В переводе с древнегреческого комета означает «косматое светило».

22

 

Рис. 21. План Солнечной системы (орби-
ты планет, более близких к Солн-
цу, чем Земля, не показаны).

Рис. 22. Сравнение масс Солнца и
некоторых планет:
1 — Земля; 2 — Юпитер-

Рис. 23. Сравнение размеров планет и Солнца.

 

Точные значения расстояний планет от Солнца, периоды их
обращения, вращения вокруг оси и другие характеристики планет
даны в таблице V приложения, а в тексте и в задачах часто
приводятся округленные значения, из которых достаточно запомнить
лишь те, которые даны в приложении I.

- ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТ И ИСКУССТВЕННЫХ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ

1. Форма орбиты и скорость движения. Чем ближе планета к Солн-
цу, тем, больше ее линейная и угловая скорости и короче период
обращения вокруг Солнца. Мы наблюдаем планеты с Земли, которая
сама обращается вокруг Солнца. Это движение Земли необходимо
учитывать, чтобы узнать периоды обращения планет в невращающей-
ся инерциальной системе отсчета, или, как часто говорят, по
отношению к звездам.

Период обращения планет вокруг Солнца по отношению к звездам
называется звездным или сидерическим периодом. Наименьший
звездный период обращения у планеты Меркурий — 88 сут. У Марса
он составляет почти 2 года, а у Юпитера — 12 лет и, все возрастая
с удалением от Солнца, у Плутона доходит почти до 250 лет.

Заслуга открытия законов движения планет принадлежит вы-
дающемуся немецкому ученому Иоганну Кеплеру. В начале
XVII в. Кеплер установил три закона движения планет. Они названы
законами Кеплера.

Первый закон Кеплера: каждая планета обращается по эллипсу,
в одном из фокусов которого находится Солнце (рис. 24).

Эллипсом (рис. 24) называ-
ется плоская замкнутая кривая,
имеющая такое свойство, что сум-
ма расстояний каждой ее точки
от двух точек, называемых фоку-
сами, остается постоянной. Эта
сумма расстояний равна длине боль-
шой оси DA эллипса (рис. 24).
Точка О — центр эллипса, К и 5 —
фокусы. Солнце находится в
данном случае в фокусе S.
DO = OA = а — большая по-
луось эллипса. Большая полуось
а является средним расстоянием пла-
неты от Солнца:

Ближайшая к Солнцу точка
орбиты А называется перигели-
ем, а самая далекая от него точка
D называется афелием.

Степень вытянутости эллипса
характеризуется его эксцентри

Иоганн Кеплер (1571—1630). Вы-
дающийся немецкий астроном и
математик, открывший законы дви-
жения планет вокруг Солнца. Кеп-
лер был активным сторонником
учения Коперника и своими рабо-
тами способствовал его утвержде-
нию и развитию.

24

 

ситетом е. Эксцентриситет равен отношению расстояния фо-
куса от центра (О К = OS) к длине большой полуоси а, т. е.

При совпадении фокусов с центром (е = 0) эллипс пре-
вращается в окружность.

Орбиты планет — эллипсы, мало отличающиеся от окружностей,
их эксцентриситеты малы. Например, эксцентриситет орбиты Земли
= 0,017.

Эксцентриситеты орбит у большинства комет близки к единице.
При е = 1 второй фокус эллипса удаляется в бесконечность, так
что орбита становится разомкнутой кривой (рис. 25), называемой
параболой. При е > 1 орбита является гиперболой
(рис. 25). Двигаясь по параболе или .гиперболе, тело только однажды
огибает Солнце и навсегда удаляется от него.

Кеплер открыл свои законы, изучая периодическое обращение
Марса вокруг Солнца. Ньютон, исходя из наблюдений движения
Луны и законов Кеплера, открыл закон всемирного тяготения. При
этом он доказал, что под действием взаимного тяготения тела могут
двигаться друг относительно друга по эллипсу (в частности, по
кругу), по параболе и по гиперболе. Ньютон установил, что вид
орбиты, которую описывает тело, зависит от его скорости в данном
месте орбиты.

При некоторой скорости тело описывает окружность около
притягивающего центра. Такую скорость называют первой
космической или круговой скоростью, ее сообщают телам,
запускаемым в качестве искусственных спутников Земли по круговым
орбитам. Вывод формулы для вычисления первой космической ско-
рости известен из курса физики. Первая космическая скорость вблизи
поверхности Земли составляет около 8км/с (7,9 км/с).

Если телу сообщить скорость, в раза большую круговой

(11,2 км/с), называемую в т о р о й космической или пара-
болической скоростью, то тело навсегда удалится от Земли
и может стать спутником Солнца. В этом случае движение тела
будет происходить по параболе относительно Земли. При еще
большей скорости относительно Земли тело полетит по гиперболе.

Средняя скорость движения Земли по орбите 30 км/с. Орбита
Земли близка к окружности, а скорость движения Земли по орбите
близка к круговой на расстоянии Земли от Солнца. Паоаболиче-
ская скорость на расстоянии Земли от Солнца равна км/с =

= 42 км/с. При такой скорости относительно Солнца тело с орбиты
Земли покинет Солнечную систему.

2. Второй и третий законы Кеплера. Второй закон Кеплера (закон

площадей): радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки
времени описывает равные площади, т. е. площади SAH и SCD

равны (рис. 24), если дуги описаны планетой за одина-

ковые промежутки времени. Но длины этих дуг, ограничивающих

равные площади, различны: . Следовательно, линейная

скорость движения планеты неодинакова в разных точках ее ор-

25

 

Рис. 24. Закон площадей (второй
закон Кеплера).

Рис. 25. Формы орбит космических
ракет (посланные по стрел-
ке, они не вернутся, если пой-
дут по параболе или гипер-
боле, и по прерывистым
частям кривых движения
не будет).

биты. Скорость планеты при дви-
жении ее по орбите тем больше, чем
ближе она к Солнцу. В перигелии
скорость планеты наибольшая, в
афелии наименьшая. Таким образом,
второй закон Кеплера количественно
определяет изменение скорости дви-
жения планеты по эллипсу.

Третий закон Кеплера. квадраты
звездных периодов обращения пла-
нет относятся как кубы больших
полуосей их орбит. Если боль-
шую полуось орбиты и звездный
период обращения одной планеты
обозначить через аь Ти а другой
планеты — через а2, Т2> то формула
третьего закона будет такова:

Этот закон Кеплера связывает сред-
ние расстояния планет от Солн-
ца с периодами их звездных об-
ращений и позволяет большие по-
луоси всех планетных орбит вы-
разить в единицах большой полу-
оси земной орбиты. Большая по-
луось земной орбиты принята за
астрономическую единицу расстоя-
ний. В астрономических едини-
цах средние расстояния планет
от Солнца были определены раньше,
чем узнали длину астрономической
единицы в километрах.

5 1. Марс дальше от Солнца, чем Земля,
в 1,5 раза. Какова продолжительность
года на Марсе? Орбиты планет считать
круговыми.

Определите период обращения искус-
ственного спутника Земли, если наи-
высшая точка его орбиты над Землей
5000 км, а наинизшая 300 км. Землю
считать шаром радиусом 6370 км. Срав-
ните движение спутника с обращением
Луны.

Определите периоды обращения ис-
кусственных спутников, двигающихся по
эллиптическим орбитам, изображенным
на рисунке 25, измерив их большие
оси линейкой и приняв радиус Земли рав-
ным 6370 км.

26

 

8.КОНФИГУРАЦИИ и СИНОДИЧЕСКИЕ ПЕРИОДЫ ОБРАЩЕНИЯ
ПЛАНЕТ

1. Конфигурации планет. Конфигурациями планет называют неко-
торые характерные взаимные расположения планет Земли и Солнца.

Прежде всего заметим, что условия видимости планет с Земли
резко различаются для планет внутренних (Венера и Мерку-
рий), орбиты которых лежат внутри земной орбиты, и для планет
внешних (все остальные).

Внутренняя планета может оказаться между Землей и Солнцем
или за Солнцем. В таких положениях планета невидима, так как
теряется в лучах Солнца. Эти положения называются соедине-
ниями планеты с Солнцем. В нижнем соединении
планета ближе всего к Земле, а в верхнем соединении
она от нас дальше всего (рис. 26).

Легко видеть, что угол между направлениями с Земли на Солн-
це и на внутреннюю планету никогда не превышает определенной
величины, оставаясь острым. Этот предельный угол называется
наибольшим удалением планеты от Солнца. Наибольшее удаление
Меркурия доходит до 28°, Венеры — до 48°. Поэтому внутренние
планеты всегда видны вблизи Солнца либо утром в восточной сто-
роне неба, либо вечером в западной стороне неба Из-за близос-
ти Меркурия к Солнцу увидеть Меркурий невооруженным глазом
удается редко (рис. 26 и 27).

Венера отходит от Солнца на небе на больший угол, и она
бывает ярче всех звезд и планет. После захода Солнца она доль-
ше остается на небе в лучах зари и даже на ее фоне видна отчет-
ливо Также хорошо она бывает видна и в лучах утренней зари.
Легко понять, что в южной стороне неба и среди ночи ни Мерку-
рия, ни Венеру увидеть нельзя.

Если, проходя между Землей и Солнцем, Меркурий или Венера
проецируются на солнечный диск, то они тогда видны на нем как
маленькие черные кружочки. Подобные прохождения по диску
Солнца во время нижнего соединения Меркурия и особенно Венеры
бывают сравнительно редко, не чаще чем через 7—8 лет.

Освещенное Солнцем полушарие внутренней планеты при разных
положениях ее относительно Земли нам видно по-разному. Поэтому
для земных наблюдателей внутренние планеты меняют свои фазы,
как Луна. В нижнем соединении с Солнцем планеты повернуты к нам
своей неосвещенной стороной и невидимы Немного в стороне от
этого положения они имеют вид серпа. С увеличением углового рас-
стояния планеты от Солнца угловой диаметр планеты убывает, а
ширина серпа делается все большей. Когда угол при планете между
направлениями на Солнце и на Землю составляет 90°, мы видим
ровно половину освещенного полушария планеты. Полностью такая
планета обращена к нам Своим дневным полушарием в эпоху верхнего
соединения. Но тогда она теряется в солнечных лучах и невидима.

Внешние планеты могут находиться по отношению к Земле за
Солнцем (в соединении с ним), как Меркурий и Венера, и тогда они

27

 

тоже теряются в солнечных лучах
Но они могут находиться и на про-
должении прямой линии Солнце —
Земля, так что Земля при этом
оказывается между планетой и
Солнцем. Такая конфигурация назы-
вается противостоянием.
Она наиболее удобна для наблю-
дений планеты, так как в это вре-
мя планета, во-первых, ближе всего
к Земле, во-вторых, повернута к
ней своим освещенным полушарием
и, в-третьих, находясь на небе
в противоположном Солнцу месте,
планета бывает в верхней куль-
минации около полуночи и, следова-
тельно, долго видна и до и после
полуночи.

Моменты конфигураций планет,

условия их видимости в данном году приводятся в «Школьном
астрономическом календаре».

2. Синодические периоды. Синодическим периодом обращения пла-
неты называется промежуток времени, протекающий между повто-
рениями ее одинаковых конфигураций, например между двумя
противостояниями.

Скорость движения планет тем больше, чем они ближе к Солн-
цу. Поэтому после противостояния Марса Земля станет его обго-
нять. С каждым днем она будет отходить от него все дальше.
Когда она обгонит его на полный оборот, то снова произойдет
противостояние. Синодический период внешней планеты — это про-
межуток времени, по истечении которого Земля обгоняет планету
на 360° при их движении вокруг Солнца. Угловая скорость Земли

(угол, описываемый ею за сутки) составляет 360° , угловая ско-

те

рость Марса где Те — число суток в году* Т — звезд-
ный период обращения планеты, выраженный в сутках. Если 5 —
синодический период планеты в сутках, то через S суток Земля
обгонит планету на 360°, т. е.

/ _36(Г 3601\ Ј = збо°, или —= —! L.

\ те т ) s т® т

Если в эту формулу подставить соответствующие числа (см. табли-
цу V в приложении), то можно найти, например, что синодический
период Марса 780 сут и т. д. Для внутренних планет, обращающихся
быстрее, чем Земля (Гф> Г), надо писать:

/ _3601 —3601 \ 5 = 360°, или -L = -i- L

V Т Те ) S Т Те

Для Венеры синодический период составляет 584 сут.

28

 

Рис. 27. Расположение орбит Меркурия и Венеры относительно горизонта для
наблюдателя, когда Солнце заходит (указаны фазы и видимый диаметр
планет в разных положениях относительно Солнца при одном и том же
положении наблюдателя).

Астрономам вначале не были известны звездные периоды планет,
в то время как синодические периоды планет S определяли из
прямых наблюдений. Например, отмечали, сколько времени проходит
между последовательными противостояниями планеты, т. е. между
днями, когда она кульминирует точно в полночь. Определив из на-
блюдений синодические периоды 5, находили вычислением звезд-
ные периоды обращения планет Т. Когда позднее Кеплер открыл
законы движения планет, то при помощи третьего закона он смог
установить относительные расстояния планет от Солнца, посколь-
ку звездные периоды планет уже были вычислены, исходя из сино-
дических периодов.

6 1. Звездный период обращения Юпитера равен 12 годам. Через какой промежу-
ток времени повторяются его противостояния?

Замечено, что противостояния некоторой планеты повторяются через 2 года.
Чему равна большая полуось ее орбиты?

Синодический период планеты 500 сут. Определите большую полуось ее
орбиты. (Перечитайте внимательно это задание.)

9. ВОЗМУЩЕНИЯ В ДВИЖЕНИИ ПЛАНЕТ. ПОНЯТИЕ О ПРИЛИВАХ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАСС НЕБЕСНЫХ ТЕЛ

1. Возмущения в движении планет. Ньютон, анализируя законы
движения планет, открытые Кеплером, установил закон всемирного
тяготения. По этому закону, как вы уже знаете из курса физики,
все тела во Вселенной притягиваются друг к другу с силой, пря-
мо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорцио-
нальной квадрату расстояния между ними:

п _ п гщгщ

29

 

здесь m, и m2 — массы двух тел, г — расстояние между ними,
a G — коэффициент пропорциональности, называемый гравитацион-
ной постоянной. Его численное значение зависит от единиц, в ко-
торых выражены сила, масса и расстояние. Закон всемирного тяго-
тения объясняет движение планет и комет вокруг Солнца, движение
спутников вокруг планет, двойных и кратных звезд вокруг их об-
щего центра масс.

Законы Кеплера точно соблюдаются только тогда, когда рас-
сматривают движение двух изолированных тел под влиянием их
взаимного притяжения. В Солнечной системе планет много, все
они не только притягиваются Солнцем, но и притягивают друг
друга, поэтому их движения не в точности подчиняются законам
Кеплера.

Отклонения от движения, которое происходило бы строго по
законам Кеплера, называются возмущениями. В Солнечной системе
возмущения невелики, потому что притяжение каждой планеты
Солнцем гораздо сильнее притяжения других планет.

Наибольшие возмущения в Солнечной системе вызывает планета
Юпитер, которая примерно в 300 раз массивнее Земли. Юпитер ока-
зывает особенно сильное влияние на движение астероидов и комет,
когда они близко к нему подходят. В частности, если направления
ускорений кометы, вызванных притяжением Юпитера и Солнца,
совпадают, то комета может развить столь большую скорость, что,
двигаясь по гиперболе, навсегда уйдет из Солнечной системы. Были
случаи, когда притяжение Юпитера сдерживало комету, эксцентри-
ситет ее орбиты становился меньше и резко уменьшался период
обращения.

При вычислениях видимого положения планет приходится учи-
тывать возмущения. Теперь делать такие расчеты помогают быстро-
действующие электронно-счетные машины. При запуске искусствен-
ных небесных тел и при расчете их траекторий пользуются теорией
движения небесных тел, в частности теорией возмущений.

Возможность отправлять автоматические межпланетные станции
по желаемым, заранее рассчитанным траекториям, доводить их до
цели с учетом возмущений в движении — все это яркие примеры
познаваемости законов природы. Небо, которое по представлению
верующих является обителью богов, стало ареной человеческой
деятельности так же, как и Земля. Религия всегда противопостав-
ляла Землю и небо и объявляла небо недосягаемым. Но человек
не только поднялся выше птиц, но и поборол земное тяготение.
Теперь среди планет перемещаются искусственные небесные тела,
созданные человеком, которыми он может управлять непосредствен-
но или по радио с больших расстояний.

2- Открытие Нептуна. Одним из ярких примеров достижений науки,
одним из свидетельств неограниченной познаваемости природы
было открытие планеты Нептун путем вычислений — «на кончике
пера».

Уран — планета, следующая за Сатурном, много веков считав-
шимся самой далекой из планет, была открыта В. Гершелем в конце

30

 

в. Уран с трудом виден невооруженным глазом. К 40-м годам

в. точные наблюдения показали, что Уран едва заметно укло-
няется от того пути, по которому он должен следовать с учетом
возмущений со стороны всех известных планет. Таким образом,
теория движения небесных тел, столь строгая и точная, подверглась
испытанию.

Леверье (во Франции) и Адаме (в Англии) высказали предпо-
ложение, что, если возмущения со стороны известных планет не
объясняют отклонение в движении Урана, значит, на него действу-
ет притяжение еще неизвестного тела. Они почти одновременно
рассчитали, где за Ураном должно быть неизвестное тело, произ-
водящее своим притяжением эти отклонения Они вычислили орбиту
неизвестной планеты, ее массу и указали место на небе, где в
данное время должна была находиться неведомая планета. Эта пла-
нета и была найдена в телескоп на указанном ими месте в 1846 г.
Ее назвали Нептуном. Нептун не виден невооруженным глазом. Та-
ким образом, указанное разногласие между теорией и практикой,
казалось, подрывавшее авторитет материалистической науки, при-
вело к ее триумфу.

3- Понятие о теории приливов. Под действием взаимного притяже-
ния частиц тело стремится принять форму шара. Форма Солнца,
планет, их спутников и звезд поэтому и близка к шарообразной.
Вращение тел (как вы знаете из физических опытов) ведет к их
сплющиванию, к сжатию вдоль оси вращения. Поэтому немного сжат
у полюсов земной шар, а более всего сжаты быстро вращающиеся
Юпитер и Сатурн.

Но форма планет может изменяться и от действия сил взаим-
ного притяжения. Шарообразное тело (планета) движется в целом
под действием гравитационного притяжения другого тела так, как
если бы вся сила притяжения была приложена к ее центру. Однако
отдельные части планеты находятся на разном расстоянии от при-
тягивающего тела, поэтому гравитационное ускорение в них также
различно, что и приводит к возникновению сил, стремящихся де-
формировать планету. Разность ускорений, вызываемых притяжени-
ем другого тела, в данной точке и в центре планеты называется
приливным ускорением.

Рассмотрим для примера систему Земля — Луна. Один и тот же
элемент массы в центре Земли будет притягиваться Луной слабее,
чем на стороне, обращенной к Луне, и сильнее, чем на противопо-
ложной стороне. В результате Земля, и в первую очередь водная
оболочка Земли, слегка вытягивается в обе стороны вдоль линии,
соединяющей ее с Луной. На рисунке 28 океан для наглядности
изображен покрывающим всю Землю. В точках, лежащих на линии
Земля — Луна, уровень воды выше всего — там приливы. Вдоль кру-
га, плоскость которого перпендикулярна направлению линии Зем-
ля — Луна и проходит через центр Земли, уровень воды ниже все-
го — там отлив. При суточном вращении Земли в полосу приливов и
отливов поочередно вступают разные места Земли. Легко понять,
что за сутки могут быть два прилива и два отлива.

31

 

Солнце также вызывает на Земле приливы и отливы, но из-за
большой удаленности Солнца они меньше, чем лунные, и менее
заметны.

С приливами перемещается огромная масса воды. В настоящее
время приступают к использованию громадной энергии воды, участ-
вующей в приливах, на берегах океанов и открытых морей.

Ось приливных выступов должна быть всегда направлена к Лу-
не При вращении Земля стремится повернуть водяной приливный
выступ. Поскольку Земля вращается вокруг оси гораздо быстрее,
чем Луна обращается вокруг Земли, то Луна оттягивает его к се-
бе. Происходит трение между водой и твердым дном океана.
В результате возникает так называемое приливное трение. Оно
тормозит вращение Земли, и сутки с течением времени стано-
вятся длиннее (когда-то они составляли только 5—6 ч). Сильные
приливы, вызываемые на Меркурии и Венере Солнцем, по-видимому,
и явились причиной их крайне медленного вращения вокруг оси.
Сильные приливы, вызывавшиеся Землей, настолько затормозили
вращение Луны, что она всегда обращена к Земле одной стороной.
Земля также постепенно тормозит свое вращение под действием
лунных приливов. По законам механики (закон сохранения момента
импульса) замедление вращения Земли вызывает удаление Луны от
Земли. Через много миллионов лет Земля тоже станет обращена к
Луне одной стороной. Земные сутки станут тогда равны месяцу,
который будет значительно длиннее, чем продолжительность сов-
ременного оборота Луны вокруг Земли. Таким образом, приливы
являются важным фактором эволюции небесных тел.
4. Определение масс небесных тел. Масса — одна из важнейших
характеристик небесных тел. Но как можно определить массу не-
бесного тела? Ньютон доказал, что более точная формула третьего
закона Кеплера такова:

Т\ Мх + тх _ а\
Т\ М2 + пг2 а\ '
где М\ и М2 — массы каких-либо небесных тел, а т, и т2 —
соответственно массы их спутников. В частности, планеты явля-
ются спутниками Солнца. Мы видим, что уточненная формула это-
го закона отличается от приближенной наличием множителя, содер-
жащего массы. Если под Мх = М2 = М понимать массу Солнца, а
под т, и т2 — массы двух разных планет, то отношение

М + т* будет мало отличаться от единицы, так как т, и т2 очень
М н- т2

малы по сравнению с массой Солнца. При этом точная формула не
будет заметно отличаться от приближенной.

Уточненный третий закон Кеплера позволяет определить массы
планет, имеющих спутников, и массу Солнца. Чтобы определить
массу Солнца, перепишем формулу этого закона в следующем виде,
сравнивая движение Луны вокруг Земли с движением Земли вокруг
Солнца:

Т'е М© + М® ^ а ©
Т\ M@ + пщ а\

32

 

Рис. 28. Схема лунных приливов.

где Те и а@ — период обращения Земли (год) и большая
полуось ее орбиты, Т( и а^ — период обращения Луны вокруг
Земли и большая полуось ее орбиты, Af0— масса Солнца, М@ —
масса Земли, m<j — масса Луны. Масса Земли ничтожна сравнитель-
но с массой Солнца, а масса Луны мала (1:81) сравнительно с мас-
сой Земли. Поэтому вторые слагаемые в суммах можно отбросить,
не делая большой ошибки. Решив уравнение относительно

Ме

—-, имеем:
Ме

— = (— \ 3 • (Т® \ 2

Эта формула позволяет определить массу Солнца, выраженную
в массах Земли. Она составляет около 333 000 масс Земли

Для сравнения масс Земли и другой планеты, например Юпите-
ра, надо в исходной формуле индекс 1 отнести к движению Луны
вокруг Земли массой Mh а 2 — к движению любого спутника
вокруг Юпитера массой Af2.

Массы планет, не имеющих спутников, определяют по тем воз-
мущениям, которые они своим притяжением производят в движении
соседних с ними планет или в движении комет и астероидов.

7 1. Определите массу Юпитера сравнением системы Юпитера со спутником
с системой Земля — Луна, если первый спутник Юпитера отстоит от него на
422 000 км и имеет период обращения 1,77 сут. Данные для Луны должны
быть вам известны.

2. Вычислите, на каком расстоянии от Земли на линии Земля — Луна находятся
те точки, в которых притяжения Землей и Луной одинаковы, зная, что расстояние
между Луной и Землей равно 60 радиусам Земли, а массы Земли и Луны отно-
сятся как 81 : 1.

33