Правила дифференцирования общих функций

(известно как «правило Лейбница»)

— Правило дифференцирования сложной функции

17. ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

Производная сложной функции:

Производная — основное понятие дифференциального исчесления, характеризующее скорость изменения функции.

Определение. Предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Рассмотрим функцию y = sin x². Чтобы найти значение этой функции в фиксированнной точке x нужно: 1) вычислить x²; 2) найти значение синуса от полученного значения x². Иными словами, сначала надо найти значение g(x) = x², а потом найти sin g(x). В подобных случаях говорят, что задана сложная функция y = f(g(x)). В нашем примере u = g(x) = x², а y = f(u) = sin u.

Пусть y = f(g(x)) - сложная функция, причем функция u = g(x) дифференцируема в точке x , а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u. Тогда функция y = f(g(x)) дифференцируема в точке x, причем y =f (g(x)) g (x). Запись f'(g(x)) означает, что производная вычисляется по формуле для f'(x), но вместо x подставляется g(x).

18. ФУНКЦИИ В ЭКОНОМИКЕ.

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Наиболее часто используются в экономике следующие функции:

1. Функция полезности (функция предпочтений) - в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

2. Производственная функция - зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

3. Функция выпуска (частный вид производственной функции) - зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.

4. Функция издержек (частный вид производственной функции) - зависимость издержек производства от объема продукции.

5. Функции спроса, потребления и предложения - зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

ФУНКЦИИ В ЭКОНОМИКЕ

В экономических исследованиях для обозначения производных часто пользуются специфической терминологией. Например, если f(x) есть производственная функция, выражающая зависимость выпуска какой-либо продукции от затрат фактора x, то f '(x) называют предельным продуктом ; если g(x) есть функция издержек, т. е. функция g(x) выражает зависимость общих затрат от объема продукции x, то g'(x) называют предельными издержками.

Предельный анализ в экономике - совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений. Большей частью плановые расчеты, основывающиеся на обычных статистических данных, ведутся в форме суммарных показателей. При этом анализ заключается главным образом в вычислении средних величин. Однако в некоторых случаях оказывается необходимым более детальное исследование с учетом предельных значений. Например, при выяснении издержек производства зерна в районе на перспективу принимают во внимание, что издержки могут быть различными в зависимости, при прочих равных условиях, от предполагаемых объемов сбора зерна, так как на вновь вовлекаемых в обработку худших землях издержки производства будут выше, чем по району в среднем.

Если зависимость между двумя показателями v и x задана аналитически: v = f(x) - то средняя величина представляет собой отношение v/x, а предельная - производную .

Нахождение производительности труда. Пусть известна функция
u = u(t), выражающая количество произведенной продукции u за время работы t. Вычислим количество произведенной продукции за время
D t = t ₁ - t ₀ : D u = u(t ₁ ) - u(t ₀ ) = u(t ₀ + D t) - u(t ₀ ). Средней производительностью труда называется отношение количества произведенной продукции к затраченному времени, т.е. z _ср.= D u/ D t.

Производительностью труда рабочего z(t ₀ ) в момент t ₀ называется предел, к которому стремится z _ср. при D t ® 0: . Вычисление производительности труда, таким образом, сводится к вычислению производной: z(t ₀ ) = u'(t ₀ ).

Издержки производства K однородной продукции есть функция количества продукции x. Поэтому можно записать K = K(x). Предположим, что количество продукции увеличивается на D х . Количеству продукции x+ D х соответствуют издержки производства K(x + D х). Следовательно, приращению количества продукции D х соответствует приращение издержек производства продукции D K = K(x + D х) - K(x).

Среднее приращение издержек производства есть D K/ D х. Это приращение издержек производства на единицу приращения количества продукции.

Предел называется предельными издержками производства.

Если обозначить через u(x) выручку от продажи x единиц товара, то и называется предельной выручкой.

С помощью производной можно вычислить приращение функции, соответствующее приращению аргумента. Во многих задачах удобнее вычислять процент прироста (относительное приращение) зависимой переменной, соответствующий проценту прироста независимой переменной. Это приводит нас к понятию эластичности функции (иногда ее называют относительной производной ). Итак, пусть дана функция y = f(x), для которой существует производная y ¢ = f ¢ (x). Эластичностью функции y = f(x) относительно переменной x называют предел

.

Его обозначают E _x (y) = x/y f ¢ (x) = .

Эластичность относительно x есть приближенный процентный прирост функции (повышение или понижение), соответствующий приращению независимой переменной на 1%. Экономисты измеряют степень чуткости, или чувствительности, потребителей к изменению цены продукции, используя концепцию ценовой эластичности. Для спроса на некоторые продукты характерна относительная чуткость потребителей к изменениям цен, небольшие изменения в цене приводят к значительным изменениям в количестве покупаемой продукции. Спрос на такие продукты принято называть относительно эластичным или просто эластичным. Что касается других продуктов, потребители относительно нечутки к изменению цен на них, то есть существенное изменение в цене ведет лишь к небольшому изменению в количестве покупок. В таких случаях спрос относительно неэластичен или просто неэластичен. Термин совершенно неэластичный спрос означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению количества спрашиваемой продукции. Примером может служить спрос больных острой формой диабета на инсулин или спрос наркоманов на героин. И наоборот, когда при самом малом снижении цены покупатели увеличивают покупки до предела своих возможностей - тогда мы говорим, что спрос является совершенно эластичным.

19. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА.

Неопределённый интегра́л для фукнции - это семейство всех первообразных данной функции.

Если функция определена и непрерывна на промежутке и — ее первообразная, то есть при , то

,

где С — произвольная постоянная.