Измерение тесноты корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения

Для измерения тесноты связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели – эмпирический коэффициент детерминации  и эмпирическое корреляционное отношение .

Показатель  рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле:

,                                                              

где  – общая дисперсия признака Y,

    – межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Общая дисперсия  характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

,                                      

где y_i – индивидуальные значения результативного признака;

   – общая средняя значений результативного признака;

    n – число единиц совокупности.

Общая средняя  вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

Общая средняя будет равна:

=  = 321,82

Для расчета общей дисперсии  применяется вспомогательная таблица 1.9.

 Таблица 1.9

Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

№ квартиры	Цена за 1 кв.м. общей площади квартиры
1	2	3	4	5
1	361,1	392,8	1542,918	130393,21
2	186,7	-135,12	18257,414	34856,89
3	177,6	-144,22	20799,408	31541,76
4	406,4	84,58	7153,776	165160,96
5	310,2	-11,62	135,024	96224,04
6	321,0	-0,82	0,672	103169,44
7	390,4	68,58	4703,216	152412,16
8	187,3	-134,52	18095,630	35081,29
9	493,1	81,28	6606,438	162489,61
10	433,3	111,48	12427,790	187748,89
11   № квартиры	187,3   Цена за 1 кв.м. общей площади квартиры	-134,52	18095,630	35081,29
12	386,1	64,28	4131,918	149073,21
13	138,9	-182,92	33459,726	19293,21
14	481,4	159,58	25465,776	231745,96
15	256,2	-65,62	4305,984	65638,44
16	266,9	-54,92	3016,206	71235,61
17	117,0	-204,82	41951,232	13689,0
18	293,9	-27,92	779,526	86377,21
19	500,0	178,18	31748,112	250000,0
20	350,0	28,18	794,112	122500,0
21	405,2	83,38	6952,224	164187,04
22	210,5	-111,32	12392,142	44310,25
23	193,3	-128,52	16517,390	37364,89
24	437,5	115,68	13381,862	191406,25
25	267,8	-54,02	29181,160	71716,84
26	340,9	19,08	364,046	116212,81
27	394,9	73,08	5340,686	155946,01
28	266,7	-55,12	3038,214	71128,89
29	157,9	-163,92	2689,766	24932,41
30	359,2	37,38	1397,264	129024,64
31	286,1	-35,72	1275,918	81853,21
32	380,8	58,98	3478,640	145008,64
33	284,2	-37,62	1415,264	80769,64
34	350,0	28,18	794,112	122500,0
35	392,5	70,68	4995,662	15056,25
36	480,5	158,68	25179,342	203880,25
37	402,8	80,98	6557,760	162247,84
38	394,1	72,28	5224,398	155314,81
39	350,1	28,28	799,758	122570,01
40	363,0	41,18	1695,792	131769,0
Итого	12872,8	36,96	394058,908	4536783,42

Общая дисперсия будет равна:

Межгрупповая дисперсия  вычисляется по формуле

,

       где  –групповые средние,

 – общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для расчета межгрупповой дисперсии  строится вспомогательная таблица 1.10. При этом используются групповые средние значения  из табл. 1.7 (графа 5).

Таблица 1.10

Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Группы банков по размеру кредитных вложений, млн руб.	Число банков,	Среднее значение  в группе
1	2	3	4	5
1	8	427,5	102,68	84345,46
2	10	363,6	41,78	174455,68
3	7	288,5	-33,32	7771,55
4	6	301,9	-19,92	2380,84
5	5	233,5	-88,32	39002,11
6	4	229,8	-92,02	33870,72
Итого	40	321,82		149724,457

 

 

Расчет эмпирического коэффициента детерминации  по формуле:

 

Вывод. 38,0 % вариации цены 1 кв. м. общей площади обусловлено вариацией рейтинга района горда, а 62% – влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение  оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

           

Значение показателя изменяются в пределах  

Чем ближе значение  к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе  служит шкала Чэддока (табл. 1.11):

Таблица 1.11

Шкала Чэддока

h	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

 

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между ценой за 1 кв. м. общей площади квартиры и рейтингом района города по удаленности от центра является умеренной.

 

Задание 3

Определение ошибки выборки средней цены 1 к. м. общей площади однокомнатной квартиры и границы, в которых будет находиться средняя цена 1 кв. м. общей площади однокомнатной квартиры в генеральной совокупности.

Средняя ошибка выборки  определяется по формуле:

,                                               

где  – общая дисперсия выборочных значений признаков,

  N – число единиц в генеральной совокупности,

   n – число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

,

                    

В математической статистике доказано, что предельная ошибка выборки Δ кратна средней ошибке µ с коэффициентом кратностиt, который зависит от значения доверительной вероятности Р:

                                                  

Для наиболее часто используемых уровней надежности Р значения t задаются следующим образом (табл. 1.12):

Таблица 1.12

Доверительная вероятность P	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
Значение t	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5

В нашем примере P = 0,997, следовательно, t = 3,0                                     По условию задания выборочная совокупность насчитывает 40 однокомнатных квартир, выборка 20%, следовательно, генеральная совокупность включает 200 однокомнатных квартир ( N = 100/20*40) .                                         Выборочная средняя , дисперсия  определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 1.13:

Таблица 1.13

Р	t	n	N
0,954	3,0	40	200	324,4	8914,19

Расчет средней ошибки выборки по формуле:  

Расчет предельной ошибки выборки:

Доверительный интервал для генеральной средней будет иметь следующие значения:

324,4 – 40,05 324,4 + 40,05,

283,95 у. е. 364,45 у. е.

Вывод. На основании проведенного выборочного обследования однокомнатных квартир города с вероятностью 0,997 можно утверждать, что для генеральной совокупности квартир средняя цена 1 кв. м.  находится в пределах от 283,95 у. е. до 364,45 у. е.

 2. Определение ошибки выборки для доли банков с объемом кредитных вложений 175млн руб. и выше, а также границ, в которых будет находиться генеральная доля

Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой , где m – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;  n – общее число единиц в совокупности.

Предельная ошибка выборки  доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле

            ,                                          

где w – доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

  (1- w ) – доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,

   N – число единиц в генеральной совокупности,

   n– число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля р единиц, обладающих заданным свойством:   

По условию Задания 3 исследуемым свойством является равенство или превышение средней цены 1 кв. м. величины 308,5 у.е.

Число квартир с заданным свойством определяется из табл. 1.3 (графа 3): m=24

Доля единиц выборочной совокупности будет равна: w=  = 0,6

Расчет предельной ошибки выборки для доли:

= 3 * = 0,069

 

Определение  доверительного интервала генеральной доли:

0,6 – 0,069 ≤ р ≤ 0,6 + 0,069

0,531 ≤ р ≤ 0,669

 

Вывод. С вероятностью 0,997 можно утверждать, что в генеральной совокупности однокомнатных квартир доля квартир со средней ценой 1 кв. м. общей площади 308,5 у.е. и выше будет находиться в пределах от 53,1% до 66,9%.

 

Задание 4

Имеются следующие данные об обороте розничной торговли на вещевых, смешанных и продовольственных рынках городов региона:

                                                                                           Таблица 2.1

Город	Объем продаж в текущих ценах, млн.руб.		2-й год в % к 1-му году	3-й год в % ко 2-му году
	1-й год	3-й год	в сопоставимых ценах (ценах 1-го года)
1	1906,2	2319,9	109,0	115,0
2	42,8	49,7	103,0	103,0
3	369,3	495,6	120,0	112,0
4	11,6	12,2	94,0	107,0
5	606,0	672,2	99,0	82,0
сумма	2935,9	3549,6

 

По каждому городу и для всех городов вместе вычислите базисные (к 1-му году) индексы:

 

· оборота розничной торговли в текущих ценах;

· оборота розничной торговли в сопоставимых ценах;

· цен;

· абсолютные просты оборота розничной торговли за счет изменения физического объема продаж товаров, за счет изменения цен на товары.

Сделайте выводы.

Решение.

Абсолютные приросты оборота розничной торговли за счет изменения фактического объема

Абсолютные приросты оборота розничной торговли за счет изменения цен на товары

Расчет показателей для первого города:

 товарооборот в 1-м году по ценам 1-ого года.

Товарооборот 3-его года в ценах 1-ого года

Индекс оборота торговли в сопоставимых ценах:

Аналогично рассчитываются показатели по остальным городам. Результаты расчетов приведены в таблице 2.2:

                                                                                                            Таблица2.2.

Город	Индекс товарооборота		Абсолютный прирост оборота, млн. руб		Товарооборот 1-ого года в ценах 1-ого года, млн. руб.	индекс цен	Товарооборот 3-его года в ценах 1-ого года, млн. руб.
	в текущих ценах	в сопоставимых ценах	за счет изменения объема продаж	за счет изменения цены
1	1,2	1,3	413,7	-118,3	1945,1	0,98	2438,2
2	1,2	1,1	6,9	8,2	39,1	1,09	41,5
3	1,3	1,3	126,3	-1,5	369,9	1,00	497,1
4	1,1	1,0	0,6	1,0	11,1	1,05	11,2
5	1,1	0,8	66,2	312,2	443,5	1,37	360,0
по всем	1,2	1,2	613,7	201,7	2808,7	0,98	3347,9

 

Вывод: Результаты проведенного исследования показали, что товарооборот в текущих ценах по городу 1 (2; 3; 4; 5; по всем вместе)увеличился на 20% (20%; 30%; 10%; 10%; 20%), в сопоставимых ценах (ценах 1-ого года) товарооборот по городам 1, 2, 3, 4, и по всем вместе увеличился на 30%, 10%, 30%, 0% и 20% соответственно, а по городу 4 сократился на 20%. Цены на товары по городу 1 и по всем городам вместе сократились на %, а по городам 2, 3, 4, 5 увеличились на 9%, 0%, 5% и 37%. Абсолютный прирост оборота за счет изменения цены в городах 1 и 3 составил -118,3 и -1,5 млн. руб., а в городах 2, 5 и по всем городам вместе увеличился на 8,2, 312,2 и 201,7 млн. руб; в городе 4 оборот не изменился. Абсолютный прирост оборота за счет изменения фактического объема продаж в городах 1, 2, 3, 4, 5 и во всех городах вместе увеличился соответственно на 413,7, 6,9, 126,3, 0,6, 66,2 и 613,7 млн. руб.

 

 

[1] Социально-экономическая статистика: Учебник для вузов /Под ред. Проф.Б.И. Башкатова. - М.: ЮНИТИ-ДАТА, 2002. – 703 с.

[2] Экономическая статистика: Учебное пособие / под ред. Т.В. Черновой. – Таганрог:  изд-во ТРГУ, 1999