Понятие процента. Основные типы задач

Автор : Филимонов Матвей

Бабарыкинская СОШ , 9 класс

Руководитель работы :

Кузьминых Людмила Александровна ,

учитель математики

 

Бабарыкино 2010

 

                                                 

Содержание

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………3

ГЛАВА I. ПРО ПРОЦЕНТЫ…………………………………………….5

1.1. Как возникли проценты……………………………………………5

1.2. Понятие процента. Основные типы задач на проценты…………6

1.3. Задачи «про цены» …………………………………………………9

1.4. Формулы простых и сложных процентов. Задачи  ЕГЭ……….12

ГЛАВА II ПРО КРЕДИТЫ………………………………………………18

2.1. Из истории кредитования …………………………………….......18

2.2. Кредит. Принципы кредитования.……………...…………..…..20

2.3. Как стать клиентом банка (полезные советы)…………………22  

2.4. Система кредитования в Шегарском ОС Б………………………25                                                   2.5. Наш совет вкладчикам ……………………………………………29              

2.6 Кредит – это выгодно ……………………………………………..31                                              

ГЛАВА III. ПРО НАШ  КЛАСС. ……………………………………….32

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………35

ПРИЛОЖЕНИЕ …………………………………………………………...37

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………44

Введение

Современному человеку необходимо умение оперировать процентами, так как он часто сталкивается с всевозможными банковскими операциями.

Важный вопрос, который интересует всех вкладчиков, – «Какой доход можно получить по какому-либо вкладу?» Ответить на него можно, изучив формулу «сложных процентов».

В современном мире каждому человеку важно владеть определённым объёмом экономических знаний. Вся экономическая деятельность страны, предприятий и фирм, а также отдельно взятой семьи пронизана нитями экономической деятельности. Введение экономики полностью основано на использовании процентов. Задачи на проценты: на смеси, на процентный прирост, на вычисление сложных процентов окружают нас в повседневной жизни. Каждая хозяйка занимается летом приготовлением разносолов, многие семьи берут ссуду в банке или вкладывают деньги под проценты, покупают товары в рассрочку, выплачивают налоги. Проценты используют и для сравнения различных итогов: качество успеваемости, уровень заболеваемости гриппом. В настоящее время бурно растут экономические ВУЗы и факультеты, задачи на проценты есть  в ГИА и ЕГЭ.

Мы на элективных курсах изучили формулу сложных процентов, научились её применять при решении экономических задач, узнали, за счёт чего банк имеет возможность выплачивать вознаграждения вкладчику. Родители попросили нас помочь определить, какой вклад, кредит выгоднее. Учитель математики сообщила нам, что с задачами на проценты на ЕГЭ справляются очень немногие ученики. После этого я решил более подробно исследовать эту тему. Объектом своего исследования  я определил проценты, а предметом – кредит.

Гипотеза: я предполагаю, что кредитование можно использовать в системе школьных оценок. 

Цели работы:

· показать, что многие реальные ситуации можно анализировать с помощью такого математического понятия, как процент;

· доказать, что кредит – это выгодно всем, даже школьникам. 

Для достижения цели работы необходимо исследовать следующие задачи:

1. Проанализировать задачи на проценты из ЕГЭ, разделить их на группы и описать способы их решения.

2. Определить систему кредитования в Шегарском ОСБ.

3. Доказать, что кредит – это выгодно.

4. Провести эксперимент в своем классе, по использованию системы кредитования в системе школьных оценок.

5. Разработать договор банковского кредитования для эксперимента.

 

Ожидаемые результаты.

1. Приобретение навыков исследовательской работы.

2. Изученный материал смогу применить при решении задач ЕГЭ, на олимпиадах.

3. Пополню свой портфолио.

4. Рассчитать и выбрать наиболее выгодные вклады, определить с учётом инфляции реальные ставки процента за кредит (не повторять ошибок Буратино).

5. Повысить успеваемость в классе, вовлечь ребят в исследовательскую работу.

 

Глава I . Про проценты

Из истории процентов

Проценты были известны индийцам еще в 5 веке. Это закономерно, так как в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления. В Европе десятичные дроби появились на 1000 лет позже, их ввел бельгийский ученый С.Стевин. В 1584 году он впервые опубликовал таблицу процентов. Слово “процент” происходит от латинских слов pro и centum, что означает “со ста”. Знак % произошел, как предполагают благодаря опечатке. В рукописях pro centum часто заменяли словом “cento”- сто и писали его сокращенно- cto. В 1685 году в Париже была напечатана книга- руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto набрал %. После этой ошибки многие математики также стали употреблять знак % для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание. Иногда применяют и более мелкие доли целого - тысячные, то есть десятые части процента. Их называют пролмилле (от латинского “с тысячи “) и обозначают ‰ .

 

 

    

 

Понятие процента. Основные типы задач

Процентом называют одну сотую

                                        1%

                                                         

 

                  1/100   0.01           1:100

Мы уже знаем, что проценты широко используются в современной жизни – и в денежных отношениях (налоги, банковские счета, повышение и понижение цен и так далее) и для сравнения различных итогов (качество успеваемости и так далее). Знание процентов помогает при решении задач. Рассмотрим основные типы задач¹. Их всего три:

1. Нахождение % отношения двух чисел.

2. Нахождение процентов данного числа.

3. Нахождение числа по его процентам.

1 тип. Нахождение процентного отношения двух чисел.

 Задача: из 5100 рублей было удержано в качестве подоходного налога 663 рубля. Какой процент от заработной суммы составляет подоходный налог?

Решение 1:

5100: 100=51(р) – составляет 1%

663: 51=13(%) – составляет подоходный налог.

Решение 2:

663/ 5100*100% =13%

Решение 3:

663 рубля – р%

5100 рублей – 100%

Составим пропорцию

663/5100=р/100

р=663*100/5100=13%

Решение задач этого типа можно записать формулой

                        P = a *100: b

 2 Задача о нахождении процента от числа.

В школе 200 учащихся, из них 45% учатся на “4” и “5”.

Сколько школьников учатся на “4” и “5”?

____________________________________

¹) МПИ Гельфман Е.Г. Проценты

 

Решение 1:

200:100=2(чел) - на 1%

2*45=90(чел) - на 45%

Решение 2:

45%=0.45 перевод % в десятичную дробь

200*0.45=90(чел) – на 45%

Решение 3:

a чел - 45%

200 чел - 100%

a/200=45/100

a=45*200/100=90(чел)

Формула                      a=b * p : 100

 

   3. Задача о нахождении числа по его процентам.

Картофель содержит 20% крахмала. Сколько картофеля нужно для получения 12 кг крахмала?

Решение 1:

12:20=0.6(кг) - 1%

0.6:100=60(кг) - нужно картофеля

Решение 2:

20%=0.20

12:0.2=60(кг)

Решение 3:

12кг - 20%

b кг - 100%

b=12*100/20=60(кг)

 

Формула                b=a*100:p

      

 Мы рассмотрели три типа задач на проценты, причем в каждом случае несколько решений. С помощью пропорции можно решить любую из этих задач, а вообще каждый человек выбирает свой способ решения, который ему больше нравится.

                          

                      1.3 Задачи про цены

  Рассмотрим задачи, в которых говорится о ценообразовании. С ценами на товары и услуги люди встречаются каждый день, часто встречаются объявления об изменении цен. Неумение решать такие задачи могут обернуться для людей финансовыми потерями.

Рассмотрим типичные ситуации. Допустим, если цена товара повысилась.

Первоначальная цена некоторого товара составляла Ао денежных единиц, потом цена повысилась на p%. Сколько будет стоить товар после повышения?

Обозначим так:

Ао - первоначальная цена товара

P% - процент повышения

A – новая цена

                   A = Ao + Aop 0.01= Ao (1+0.01 p )    

Аналогично, если первоначальная цена Ao понизилась на p%, то она составит     A = Ao (1-0.01 p )

Для запоминания составим небольшую схемку¹

                        A

 

         Ao (1+0.01 p )                    Ao (1-0.01 p )

Так посмотрим, что будет с первоначальной ценой Ao при повышении ее на p1%, а затем понижении на p2%.

Формула нахождения такова:

            A = Ao (1- p 10.01)(1+ p 20.01)

Такая форма записи удобна тем, что из нее сразу видно число процентов, на которое уменьшена или увеличена начальная сумма.

Теперь мы без труда можем ответить на такие вопросы в следующей задаче: Новая цена на товар рассчитывается по формуле:

1. A=Ao(1+150.01)

2. A=Ao(1-250.01)

3. A=Ao+0.3Ao

___________________________________________________________

¹) Математика в школе № 8 2002г. с.34

Определить характер изменения первоначальной цены (повышение или понижение) и процент этого изменения.

1. цена товара повысилась на 15%

2. понизилась на25%

3. упростим A=Ao(1+0.3)=Ao(1+30*0.01) – повысилась на 30%

Задача 2: Цена на товар сначала снизилась на 7%, а затем повысилась на 7%. Изменилась ли первоначальная цена, и если да, то на сколько процентов?

Раньше (пока мы не занимались исследованием по этой теме) мы бы ответили, что первоначальная цена не изменилась. А теперь мы будем действовать по схеме.

               Ao                                      Ao(1-7*0.01)(1+7*0.01)

                    7%

7%

             Ao(1-7*0.01)

A=Ao(1-7*0.01)*(1+7*0.01) =Ao(1-49*0.0001) =Ao(1-0.49*0.01)

Ответ: Первоначальная цена понизилась на 0.49%.

Вывод: Если цена товара сначала снизилась на p%, а затем повысилась на p%, то первоначальная цена снизится, а результат не зависит от порядка произведенных преобразований 

(1-p0.01)(1+p0.01) =(1-p²0.0001).

           Рассмотрим несколько задач про “цены” из ЕГЭ.

Демонстрационный вариант 2005г¹

B9. Торговая база закупила партию альбомов и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше закупочной. Магазин установил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с закупочной ценой, если на распродаже он приобрел альбом за 70.2 р.? 

Решение:

A₀ – закупочная цена

A₁=A₀(1+30*0.01)- оптовая цена

A₂=A₁(1+20*0.01) – розничная цена

A₃=A₂(1-10*0.01) =70.2 – цена при распродаже

A₃=A₀(1+30*0.01)(1+20*0.01)(1-10*0.01) =70.2

A₀1.3*1.2*0.9=70.2

____________________________________________________________________

¹) Интернет

A₀=70.2/1.3*1.2*0.9=70.2/1.404=50

На сколько больше заплатил покупатель

70.2-50=20.2

                                                           Ответ: 20.2 р.

 

Вариант №5 2003г.

В8. В январе пакет акций стоил на 10% меньше, чем в феврале. В феврале этот же пакет акций стоил на 20% меньше чем в марте. На сколько % меньше стоимость пакетов акций в январе, чем в марте.

Решение.

A₀ – стоимость пакета в марте

A₁=A₀(1-20*0.01) – в феврале

A₂=A₁(1-10*0.01) =A₀(1-0.2)(1-0.1) – в январе

A₂=A₀0.72

A₀ - A₂=A₀-A₀0.72=0.28A₀

                                                              Ответ: на 28%