Перевод дробной части:

I . Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую с использованием промежуточных систем счисления и изображение чисел в форматах ЕС и СМ ЭВМ.

 

 

Задание №1 Выполнить перевод из 10СС в 2СС, используя промежуточные системы счисления. Выполнить проверку результата, так же используя промежуточные системы счисления.

 

Любое число А в позиционной системе счисления (СС) с основанием q можно записать в виде:  

A(q) = a_nqⁿ + a_n-1q^n-1 +…+ a₁q¹ + a₀q⁰ + a_-1q^-1 +…+ a_-mq^-m = ,

где a_k – цифра числа в данной СС;

  q^k – разрядный вес цифры a_k;

  n+1 – количество разрядов в целой части числа;

  m – количество разрядов в дробной части числа.

 

Чтобы перевести целое число в новую СС, его необходимо последовательно делить на основание новой СС до тех пор, пока не получится частное, у которого целая часть равна 0. Число в новой СС записывают из остатков от последовательного деления, причем последний остаток будет старшей цифрой нового числа.

 

Чтобы перевести правильную дробь из одной позиционной СС в другую, надо её последовательно умножать на новое основание до тех пор пока в новой дроби не будет получено нужного количества цифр, определяемого заданной точностью. Правильная дробь в новой СС записывается из целых частей произведений, и старшей цифрой новой дроби будет целая часть первого произведения.

Формула для определения количества цифр в новой СС: ,

где m₁ – количество цифр исходной дроби с основанием p;

m₂ – количество цифр в новой дроби с основанем q.

 

А=356,31

10сс­­ – 8сс – 2сс

Перевод целой части:

	35610 = 5448 = 0, 10110 01 002                              5 4 4

356  8

4  44  8

  4   5  8

       5  0

                

Перевод дробной части :

Количество цифр после перевода дроби из 10 СС в 8 СС:

 = 3

	0,3110 = 0,2368 = 0, 0100111102                                    2 3 6

0,31

8

2,48

    8

3,84

8

6,72

Проверка:

2cc – 16сс – 10сс

0001 01100100 , 010011110000₂ = 164,4F₁₆ = (1*256+6*16+4+4*16^-1+15*16^-2)₁₀ =

 1  6  4        4  15  0

= 356,3085…₁₀ = 356,31₁₀    (верный результат)

 

B =723,54

10сс­­ – 16сс – 2сс

Перевод целой части:

	72310 = 2D316 = 0, 00101 10 100112                                   2 D   3

723 16

3  45  16

13   2   16

       2  0

                

Перевод дробной части:

Количество цифр после перевода дроби из 10 СС в 16 СС:

 = 3

	0,5410 = 0,8A316 = 0, 1 0 00101000112                                        8   A   3

0,54

16

  8,64

  16

10,24

16

3,84

Проверка:

2cc – 8сс – 10сс

001011010011 , 100010100011₂ = 1323,4243₈ = (1*512+3*64+2*8+3+4*8^-1+2*8^-2+4*8^-3)₁₀ =

1 3 2 3  4 2 4 3

= 723,539…₁₀ = 723,54₁₀    (верный результат)

 

 

Задание №2 Пусть А – положительное, B – отрицательное. Изобразить каждое из них в форме с ФЗ в 32 разрядной сетке ЦВМ, предварительно промасштабировав.

 

Для двоичных чисел с ФЗ используют 3 формата фиксированной длины: полуслово – короткий с ФЗ (2 байта = 16 бит, 16 разрядов); слово – длинный с ФЗ (4 байта = 32 бита, 32 разряда); двойное слово – для промежуточных действий(8 байт = 64 бита, 64 разряда), чтобы обеспечить высокую точность вычислений.  Двоичные операнды имеют вид целых чисел в дополнительном коде, у которых крайний левый разряд – знаковый. Это правило справедливо как для ЕС ЭВМ, так и для ПЭВМ.

А = 356,31

А = 101100100,010011110₂                            М=2^-9

 

зн

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0

    

 

 

B = -723,54

B = -1011010011,100010100011₂                М=2^-10

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1

зн

                

 

Задание №3 Пусть B –  положительное, A – отрицательное. Изобразить каждое из них в форме с ПЗ, предварительно промасштабировав.

 

Двоичные числа с ПЗ изображаются по-разному в ЕС ЭВМ и ПЭВМ. Общим в изображении является лишь то, что порядки имеют смещения.

В ПЭВМ для чисел с ПЗ используются два формата: короткий и длинный. Смещенный порядок занимает восемь разрядов (смещение=128), крайний левый разряд сетки отводится под знак числа, остальные под мантиссу, изображенную в 2СС (23 разряда в коротком и 55 разрядов в длинном формате). Смещенный порядок содержит информацию о положении запятой в двоичной мантиссе числа. Для повышения точности представления мантиссы старший разряд ее, который в нормализованном виде всегда равен «1», может не заноситься в разрядную сетку, а просто подразумеваться.

В ЕС ЭВМ для чисел с ПЗ имеются три формата: короткий – слово, длинный - двойное слово и расширенный – учетверенное слово. Во всех этих форматах смещенный порядок занимает семь разрядов (смещение=64) и размещается в старшем байте вместе со знаковым разрядом числа. Остальные разряды (24 для короткого формата) занимает мантисса числа, изображаемая в 16 СС. Каждые 4 бита воспринимаются машиной как одна 16-ричная цифра, а в смещенном порядке содержится информация о положении запятой между 16-ричными, а не двоичными цифрами. Мантисса чисел с ПЗ всегда изображается в ПК и должна быть нормализована.

Сравнение представления мантисс с двоичным и шестнадцатеричным основанием показывает существенное расширение диапазона представления чисел в ЕСЭВМ.

 

А = -356,31

А = -000101100100,010011110₂

                                                                             р = 6

а) 2сс мантисса

 

зн   8 разрядов                                   мантисса

1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0

 

б) 16сс мантисса

 

зн   7 разрядов                                   мантисса

1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0

 

B = 723,54

B = 001011010011,100010100011₂

                                                                             р = 9

а) 2сс мантисса

 

зн    8 разрядов                                   мантисса

0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0

 

б) 16сс мантисса

 

зн    7 разрядов                                   мантисса

0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1