Задачи на проценты из ЕГЭ

Мы рассмотрели большое количество задач на проценты из ЕГЭ. Проанализировав, мы разделили их на группы.

1. Задачи про “цены” (мы их рассмотрели в пункте 1.3).

2.Задачи на процентный прирост, с применением формул простых и сложных процентов.

3.Задачи на смеси и сплавы:

а) задачи на нахождение массы вещества, меняющейся в результате изменения влажности;

b) задачи на нахождение концентрации раствора, процентного содержания вещества;

c) задачи, решаемые с помощью применения «закона сохранения массы и объёма».

2. Рассмотрим формулу « сложных % » и её частный случай.

Общая формула:   

                  A_n = A ₀ (1+0.01 p ₁ )*…*(1+0.01 p_n )         

Частная формула:

                  A _n = A ₀ (1+0.01 p ) ⁿ

A₀ – начальное значение некоторой величины;

A_n – значение, которое получилось в результате нескольких изменений начальной величины;

n- количество изменений начальной величины; p – процент изменения.

Частный случай применяется тогда, когда некоторая величинаA₀ изменяется несколько раз на один и тот же процент. Общая формула используется тогда, когда процент изменения не остается одним и тем же. Знак “+” применяется при подсчете увеличения цены товара. Знак “ - “ применяется при подсчете снижения цены.

   

Вариант №46 (2003г.)

B8. Зарплату повысили на p%. Затем новую зарплату повысили на 2p%. В результате двух повышений зарплата увеличилась в 1.32 раза. На сколько % зарплата была повышена во второй раз.

Решение:

A₀ – начальная зарплата;

По формуле простых процентов найдем зарплату после повышения на p%:

A₁=A₀(1+0.01p), повысили на 2p%:

A₂=A₁(1+2p0.01) =A₀(1+0.01p)(1+0.02p)

По условию A₂=1.32A₀

Получим уравнение: A₀*(1+0.01p)(1+0.02p) =A₀1.32

0.02р²+3p - 32=0

Д=11.52

p₁=10%   2p=20%

Вариант 31(2003г.)

B7. Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколько процентов необходимо увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня?

Решение:

A₀ – первоначальный уровень

A₁=A₀(1-20*0.01) - после уменьшения

A₀=A₁(1+p*0.01) =A₀(1-20*0.01)(1+p*0.01)

1=0.8(1+0.01p)

1=0.8+0.008p

0.008p=0.2

P=0.2/0.008=25

                                              Ответ: 25%.

Вариант №639 (2004г.)

B7. Если положить на вклад “Молодежный ” некоторую сумму денег, то ежегодно она увеличивается на 15% от имеющейся на вкладе суммы. Вкладчик положил на этот вклад деньги и два года не пополнял свой вклад и не снимал с него. Сколько рублей положил вкладчик, если через 2 года на его счете стало 15870 рублей?

Решение:

A₀ – первоначальный вклад.

A₁=A₀(1+15*0.01) – через год

A₂=A₁(1+15*0.01) - через два года

A₀(1+15*0.01)²=15870

A₀(1.15)²=15870

A₀1.3225=15870

A₀=12000 (рублей)

                                                Ответ: 1200 рублей.

Вариант №3 (2003г.)

B7. За год стипендия студента увеличилась на 32%. В первом полугодии стипендия увеличилась на 10%. Определите, на сколько процентов увеличилась стипендия во втором полугодии.

Решение:

A₀ – первоначальная величина стипендии,

p - процент повышения во втором полугодии,

Составляем уравнение

A₀(1+10*0.01)(1+p*0.01) =A₀(1+32*0.01)

1.1+1.1*0.01p=1.32

0.011p=0.22

p=20

                                                Ответ: 20%.

 

3. Задачи на смеси и сплавы:

а) задачи на нахождение массы вещества, меняющейся в результате изменения влажности;

Вариант №5 (2003г.) В7. Влажность сухой цементной смеси составляет 18%. Во время перевозки из – за дождей влажность смеси повысилась на 2%. Найдите массу привезенной смеси, если со склада было отправлено 400кг.

Решение:

Влажность 18%, значит “сухое” вещество составляет 82%. Масса “сухого”

вещества: 400*0,82=328кг.

Влажность увеличилась на 2%: 18%+2%=20%,

“Сухое” вещество составляет 80%, но его масса до дождей и после дождей

остается прежней: 328кг это 80%=0.8

Применим правило нахождения количества по процентам, найдем: 328:0.8=410кг

                                                  Ответ: 410кг 

b) задачи на нахождение концентрации раствора, процентного содержания вещества:

 B7.Определить процент содержания спирта в растворе, полученном при смешивании пяти литров 20% и шести литров 35% растворов спирта.

Решение:

Количество “чистого” спирта в первом растворе

5*0.2=1, а во втором 6*0.35=2.10

Применим формулу процентного содержания вещества

 масса смеси: 5+6=11

количество “чистого” вещества: 1+2.1=3.1

% содержания спирта в новом растворе 3.1/11*100=310/11=28(%)

                                                  Ответ: 28%.

 

Вариант №2 (2003г.)

B7. К 120г. раствора, содержащего 80% соли, добавили 480г. раствора, содержащего 20% той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе.

Решение:

Количество соли в 1 растворе: 120*0.8=96

                           во 2 растворе: 480*0.2=96

количество соли: 96+96=192

масса всего “нового” раствора: 120+480=600

% содержание соли в новом растворе: 192:600*100%=32(%)

                                                 Ответ: 32%.

с) задачи, решаемые с помощью применения «закона сохранения массы и объёма»:

1.Морская вода содержит 5% соли. Сколько кг пресной воды надо прибавить к 40кг морской воды, чтобы соли в последней составляло 2%?

Решение:

Найдем количество “чистой” соли в 40кг морской: 40*0.05=2

Пусть x. – количество пресной воды, которое будем добавлять к морской,

чтобы получить 2% раствор соли.

Найдем массу “чистой” соли в разведенном растворе: (40+x)0.02

Но, так как к морской воде добавляли пресную воду, то масса “чистой” соли не изменится, согласно закону сохранения массы. Получаем уравнение:

(40+x)0.02=2

0.8+0.02x=2

  0.02x=1.2

  x=60

                                                      Ответ: 60кг.

2. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов стали, чтобы получить 140т стали с содержанием никеля в 30%.

 

Решение:

Пусть нужно взять Xт стали 1сорта, Yт стали 2 сорта: X+Y=140.

Масса “чистого” никеля в сплаве 30%: 140*0.3=42.

Сталь 1 сорта 5% никеля X*0.05

         2 сорта 40%         Y*0.40

(X*0.05+Y*0.40) – масса “чистого” никеля

Применяя закон сохранения массы, составим уравнение:

                   0.05X+0.4Y=42

Получилась система:   X+Y=140,

                                        0.05X+0.4Y=42.

X=140-Y

0.05(140-Y) +0.40Y=42 Y=100 X=40   Ответ: 40т, 100т.

         

                                                                                                    

Задачи, которые рассмотрены в этой главе, взяты из жизни. Теперь мы можем не только получить ответ в задачах на проценты, но и его истолковать, соотнести с реальностью, проанализировать часто встречающиеся объявления об изменении цен, а также использовать полученные результаты на ЕГЭ.