Категория нумерованных множеств и ее свойства

 

В предыдущем параграфе изучались нумерации подмножеств некоторого множества и отношение сводимости между нумерациями. Обратимся теперь к «взаимодействию» произвольных нумерованных множеств. Наиболее естественным путем для такого изучения является соответствующей категории – категории  нумерованных множеств.

Перейдем к точным определениям. Объектами категории  являются все нумерованные множества, включая «пустое» нумерованное множество О. Если  – произвольное нумерованное множество, то существует и притом единственный морфизм o из О в . Если  = ( , ) и  = ( , ) – произвольные не пустые нумерованные множества, то морфизмом из  в  назовем всякое отображение , для которого существует функция  такая, что , иными словами, если диаграмма

 

                          f

            N                    N

                               

 

коммутативна. То, что  – морфизм из  в , будет обозначаться так: . Множество всех морфизмов из  в  обозначим через Mor ( ). Композиция морфизмов определяется естественным образом. Объект О является нулевым объектом категории .

Отметим следующие простые свойства морфизмов.

1. Если  = ( , ) и  = ( , ),  –  – вполне перечислимое множество, а  – морфизм из  в , то  –  – вполне перечислимое подмножество .

Действительно, пусть  такова, что . Тогда . Таким образом, f m – сводит  к рекурсивно перечислимому множеству , следовательно,  будет  – вполне перечислимым.

2. Если  – морфизм из  = ( , ) в  = ( , ), то  сохраняет предпорядки, определенные нумерациями, т.е. .

Следует из 1.

3. Если  – морфизм из  = ( , ) в  = ( , ), то  – непрерывное отображение топологического пространства ( , ) в топологическое пространство ( , ).

Следует из 1.

Еще несколько определений. Через N, будем обозначать нумерованное множество (N, ). Для любого множества  через Э ( ) обозначим множество всех отношений эквивалентности на множестве . Это множество относительно естественного отношения включения является полной решеткой; если  Э ( ), то  и  обозначают точную верхнюю и соответственно нижнюю грань элементов . Для  Э ( ), через  обозначим нумерованное множество (  – операция  – замыкания ([  для  Э ( ). Более общо, если  = ( , ) – нумерованное множество,  Э ( , то  – это нумерованное множество ( ); отображение  является, очевидно, морфизмом из  в .

Предложение 1. Категория  эквивалентна своей полной подкатегории , определенной семейством объектов {O} .

По определению эквивалентности категорий  и  означает, что существует два ковариантных функтора  и  таких, что функторы  и  эквивалентны тождественным функторам  и  соответственно. В качестве функтора F возьмем функтор  вложения категории  как подкатегории . Функтор  определим так: ; если  = ( , ) , то , для простоты вместо  будем просто писать , где  – нумерационная эквивалентность нумерации . Существует естественный морфизм , определенный так:  для . Легко проверить, что это определение корректно и что  – морфизм. На самом деле  является эквивалентностью категории , т.е. существует такой морфизм , что = , а = . Действительно, отображение  определим так: . Ясно, что  – морфизм, обладающий нужными свойствами. Продолжим определение функтора . Пусть  = ( ,  = ( , ) и  такова, что ; определяем  так:  для . Это определение корректно, так как если , то , , т.е. . Ясно также, что  – морфизм из  в . Так определенное отображение  является функтором. Для проверки того, что функтор  эквивалентен тождественному функтору, нужно построить единственное преобразование  такое, что все морфизмы  являются эквивалентностями категории . В качестве таких  нужно взять построенные выше морфизмы .

Следствие. Категория  эквивалентна малой категории, т.е. категории, семейство объектов которой образует множество.

Простая проверка показывает, что для того чтобы морфизм  был мономорфизмом (эпиморфизмом) категории , необходимо и достаточно, чтобы отображение , задающее морфизм, было одно – однозначным (отображением на ). Для всякого морфизма  o  через  обозначим отношение эквивалентности на , определенное так: . Вместо обозначения  будем использовать в этом случае обозначение , а естественный морфизм из  в  будем обозначать . Определим морфизм  такой, чтобы диаграмма

 

                             

                         

            

 

была коммуникативной. Пусть , тогда положим . Проверим корректность определения ; пусть , тогда . Если  такова, что , то , так что  – морфизм. Соотношение  очевидно. Представление всякого морфизма  в виде , где  однозначно определены указанным выше способом, назовем каноническим представлением морфизма . Отметим следующие свойства канонического представления:  – эпиморфизм, а  – мономорфизм. Однако этими двумя свойствами представления оно не определяется однозначно (с точностью до разумной теоретико – категорной эквивалентности). Для того чтобы теоретико – категорно охарактеризовать каноническое представление, введем понятие факторизации. Морфизм  факторизацией, если для любого морфизма  такого, что , существует единственный морфизм  такой, что диаграмма

 

 

                               

Лемма. Если диаграмма коммутативна.

 

                               

 

коммутативна и  и  или  и  – факторизации, то все эти морфизмы – факторизации.□

Предложение 2. Пусть следующая диаграмма:

 

                 

 

(без ) коммутативна;  – каноническое представление,  – факторизация,  – мономорфизм. Тогда существует морфизм  такой, что  – эквивалентность категории  и диаграмма, приведенная выше, коммутативна.

Из равенства  и мономорфности  следует, что , тогда существование морфизма  и морфизма  таких, что диаграммы

 

       

 

       

 

коммутативны, вытекает из того, что  и  – факторизации. Из единственности таких морфизмов вытекает, что , . Таким образом,  – эквивалентность категории . Для проверки коммутативности большой диаграммы достаточно показать только, что . Обозначая , получим . Но так как  – факторизация, то может существовать только один морфизм  такой, что ; поэтому .

Предложение 2 и показывает нужную «единственность» канонического представления. Впредь под каноническим представлением морфизма  будем понимать всякое представление его в виде , где  – факторизация, а  – мономорфизм.

Для того чтобы понять, что факторизация может быть определена в чисто теоретико – категорных терминах (для этого достаточно такое определение для ), определим объект 1 категории  как множество {0}, снабженное единственно возможной нумерацией. Укажем следующие простые свойства:

1. Для любого нумерованного множества  = ( , ) существует естественное взаимно однозначное соответствие между множеством  и множеством Mor ( ).

Это соответствие задается отображением  множества Mor ( ) в .

2. Если , а  Mor ( , то .

Легко проверяется.

3. Если , , то .

Если  и  – нумерованные множества и существует эквивалентность , то  и  назовем эквивалентными и будем обозначать это так . Отметим, например, что все одноэлементные нумерованные множества эквивалентны .

Если ,  – два морфизма, то назовем (  и ( ) эквивалентными над  (менее точно назовем  и  эквивалентными над ), если существует эквивалентность  такая, что диаграмма

 

                               

коммутативна.

Фактор – объектом  назовем класс Ф всех пар ( , , эквивалентных некоторой паре вида ( , где  – факторизация. Иногда будем использовать менее точную терминологию, называя фактор – объектом  пару ( , где  – факторизация, или даже просто нумерованное множество . Заметим, что в каждом классе пар Ф, являющихся фактор – объектом, существует канонический представитель, а именно, если ( , то и ( , где  – факторизация из канонического представления . Пара такого вида (  в каждом фактор – объекте существует и единственна. Отсюда следует, что у каждого нумерованного множества существует не более континуума различных фактор – объектов. Обозначим множество всех фактор – объектов  через ; если в этом множестве ввести отношение частичного порядка, полагая для  для ( , (  существует морфизм  такой, что диаграмма

 

                               

 

коммутативна, то <  изоморфно полной решетке < Э ( . Это легко следует из рассмотрения канонических представителей в каждом фактор – объекте.

Заметим, что (используя неточную терминологию) любое нумерованное множество О есть фактор – объект . Действительно, если  = ( , ), то, как легко проверить, морфизм  есть факторизация.

Замечание. Данное здесь определение фактор – объекта является не совсем обычным, так как в теории категорий фактор – объектом (в неточной терминологии) называют всякий эпиморфный образ. Здесь же мы ограничились образами факторизаций.

Подобъектом  назовем всякую пару ( ), где  – мономорфизм. (Более точное определение: подобъектом назовем класс Ф всех таких пар ( ), что ( ) и ( ) эквивалентны в ; последнее означает существование эквивалентности  такой, что .) Если  – мономорфизм и эпиморфизм одновременно, то ( ) назовем плотным подобъектом .

Каноническое представление морфизма показывает, что всякий эпиоморфный образ  имеет плотный подобъект, который есть фактор – объект .

Отметим еще, что морфизм является эквивалентностью в  тогда и только тогда, когда он является факторизацией и мономорфизмом.

Обратимся теперь к вопросам полноты категории , т.е. к вопросам замкнутости  относительно различных категорных конструкций.

Прямой суммой двух объектов  и  категории  называется объект  и два морфизма  и  такие, что для любых морфизмов , где  – произвольный объект, существует единственный морфизм  такой, что  и .

 

               

 

Обозначать прямую сумму будем так: ( ) или ( ). Тот единственный морфизм , существование которого (для данных  и ) утверждается в определении, будем обозначать .

Предложение 3. В категории  для любых двух объектов  существует их прямая сумма.

Если О, то в качестве  (с естественными морфизмами из ) можно взять . Аналогично в случае О. Пусть  = ( , О и  = ( , О. рассмотрим сначала случай . Полагаем  и  так: ; . Тогда  ( ,  – нумерованное множество, а тождественные вложения  и  являются морфизмами  в . Покажем, что ( ) есть прямая сумма . Пусть  = ( ,