁ = k ( x - x ₁ )

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M ₁ ( x ₁ ; y ₁ ) и M ₂ ( x ₂ ; y ₂ ):

Уравнение касательной к кривой y = f ( x ) в точке x ₀ примет вид

y - f ( x ₀ )= f ¢ ( x ₀ )( x - x ₀ )

Геометрический смысл производной:

f ¢ ( x ₀ )= k = tg a

(производная f ¢ ( x ₀ ) есть угловой коэффициент(тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в точке x ₀ )

МАТРИЦЫ

Определение: Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрица размера m n :

.

Виды матриц

Определение: Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором)- столбцом.

Пример:

;      .

Определение: Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

Пример:

- квадратная матрица третьего порядка.

Определение: Элементы матрицы a_ij, у которых номер столбца равен номеру строки (i = j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.

Определение: Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Пример:

- диагональная матрица третьего порядка.

Определение: Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-го порядка, она обозначается буквой E.

Пример:

 - единичная матрица второго порядка;

- единичная матрица третьего порядка.

Определение: Матрица любого размера называется нулевой, если все элементы равны нулю.

Операции над матрицами