Умножение матрицы на число

       Для умножения матрицы на число следует выполнить следующие действия:

1. Задать исходную матрицу.

2. Отметить место для матрицы-результата.

3.

В выделенном под результат месте электронной таблицы записать произведение так, как показано на рис.15.

 

 

рис.15.

4.

Завершить выполнение работы нажатием клавиш Shift /Ctrl /Enter (рис.16.).

 

 

рис.16.

Сложение матриц

       Для сложения двух матриц одинаковой размерности следует выполнить следующую последовательность действий:

1.Задать две исходные матрицы.

2.Отметить место для матрицы-результата.

3.В выделенном под результат месте электронной таблицы записать сумму так, как показано на рис.17.

 

 

рис.17.

4.Завершить выполнение работы нажатием клавиш Shift /Ctrl /Enter (рис.18.).

 

 

рис.18.

Вычисление определителя матрицы

       Для вычисления определителя матрицы сформируем лист электронной таблицы:

1.Определим исходную матрицу.

2.Определим место под результат.

3.Обратимся к мастеру функций, найдем функцию МОПРЕД , выполним постановку задачи (рис.19.).

рис.19.

4.Щелкнув по кнопке ОК, получим значение определителя (рис.20.).

 

 

рис.20.

 2.8 Системы линейных алгебраических уравнений

Задание #5

       Решение систем линейных алгебраических уравнений всегда занимало математиков и для их решения было разработано немало численных методов, подразделяющихся на прямые и итерационные.

       В EXCEL задача получения решения СЛАУ решается с помощью вышеописанных матричных функций, для чего исходную систему надо представить в виде матричного уравнения.

       Рассмотрим последовательность действий для получения решения СЛАУ на конкретном примере.

 

       -12X₁+12X₂+23X₃+6X₄=120

       -3X₁+0.3X₂-3X₃+X₄=-25

       -67X₁-3X₂-51X₃-73X₄=536                     (5)

       -91X₁-6X₂+4X₃-13X₄=-316

 

       Для того, чтобы система (5) имела единственное решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы, составленный из коэффициентов при переменных Х₁, Х₂, Х₃, Х₄, не был равен нулю.

       Рассчитаем определитель системы, пользуясь функцией МОПРЕД (рис.21.). Рассчитанное значение определителя системы равно –12. Оно не равно нулю и, следовательно, можно продолжать процесс поиска решения.

       Из линейной алгебры известна матричная запись системы уравнений и матричное представление решения. Перепишем систему (5) в виде

 

 

                   АХ=В, где

              -12     12    23     6

- матрица коэффициентов при неизвестных

-3       0,3   -3      1

-67     -3    -51   -73 

-91     -6      4    -13

Х₁

- вектор столбец неизвестных

Х=

Х₂

Х₃

Х₄

 

В=

120

-25

536

-316

 

 

А=

тогда матричное решение уравнения выглядит так:

                              Х=А^-1В, где А^-1 – матрица обратная к исходной.

 

рис.21.

       Результат, указанный на рис.21 можно получить, выполнив следующие действия:

1.Вычислить определитель и выяснить, имеет ли система единственное решение.

2.Вычислить матрицу обратную к исходной.

3.Найти произведение обратной матрицы и вектор столбца свободных членов.

Глава №3 Поиск решения…

Оптимизация

       Почти любую ситуацию, встречающуюся в личной, деловой или общественной жизни можно охарактеризовать как ситуацию принятия решения. Для задач принятия существенными являются следующие общие элементы:

1. Множества переменных и параметров. В их число входят:

· множество разрешающих или эндогенных переменных, значения которых рассчитываются лицом, принимающим решение

· множество внешних или экзогенных переменных, значения которых не контролируются лицом, принимающим решение

· множество параметров, которые так же не контролируются и считаются в условиях задачи вполне определенными.

2. Модель – множество соотношений, связывающих все переменные и параметры.

3. Целевая функция – функция, значение которой зависит от значений эндогенных переменных. Эта функция позволяет лицу, принимающему решения оценивать варианты.

4. Численные методы – методы, с помощью которых можно систематически оценивать результаты различных решений.

Получение решения на модели, в конечном итоге, сводится к математической задаче нахождения некоторых вещественных значений эндогенных переменных, которые оптимизируют целевую функцию.

Если до недавнего времени все четыре перечисленные выше элемента ложились на лицо принимающее решение, то теперь умение пользоваться встроенными функциями EXCEL снимает наиболее утомительный пункт, а именно, применения численных методов, и делает исследование задач принятия решений более эффективными, так как теперь для решения одной и той же задачи можно быстро просмотреть различного вида постановки, в том числе и отличающиеся друг от друга по структуре.

Условный экстремум

Задание №6

       EXCEL обладает мощным встроенным средством для нахождения экстремальных значений функции одной или нескольких переменных. Для одно-экстремальных функций можно найти безусловный глобальный экстремум. Для многоэкстремальных функций можно найти условный локальный экстремум.

       Для функций одной переменной поиск экстремума возможен как на всей числовой оси, так и на некотором интервале. Поиск на интервале уже можно считать поиском условного экстремума функции, т.к. появляются ограничения на изменение значений аргумента.

       Рассмотрим примет поиска условного экстремума функции.

Найти минимум и максимум функции Y=X⁵                      (6)

на интервале [-1,1] и построить график.

График функции показан на рис.2.2.

       Для поиска условного экстремума функции сформируем лист электронной таблицы, как показано на рис. 2.3. Функцию (6) запишем в клетку А2, где вместо переменной Х следует указать адрес ячейки А1, которая содержит начальное приближение экстремума.

 

рис.22.

       Для поиска минимума следует выполнить следующую последовательность действий:

1.

Выполнить команду Сервис /Подбор параметра… (получим лист электронной таблицы, как показано на рис.23).

 

рис. 2.3

2.

Заполнить диалоговое окно (рис.2.4).

                                                        

 

рис. 2.4

2.1 Кликнуть левой клавишей мыши в поле, переместить указатель мыши и кликнуть на ячейке с формулой.

2.2 Выбрать поле Min.

2.3 В поле ввести адреса ячеек, значения которых будут варьироваться в процессе поиска решения. В нашем случае это клетка А1.

2.4 Кликнуть левой клавишей мыши в поле и затем на кнопке Добавить, откроем диалоговое окно (рис.2.2), которое заполняем, так как показано на рисунке. Так же добавляем второе ограничение.

После щелчка на кнопке ОК получим решение поставленной задачи. В клетке А1 находится значение переменной Х равное, при котором функция (6) достигает минимального значения на интервале [-1,1].

Для поиска максимума следует выполнить ту же последовательность действий, выбрав при этом поле Max. Функция (6) достигает максимального значения на интервале при значении переменной, равном (рис.26).